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浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试


浦东新区 2014 学年度第一学期期末质量测试 高三数学
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 32 道试题,满分 150 分,考试时间 130 分钟.

2015.1

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否 则一律

得零分. 1.不等式 2 ? 1 的解为 . 2.已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ?
x

. .

3.关于 x , y 的方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 4.函数 y ? sin x ? 3 cos x 的最大值为 5.若 lim x ? 0 ,则实数 x 的取值范围是
n n??

. .

6.已知一个关于 x , y 的二元线性方程组的增广矩阵是 ? ? 7.双曲线

?1 ?1 2? ? ? ,则 x ? y = ? 0 1 2?

.

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线的夹角为 . 3 8.已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x3 ? a 的反函数,且 f ?1 (2) ? 1 ,则实数 a ?
含 x 项系数为 . x ) 的展开式中, 10.定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) ,在 [0,??) 上单调递增,则 不等式 f (2 x ? 1) ? f (3) 的解是 . 11.如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC , ?CBA ? 30? , D 、E 分别是 BC 、AP 的中点. 则异面直线 AC 与 DE 所成角的大小为 . 12.若直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0 ( a , b 不同时为零) ,则 C 下列命题正确的是 . (1)以方程 ax ? by ? c ? 0 的解为坐标的点都在直线 l 上; (2)方程 ax ? by ? c ? 0 可以表示平面坐标系中的任意一条直线; (3)直线 l 的一个法向量为 ( a, b) ; (4)直线 l 的倾斜角为 arctan(? ) . 9. 二项式 (2x ?
4
3

.

P

E
A

B

D

a b

二、选择题(本大题共有 12 题,满分 36 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 3 分,否则一律得零分. 13.设椭圆的一个焦点为 ( 3,0) ,且 a ? 2b ,则椭圆的标准方程为 ( )

( A)

x ? y2 ? 1 4

2

( B)

x ? y2 ? 1 2
1

2

(C )

y ? x2 ? 1 4

2

( D)

y ? x2 ? 1 2
( )

2

14.用 1,2,3,4、5 组成 没有重复数字的三位数,其中是奇数的概率为

( A)

1 5
2

( B)
2

2 5

(C )

3 5

( D)

4 5
( )

15.下列四个命题中,为真命题的是

( A) 若 a ? b ,则 ac ? bc (C ) 若 a ? b ,则 a 2 ? b 2

( B) 若 a ? b , c ? d 则 a ? c ? b ? d 1 1 ( D) 若 a ? b ,则 ? a b

16.某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人.为 了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人, 则该样本中的高三学生人数为 ( ) ( A) 84 ( B ) 78 (C ) 81 ( D) 96 17.等差数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,若 S17 ? 170 , 则a7 ? a9 ? a11 的值为 ( )

( A) 10 ( B ) 20 (C ) 25 ( D) 30 18. “直线 l 垂直于 △ABC 的边 AB , AC ” 是 “直线 l 垂直于 △ABC 的边 BC ” 的 (



( A) 充分非必要条件 (C ) 充要条件

( B ) 必要非充分条件 ( D) 既非充分也非必要条件

? 1 ?x ? , x ? 0 19. 函数 f ( x)= ? 的零点个数为 x ? ??2 ? ln x, x>0 ( A) 0 ( B) 1





(C ) 2

( D) 3

20.某股民购买一公司股票 10 万元,在连续十个交易日内,前五个交易日,平均每天上涨 5%, 后五个交易日内,平均每天下跌 4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本,精确到元)( ) ( A) 赚 723 元 ( B ) 赚 145 元 (C ) 亏 145 元 ( D) 亏 723 元 21.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n, n ? N ? ,则

a 1 a2 a2 ? a3 a4 a4
( A) ?16096

a3 a5

?

a3 a5

a4 ? a6

?

a2012 a2014

a2013 ? a2015





(C ) ?16112 ( D) ?16120 f ( x) 22.如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是增函数,而函数 y ? 在区间 I 上是减函数,那么称 x 1 2 3 函数 y ? f ( x) 是区间 I 上 “缓增函数” , 区间 I 叫做 “缓增区间” . 若函数 f ( x) ? x ? x ? 2 2 是区间 I 上“缓增函数” ,则“缓增区间” I 为 ( ) ( A) [1, ? ?) ( B ) [ 0, 3 ] (C ) [ 0,1] ( D) [1, 3] r r r r 23.设 ? 为两个非零向量 a , b 的夹角,已知对任意实数 t ,| b ? ta | 的最小值为 2,则 ( ) r r ( A) 若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 ( B ) 若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 r r (C ) 若 | a | 确定,则 ? 唯一确定 ( D) 若 | b | 确定,则 ? 唯一确定
24. 已知 x1 , x2 是关于 x 的方程 x ? mx ? (2m ? 1) ? 0 的两个实数根, 则经过两点 A( x1 , x12 ) ,
2

( B ) ?16104

x2 y 2 ? 1 公共点的个数是 B( x2 , x2 ) 的直线与椭圆 ? 16 4 ( A) 2 ( B) 1 (C ) 0
2





( D) 不确定

三、解答题(本大题共有 8 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤.
2

25. (本题满分 7 分) 已知函数 y ? lg 值范围.
B

1? x 的定义域为集合 A ,集合 B ? (a, a ? 1) . 若 B ? A ,求实数 a 的取 1? x

S

26. (本题满分 8 分)

O

A

如图所示,圆锥 SO 的底面圆半径 | OA |? 1 ,其侧面展开图是一个圆心角为 求此圆锥的体积.

2? 的扇形, 3

27. (本题满分 8 分)

1 x 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 O 、 A 两点( F 为抛物线的焦点,O 为 2 坐标原点) ,若 AF ? 17 ,求 OA 的垂直平分线的方程.
已知直线 y ?

3

28. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 6 分) 在 △ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,且 b ? c ,? A 的平分线为 AD , 若 AB ? AD ? mAB ? AC. (1)当 m ? 2 时,求 cos A 的值; (2) 当

uu u r uuu r

uu u r uuu r

a 2 3 ? (1, ) 时,求实数 m 的取值范围. b 3

29. (本题满分 13 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 7 分) 在数列 { an } , { bn } 中, a1 ? 3 , b1 ? 5 , an ?1 ?

bn ? 4 a ?4 * , bn ?1 ? n ( n ? N ). 2 2

(1)求数列 { bn ? an } 、 {an ? bn } 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 { bn } 的前 n 项的和,若对任意 n ? N * ,都有 p( Sn ? 4n) ? [1, 3] ,求 实数 p 的取值范围.

4

30. (本题满分 8 分) 某风景区有空中景点 A 及平坦的地面上景点 B .已 知 AB 与地面所成角的大小为 60 , 点 A 在地面上的射影 为H , 如图.请在地面上选定点 M , 使得 最大值.
?

A

AB ? BM 达到 AM
H B M

31.(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分) 设函数 f ( x ) ?

sin x ? ( 0 ? x ? ). x 2

(1)设 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ?

?

2

,试比较 f ( x ? y ) 与 f ( x ) 的大小;

(2)现给出如下 3 个结论,请你分别指出其正确性,并说明理由. ①对任意 x ? (0,

?

2

] 都有 cos x ? f ( x) ? 1 成立;

x 2 x 4 x6 x8 x10 成立; ? ? ? ? 3? 3! 5! 7! 9! 11 ! ? 2 ③若关于 x 的不等式 f ( x) ? k 在 (0, ] 有解,则 k 的取值范围是 ( ,?? ) . 2 ?
②对任意 x ? ? 0,

? ?

??

? 都有 f ( x) ? 1 ?

5

32.(本题满分 12 分,第 1 小题 5 分、第 2 小题 7 分) 已知三角形 △ABC 的三个顶点分别为 A(?1, 0) ,

B(1, 0) , C (0, 1) . (1)动点 P 在三角形 △ABC 的内部或边界上,且 点 P 到三边 AC , AB, BC 的距离依次成等差数列,求点 P 的轨迹方程; (2)若 0 ? a ? b ,直线 l : y ? ax ? b 将 △ABC 分 割为面积相等的两部分,求实数 b 的取值范围.

O

6

浦东新区 2014 学年度第一学期期末质量测试 高三数学参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分, 否则一律得零分. 1. x ? 0 ; 2. 1 ? i ; 3. ( ??,5) ; 4.2; 5. (?1, 1) ; 6.6; 7.

? ; 3

8.1 ; 9.24; 10. (?1, 2) ; 11. arccos

2 ( arctan 7 ) ; 12. (1) 、 (2) 、 (3). 4

二、选择题(本大题共有 12 题,满分 36 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 3 分,否则一律得零分. 13. ( A) ; 19. (C ) ; 14. (C ) ; 20. ( D) ; 15. (C ) ; 21. ( A) ; 16. ( B ) ; 22. ( D) ; 17. ( D) ; 23. ( B ) ; 18. ( A) ; 24. ( A) .

三、解答题(本大题共有 8 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 25. (本题满分 7 分) 解:集合 A ? (?1,1) ,??????????????????????????3 分 因为 B ? A ,所以 ?

即 a ? ?? 1,0? . ???????????????????????????7 分 26. (本题满分 8 分) 解:因为 | OA |? 1 ,所以弧 AB 长为 2? ,?????????????????2 分 又因为 ?BSA ?

?a ? ?1 , ? ?1 ? a ? 0 .?????????????6 分 ?a ? 1 ? 1

2? 2? ? 2? ,所以 SA ? 3 .????????4 分 ,则有 SA ? 3 3

在 Rt ?SOA 中, | OA |? 1 . h ? SO ? SA2 ? OA2 ? 2 2 , ???????6 分 所以圆锥的体积 V ? 27. (本题满分 8 分)

1 2 2 2 ?r h? ? . ???????????????8 分 3 3

? y 2 ? 2 px 1 ? 2 解: OA 的方程为: y ? x . 由 ? 得 x ? 8 px ? 0 , 1 2 ?y ? x ? 2 所以 A(8 p, 4 p) ,??????????????????????????3 分
由 AF ? 17 ,可求得 p ? 2 .?????????????????????5 分 所以 A(16,8) , AO 中点 M (8, 4) .???????????????????6 分 所以 OA 的垂直平分线的方程为: 2 x ? y ? 20 ? 0 .????????????8 分

28. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 6 分)
7

解: (1)由 b ? c. 又 AB ? AD ? 2 AB ? AC. 得 b ? (b cos

uu u r uuu r

uu u r uuu r

A A ) cos ? 2bc ? cos A ???2 分 2 2

A ? 2 cos A ?????????????????????????4 分 2 1 ? cos A 1 ? 2 cos A. ? cos A ? . ?????????????????6 分 2 3 uu u r uuu r uu u r uuu r 1 (2)由 AB ? AD ? mAB ? AC . 得 cos A ? ;?????????????8 分 2m ? 1 ? cos 2
1 1 b 2 ? c 2 ? a 2 2b2 ? a 2 1?a? = ? 1 ? ? ? ? ( , ) ,???????10 分 2 3 2 2bc 2b 2?b? 1 1 1 3 ? ( , ) ,? m ? ( , 2) .?????????????????12 分 所以 2m ? 1 3 2 2
又 cos A ? 29. (本题满分 13 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 7 分) 解: (1)因为 an ?1 ?
2

bn a 1 ? 2 , bn ?1 ? n ? 2 , bn ?1 ? an ?1 ? ? (bn ? an ) , 2 2 2 1 即数列 { bn ? an } 是首项为 2,公比为 ? 的等比数列, 2 1 n ?1 所以 bn ? an ? 2 ? ( ? ) .??????????????????????3 分 2 1 1 an ?1 ? bn ?1 ? ( an ? bn ) ? 4 , an ?1 ? bn ?1 ? 8 ? ( an ? bn ? 8) , a1 ? b1 ? 8 ? 0 , 2 2 * 所以,当 n ? N 时, an ? bn ? 8 ? 0 ,即 an ? bn ? 8 .??????????6 分

? an ? bn ? 8 1 n ?1 2 1 n ? (2)由 ? 1 n ?1 得 bn ? 4 ? ( ? ) , Sn ? 4n ? [1 ? ( ? ) ] , 3 2 2 bn ? an ? 2 ? ( ? ) ? ? 2 2p 1 2p 1 p ( S n ? 4n ) ? [1 ? ( ? ) n ] , 1 ? [1 ? ( ? ) n ] ? 3 , 3 2 3 2 1 n 1 2p 3 因为 1 ? ( ? ) ? 0 ,所以 .?????????8 分 ? ? 1 1 n 2 3 n 1 ? (? ) 1 ? (? ) 2 2 1 1 当 n 为奇数时, 随 n 的增大而增大, ? 1 1 1 ? ( ? )n 1 ? ( )n 2 2 2p 3 1 2p 3 ? 2 , ? p ? 3 ;?????????10 分 且 ,1 ? ? ? 1 3 2 3 1 ? ( 1 )n 1 ? ( )n 2 2 1 1 当 n 为偶数时, 随 n 的增大而减小, ? 1 n 1 n 1 ? (? ) 1 ? ( ) 2 2 4 2p 9 1 2p 3 ? 3,2 ? p ? . 且 , ? ? ? 1 n 1 2 3 1 ? ( )n 3 3 1? ( ) 2 2 综上, 2 ? p ? 3 .?????????????????????????13 分
30. (本题满分 8 分)
8

解:因为 AB 与地面所成的角的大小为 60 , AH 垂直于地面, BM 是地面上的直线, 所以 ?ABH ? 60? , ?ABM ? 60? .

?

AB BM AM ? ? , ??????????????????????2 分 sin M sin A sin B AB ? BM sin M ? sin A sin M ? sin ?B ? M ? ? ? ∴ AM sin B sin B sin M ? sin B cos M ? cos B sin M 1 ? cos B ? ? sin M ? cos M sin B sin B B 2cos2 2 sin M ? cos M ? cot B sin M ? cos M ???????????4 分 ? sin B 2 ? cot 30 sin M ? cos M ? 3sin M ? cos M ? 2sin(M ? 30 ). ?????6 分


AB ? BM 达到最大值, AM 此时点 M 在 BH 延长线上, BH ? HM 处.??????????????8 分
当 ?M ? ?B ? 60 时,
?

31.(满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分) 解: (1)方法一(作商比较) : 显然 f ( x) ? 0 , f ( x ? y ) ? 0 ,

f ( x ? y ) sin(x ? y ) x x sin x cos y ? x cos x sin y . ???1 分 ? ? ? f ( x) x? y sin x x sin x ? y sin x 0 ? cos y ? 1? 因为 ? ? 0 ? x sin x cos y ? x sin x .???????????2 分 x sin x ? 0 ? 0 ? sin y ? y ? 又 ? ? 0 ? x cos x sin y ? y sin x .??3 分 0 ? x ? tan x ? 0 ? x cos x ? sin x? 所以 0 ? x sin x cos y ? x cos x sin y ? x sin x ? y sin x . f ( x ? y) ? 1 ? f ( x ? y ) ? f ( x) .????????????????4 分 即 f ( x)
于是 方法二(作差比较) :

0 ? cos y ? 1? ? ? x sin x(cos y ? 1) ? 0 .?????????????1 分 x sin x ? 0 ? 0 ? sin y ? y ? 又 ? ? x cos x sin y ? y sin x ? 0 .??2 分 0 ? x ? tan x ? 0 ? x cos x ? sin x? x sin(x ? y ) ? ( x ? y ) sin x f ( x ? y ) ? f ( x) ? ( x ? y) x x sin x(cos y ? 1) ? ( x cos x sin y ? y sin x) ? ?0. ( x ? y) x 即 f ( x ? y) ? f ( x) .????????????????????????4 分 ? x 1 ? (2)结论①正确,因 0 ? x ? . ? 0 ? sin x ? x ? tan x ? 1 ? . 2 sin x cos x ? cos x ? f ( x) ? 1 .????????????6 分
因为
9

结论②错误,举反例: 设 g ( x) ? 1 ?

x 2 x 4 x6 x8 x10 .(利用计算器) ? ? ? ? 3! 5! 7! 9! 11 !

f (0.5) ? g (0.5) ? 3.309313576 ?10?14 ? 0 等????????????8 分 ( f (0.6) ? g (0.6) ? 3.493766163 ?10?13 ? 0 , f (1) ? g (1) ? 1.598273549 ?10?10 ? 0 , f (0.7) ? g (0.7) ? 0, f (0.8) ? f (0.8) ? 0, f (0.9) ? g (0.9) ? 0 均可). ? sin x 结论③正确,由 f ( x ? y) ? f ( x) 知 f ( x ) ? 在区间 (0, ] 上是减函数. 2 x ? 2 所以 f ( x) ? f ( ) ? f ( x) ? ,又 f ( x) ? 1 , 2 ? 2 sin x 所以 f ( x ) ? 的值域为 [ ,1) . ? x ? 2 要使不等式 f ( x) ? k 在 (0, ] 有解,只要 k ? 即可.?????????10 分 2 ?

32.(满分 12 分,第 1 小题 5 分、第 2 小题 7 分)

解: (1)法 1:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则由题意可知:

? 2 y ,由于 x ? y ? 1 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 , y ? 0 ,?2 分 2 2 x ? y ?1 x ? y ?1 ? ? 2 y ,???????????????????4 分 所以 2 2
化简可得: y ? 2 ?1 ( 2 ? 2 ? x ? 2 ? 2 )??????????????5 分 法 2 : 设 点 P 到 三 边 AC , AB, BC 的 距 离 分 别 为 d1 , d 2 , d3 , 其 中 d2 ? y ,
? y ? 2 ? 1 ???4 分 2 2 d ? y ? d ? 1 ? 1 3 ? 2 2 于是点 P 的轨迹方程为 y ? 2 ? 1 ( 2 ? 2 ? x ? 2 ? 2 )????????5 分 (2)由题意知道 0 ? a ? b ? 1 , 情况(1) b ? a . ? d1 ? d3 ? 2 y

x ? y ?1

?

x ? y ?1

| AB |? 2 | AC |? 2 | BC |? 2 .所以 ? ?

直线 l : y ? a( x ? 1) ,过定点 A ? ?1,0? ,此时图像如右下: 由平面几何知识可知,直线 l 过三角形的重心 ? 0, ? ,

? ?

1? 3?

1 从而 b ? a ? .??????????????????7 分 3

b ? ?1 , a 故直线 l 与两边 BC , AC 分别相交,设其交点分别为 D, E , 则直线 l 与三角形两边的两个交点坐标 D ? x1, y1 ? 、 E ? x2 , y2 ? 应该
情况(2)b ? a .此时图像如右下:令 y ? 0 得 x ? ?
? y ? ax ? b 满足方程组: ? . ? ? ?? y ? x ? 1?? x ? y ? 1? ? 0
10

因此, x1 、 x2 是一元二次方程: ? ? a ? 1? x ? ? b ? 1? ? ? ? a ? 1? x ? ? b ? 1? ? ? 0 的两个根. 即 a ?1 x ? 2a(b ?1) x ? (b ?1) ? 0 ,
2 2 2

?

?

由韦达定理得: x1 x2 所以

?b ? 1? ?
2

2

a ?1

而小三角形与原三角形面积比为 ? x1x2 ,即 x1 x2 ? ? .

1 2

1 1 ? a2 . 1 ? a2 亦即 2 b ?1? b ? 1? ? ? a ?1 2, 2 2 , 1 再代入条件 b ? a ,解得 0 ? a ? , 3
2

?b ?1?

2

??

? ? 从而得到 b ? ?1 ? 2 , 1 ? .???????????????????????11 分 ? 2 3? ? ? ? ? 综合上述(1) (2)得: b ? ?1 ? 2 , 1 ? .?????????????????12 分 ? 2 3 ? ? 解法 2:由题意知道 0 ? a ? b ? 1 情况(1) b ? a .
直线 l 的方程为: y ? a( x ? 1) ,过定点 A ? ?1,0? ,

由平面几何知识可知,直线 l 应该过三角形的重心 ? 0, ? , 从而 b ? a ?

? ?

1? 3?

情况(2) b ? a .

1 .??????????????????????????7 分 3

设直线 l : y ? ax ? b 分别与边 BC : y ? ?x ?1, x ??0, 1? , 边 AC : y ? x ?1, x ???1,0? 的交点分别为点 D, E , 通过解方程组可得: D (

1? b a ? b 1? b a ? b , ) , E( , ) ,又点 C (0,1) , a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

0
∴ S ?CDE ?

1

1

1 1? b 2 a ?1 1? b a ?1
2

a?b 1 1 ? a2 2 1 = ,同样可以推出 ?1 ? b ? ? . a ?1 2 2 a ?b 1 a ?1

2 1 亦即 b ? 1 ? 1 ? a ,再代入条件 b ? a ,解得 0 ? a ? ,

3

从而得到 b ? ? 1 ?

? ?

2 1 ? .?????????????????????11 分 , ? 2 3?

综合上述(1) (2)得: b ? ? 1 ?

? ?

2 1? , ? .???????????????12 分 2 3?

解法 3: 情况(1) b ? a .
11

直线 l 的方程为: y ? a( x ? 1) ,过定点 A ? ?1,0? , 由平面几何知识可知,直线 l 过三角形的重心 ? 0, ? ,

? ?

1? 3?

1 .???????????????????????????7 分 3 情况(2) b ? a . b 令 y ? 0 ,得 x ? ? ? ?1 ,故直线 l 与两边 BC , AC 分别相交, a 设其交点分别为 D, E , 当 a 不断减小时, 为保持小三角形面积总为原来的一半, 则b
从而 b ? a ? 也不断减小. 当 DE / / AB 时, ?CDE 与 ?CBA 相似,由面积之比等于相似比的平方.

2 1? b 2 ,所以 b ? 1 ? , ? 1 2 2 ? 2 1? , ? .??????????????????????12 分 综上可知 b ? ? 1 ? ? 2 3? ?
可知

12


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