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圆与方程(含直线与圆、圆与圆的位置关系),高考历年真题


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【考点 27】圆与方程(含直线与圆、圆与圆的位置关系)
2009 年考题 1.(2009 辽宁高考)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为(
2



2

(A) ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2 (C)

(B) ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】 选 B.圆心在 x+y=0 上,排除 C、 D,再结合图象,或者验证 A、 B 中圆心到两直线的距离等于半径 2 即可. 2. (2009 浙江高考) 已知三角形的三边长分别为 3, 4,5 , 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 )

【解析】选 B.由于 3,4,5 构成直角三角形 S,故其内切圆半径为 r= 直角三角形 S 的两边也有 4 个交点。

3? 4?5 ? 1 ,当该圆运动时,最多与 2

3.(2009 上海高考).过圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于 点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有( (A) 0 条 ) (B) 1 条 (C) 2条 (D) 3 条

【解析】 选 B.由已知, 得: 第 II, IV 部分的面积是定值, 所以, SIV ? SII ? SIII ? SI , , SIV ? SII 为定值,即 S III ? SI , 为定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线 AB 只有一条,故选 B。 4.(2009 湖南高考)已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2
2 2

的方程为(
2


2

(A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 (C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ? 2 2 【解析】选 B.设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? , b ? 1 ? ? ?1 ? ? a ?1
解得: ?

?a ? 2 ,对称圆的半径不变,为 1,故选 B. ?b ? ?2

5.(2009 陕西高考)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆学 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为科网 (A) 3 (B)2 (C) 6 (D)2 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】选 D.过原点且倾斜角为 60°的直线方程为
2 3x ? y ? 0,圆x 2 ? (y ? 2) ? 4的圆心(0,2)到直线的距离为

d?

3?0? 2 3 ?1

? 1,因此弦长为2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ? 1 ? 2 3
) D.相离

6.(2009 重庆高考)直线 y ? x ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系为( A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心

【解析】选 B.圆心 (0, 0) 为、到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? B。

1 2 2 ,而 0 ? ? 1 ,选 ? 2 2 2

7.(2009 重庆高考)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1



2 【解析】选 A.方法 1(直接法) :设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (0 ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,

故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1。 方法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故圆的方程为

x2 ? ( y ? 2)2 ? 1
方法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排除 C。 8.(2009 上海高考)过点 P ( 0, 1 ) 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直 线方程是 ( (A) x ? 0 . ) (B) y ? 1 . (C) x ? y ? 1 ? 0 . (D) x ? y ? 1 ? 0 .

【解析】选 C.点 P ( 0, 1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 内,圆心为 C(1,0) ,截得的弦最长时的直线为 CP, 方程是

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 。 1 1
.

9. (2009 广东高考)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ?
2 2 所以圆的方程 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 2 2 答案: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

| 2 ?1 ? 6 | 5 , ? 1?1 2

25 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

25 2
2 2 2 2

10. (2009 天津高考)若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3 , 则 a ? ___________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2


2

【解析】由知 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 的半径为 6 ? a ,由图可知 6 ? a 2 ? (?a ? 1) 2 ? ( 3 ) 2 解之得 a ? 1 答案:1. 11.(2009 全国Ⅱ)已知 AC、BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1, 2 , 则四边形 ABCD 的面积的最大值为 。

?

?

【解析】设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2 ,则 d12 +d22 ? OM 2 ? 3 . 四边形 ABCD 的面积 S ?

1 | AC | ? | BD |? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) 2

3 25 ? 2 (1 ? d 2 2 )(4-d 2 2 ) ? 2 ?(d 2 2 - )2 ? 2 4 0 ? d22 ? 3 3 ?当d 2 2 ? 时S四边形ABCD有最大值为5. 2
答案:5. 12.(2009 全国Ⅱ)已知圆 O: x ? y ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成
2 2

的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= ?

1 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是 2

5 1 5 25 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4 25 答案: 4
5和

13. (2009 湖北高考)过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q, 则线段 PQ 的长为 。

【解析】可得圆方程是 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 PQ ? 4 答案:4 14.(2009 四川高考)若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点, 且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 .w

【解析】由题知 O1 (0,0), O2 (m,0) ,且 5 ?| m |? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 ,所以

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?
答案:4. 15. (2009 福建高考) 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: ? 个数. 【解析】圆的方程可化为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 . 其圆心为 C ( ?1, 2) ,半径为 2. 圆心到直线的距离 d ?

5 ? 20 ? 4。 5

? x ? ?1 ? 2cos? ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数 )试判断他们的公共点

| 3 ? (?1) ? 4 ? 2 ? 12 | 3 ?4
2 2

?

7 ?2 5

故直线与圆的公共点个数为 2. 答案:2 16.(2009 海南、宁夏高考)已知曲线 C 1 : ? 数) 。 (1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 的中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】 (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ?

3 sin ? ). 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

17.(2009 江苏高考)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆

C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .
(1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2) 设 P 为平面上的点, 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 , 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。 【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题 的能力。满分 16 分。 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离

d ? 22 ? (

2 3 2 ) ? 1, 2

结合点到直线距离公式,得: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1,

2 化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0或k ? ?

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ? 即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0

7 ( x ? 4) , 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由垂径定理,得圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4 1 | ? ?5? n? m| k 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km | ? k , 2 1 k ?1 ?1 k2
化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,或? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2

2008 年考题 1、 (2008 山东高考)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的 标准方程是
2





(y ? ) ? 1 A. ( x ? 3) ?
2

7 3

B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 【解析】选 B.设圆心为 ( a,1), 由已知得 d ?

(x ? ) ? ( y ? 1) ? 1 D.
2 2

3 2

| 4a ? 3 | 1 ? 1,? a ? 2(舍 ? ). 5 2

2 2 2、 (2008 广东高考)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是( )

A.x+y+1=0

B.x+y-1=0

C.x-y+1=0

D.x-y-1=0

【解析】选 C.易知点 C 为 (?1, 0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为 y ? x ? b , 将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ? 1 ? 0 (或由图象 快速排除得正确答案) 。 3、 (2008 山东高考)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 A.10 6 B.20 6 ( ) D.40 6

C.30 6

2 2 【解析】选 B。将方程化成标准方程 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 ,过点 (3,5) 的最长弦(直径)为 AC ? 10,

最短弦为 BD ? 2 52 ? 12 ? 4 6, S ? 4、 (2008 全国Ⅰ)若直线
2 2 A. a ? b ? 1

1 AC ? BD ? 20 6. 2

x y ? =1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则( ) a b 1 1 1 1 2 2 B. a ? b ? 1 C. 2 ? 2 ? 1 D. 2 ? 2 ? 1 a b a b

【解析】选 D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断,由相切或相交得: d ? r ,

d?

?1 1 1 ( )2 ? ( )2 a b

1 1 ? 1 , ( )2 ? ( )2 ? 1 . a b

5、 (2008 安徽高考)若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点,则直线 l 的斜率的取 值范围为( ) B. (? 3, 3) C. [?

A. [? 3, 3]

3 3 , ] 3 3

D. (?

3 3 , ) 3 3

【解析】选 C.方法一:数形结合法(如图) 另外,数形结合画出图象也可以判断 C 正确。 方法二:利用距离与半径的关系 点 A? 4,0? 在圆外,因此斜率必存在。设直线方程为 y ? k ( x ? 4) , 即 kx ? y ? 4k ? 0 ,直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径 d ?

2k ? 4k k 2 ?1

? 1,

2 2 2 得 4k ? k ? 1, k ?

1 3 3 . ? ?k? 3 3 3

6、 (2008 上海高考)如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴 的正半轴分别相切于点 C、D 的定圆所围成区域(含边界) ,A、B、C、D 是该 圆的四等分点,若点 P ( x, y ) 、 P( x?, y?) 满足 x ? x? 且 y ? y? ,则称 P 优于 P? , 如果 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q,那么所有这样的点 Q 组成 的集合是劣弧( A. AB ) B. AB C. AB D. AB

【解析】选 D.由题意知,若 P 优于 P? ,则 P 在 P? 的左上方,

? 当 Q 在 上时,左上的点不在圆上, ? 不存在其它优于 Q 的点, ? Q 组成的集合是劣弧。
7、 (2008 天津高考) 已知圆 C 的圆心与点 P(?2, 直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相 1) 关于直线 y ? x ? 1 对称. 交于 A,B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为 .

【解析】本小题主要考查直线方程中的对称 问题,圆中有关弦长的计算两方面的知识. ..

(?4 ? 11) 2 由已知可求圆心的坐标为 (0, ?1) ,所以 r ? 3 ? ? 18 ,圆的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 . 2 5
2 2

答案: x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 8、 (2008 宁夏海南高考)已知 m ? R , 直线 l : mx ? (m 2 ? 1) y ? 4m 和圆 C : x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 【解析】 (Ⅰ)

1 的两段圆弧?为什么? 2

m ,?km2 ? m ? k ? 0(?) , m ?1 1 1 m ? R , ∴当 k≠0 时 ? ≥ 0 ,解得 ? ≤ k ≤ 且 k≠0 2 2 k?
2

又当 k=0 时,m=0,方程 (?) 有解,所以,综上所述 ? ≤ k ≤ (Ⅱ)假设直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为

1 2

1 2

1 的两段圆弧.设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点 2

则∠ACB=120° .∵圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,∴圆心 C(4,-2)到 l 的距离为 1.

故有

4m ? 2(m 2 ? 1) ? 4m m ? (m ? 1)
2 2 2

? 1 ,整理得 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 .

∵ ? ? 52 ? 4 ? 3 ? 3 ? 0 ,∴ 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 无实数解. 因此直线 l 不可能将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧. 2

9、 (2008 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b ( x ? R )与两坐标轴有三 个交点.记过三个交点的圆为圆 C . (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)?证明你的结论. 【解析】 (Ⅰ)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)=0,得 x2+2x+b=0,由题意 b≠0 且△ >0,解得 b<1 且 b≠0 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b 令 x=0,得 y2+ Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x2+ y2+2x -(b+1)y+b=0 (Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1) , (-2,1)

证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 02+ 12+2× 0-(b+1)× 1+b=0,右边=0 所以圆 C 必过定点(0,1) ; 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) . 10、 (2008 北京高考)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率 为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 【解析】 (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 由? 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 . ? y ? ?x ? n
因为 A,C 在椭圆上,
2 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?

4 3 4 3 . ?n? 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

3n 2 ? 4 3n , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4
n . 2

所以 y1 ? y2 ?

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BC ? CA .

所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2
2 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 11、 (2008 湖北高考)如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中,

OD ? AB , P 是半圆弧上一点, ?POB ? 30? ,曲线 C 是满足 || MA | ? | MB ||
为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P . (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)方法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则 A (-2,0) ,B(2,0) ,D(0,2),P( 3,1 ) ,依题意得
2 2 2 2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= (2 ? 3) ? 1 ? (2 ? 3) ? 1 =2 2 <|AB|=4.

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c,

x2 y2 ? ? 1. 则 c=2,2a=2 2 ,∴a =2,b =c -a =2.∴曲线 C 的方程为 2 2
2 2 2 2

方法 2:同方法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|<|AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a >0,b>0). a2 b2

2 ? ( 3) 12 ? ?1 ? 则由 ? a 2 解得 a2=b2=2, b2 ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

图1

图2

(Ⅱ)方法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得(1-K2)x2-4kx-6=0. ① ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
2 ? ? ?1 ? k ? 0 ?k ? ?1 ∴ ? ? ? 2 2 ? ? ?? 3 ? k ? 3 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?



4k 6 , x1 x2 ? ? ,于是 2 1? k 1? k 2

(1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2
2

= 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k ?
2 2

2 2 3?k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2



∴S△ OEF=

1 1 2 2 2 3?k2 2 2 3? k2 d ? EF ? ? ? 1? k 2 ? ? . 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

若△ OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△ OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3? k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2. 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1)∪(-1,1) ∪(1,

2 ].

方法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-K2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,

∴ ?

2 ? ? ?1 ? k ? 0 ?k ? ?1 ? ? 2 2 ? ? ?? 3 ? k ? 3 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

? 1? k 2

?

2 2 3?k2 1? k 2

.



当 E、F 在同一支上时(如图 1 所示) , S△ OEF= S ?ODF ? S ?ODE ?

1 1 OD ? x1 ? x 2 ? OD ? x1 ? x 2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ?OEF ? S ?ODF ? S△ ODE=
综上得 S△ OEF=

1 1 OD ? ( x1 ? x 2 ) ? OD ? x1 ? x 2 . 2 2

1 OD ? x1 ? x 2 , 于是 2

由|OD|=2 及③式,得 S△ OEF=

2 2 3?k2 1? k 2

.

若△ OEF 面积不小于 2 2,即S ?OEF ? 2 2 , 则有

2 2 3? k2 ? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2. 2 1? k



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 2 ].

2007 年考题 1、(2007 安徽高考)若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 (A)-2 或 2 (B)

2 ,则 a 的值为 2

1 3 或 2 2

(C)2 或 0

(D)-2 或 0

【解析】选 C.若圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心(1,2)到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为
2 2

2 ,∴ 2

|1 ? 2 ? a | 2 , ? 2 2
∴ a=2 或 0,选 C。

2、 (2007 上海高考)圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(
2 2 A. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?



1 2

2 2 B. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?

1 2

C. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

D. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

【解析】 选 C.圆 x2 ? y 2 ? 2x ?1 ? 0 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 , 圆心 (1, 0) , 半径 2 , 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆半径不变,排除 A、B,两圆圆心连线,线段的中点在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,C 中圆 ,验证适合,故选 C。 ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 的圆心为(-3,2) 3、 (2007 湖北高考)已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的 a b
) D.78 条

横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.60 条 B.66 条 C.72 条

【解析】选 A.可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点, 而圆 x2 ? y 2 ? 100 上的整数点共有 12 个,分别为 ? 6, ?8? , ? ?6, ?8 ?, ?8, ?6 ? ,

? ?8, ?6? , ? ?10,0? , ?0, ?10? ,前 8 个点中,过任意一点的圆的切线满足,有 8 条;12 个点中过任意两点,
2 构成 C12 ? 66 条直线,其中有 4 条直线垂直 x 轴,有 4 条直线垂直 y 轴,还有 6 条过原点(圆上点的对称

性) ,故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有 52 ? 8 ? 60 条,选 A. 4、 (2007 湖北高考)由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为 A.1 B.2 2 C. 7 D.3

【解析】选 C.切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距 离为 d=

| 3 ? 0 ?1| 2

? 2 2 ,圆的半径为 1,故切线长的最小值为 d 2 ? r 2 ? 8 ? 1 ? 7 ,选 C.

5、 (2007 重庆高考)若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,
P

y

且∠POQ=120° (其中 O 为原点) ,则 k 的值为 (A) ? 3或 3 (C) ? 2或 2 (B) 3 (D) 2
2
O

1
X

Q

【解析】选 A.如图,直线过定点(0,1) ,

?O P Q?3 0 , ? ?1 ? 1 2 0 ? , 2 ? 6 0? k, ? ?

3.

6、 (2007 广东高考) (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? (参数 t∈R) ,圆 C 的参数方程为 ? 到直线 l 的距离为______. 【解析】直线的方程为 x+y-6=0,d= 答案:(0,2) ;2 2 . 7、 (2007 广东高考)[几何证明选讲选做题]如图所示,圆O的直径为6, C为圆周上一点。BC=3,过C作圆的切线 l,过A作 l 的垂线AD, 垂足为D,则∠DAC=______;线段 AE 的长为_______。 【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余, 很容易得到答案,AE=EC=BC=3; 答案:
? ;3。 6
| 2?6| 2 ?2 2;

?x ? t ? 3 ?y ? 3?t

? x ? 2 cos ? (参数 ? ? [0, 2? ] ) ,则圆 C 的圆心坐标为_______,圆心 ? y ? 2sin ? ? 2

D
E

C l O B

A

8、 (2007 天津高考)已知两圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相交于 A, B 两点,则直线 AB 的方程 是 __________ . 【解析】两圆方程作差得 x ? 3 y ? 0 .
14

答案: x ? 3 y ? 0
12

9、 (2007 山东高考)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都 相切的半径最小的圆的标准方程是_________. 【解析】曲线化为 ( x ? 6) ? ( y ? 6) ? 18 ,其圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为
2 2

10

8

6

4

d?

6?6?2 2

2

? 5 2. 所求的最小圆的圆心在直线 y ? x 上,其到直线的距离为
-10 -5 5 10 -2

2 ,圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 。
答案: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2
2 2
2 10、 (2007 上海高考) 已知圆的方程 x ? ? y ? 1? ? 1 ,P 为圆上任意一点 (不包括原点) 。 2

直线 OP 的倾斜角为 ? 弧度, OP ? d ,则 d ? f 【解析】 OP ? 2 cos( 答案:

?? ? 的图象大致为 _____

?
2

? ? ) ? 2sin ? , ? ? (0, ? )

11、 (2007 湖南高考)圆心为 (11) , 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是



【解析】半径 R=

|1?1? 4 | 2

? 2 ,所以圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

答案: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 12、 (2007 江西高考)设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . D.所有的圆均不 经过原点 . 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号)
2

【解析】圆心为(k-1,3k)半径为 2k ,圆心在直线 y=3(x+1)上,所以直线 y=3(x+1)必与所有的 圆相交,B 正确;由 C1、C2、C3 的图像可知 A、C 不正确;若存在圆过原点(0,0) ,则有

(?k ? 1) 2 ? 9k 2 ? 2k 4 ? 10k 2 ? 2k ? 1 ? 2k 4 ( k ? N *) 因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在 k 使
上式成立,即所有圆不过原点。 答案:B、D 13、 (2007 四川高考)已知 O 的方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ? 0 , O ' 的方程是 x2 ? y 2 ? 8x ? 10 ? 0 ,由动点 P 向 O和

O ' 所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是__________________

【解析】 O :圆心 O (0, 0) ,半径 r ?
2 2 2 2

2 ; O ' :圆心 O '(4,0) ,半径 r ' ? 6 .设 P ( x, y ) ,由切线
3 . 2

长相等得 x ? y ? 2 ? x ? y ? 8x ? 10 ,即 x ? 答案: x ?

3 2

0) , AB 边所在直线的方程为 14、 (2007 北京高考)矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (?11) , 在 AD 边所在直线上.

(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (III)若动圆 P 过点 N (?2, 0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程. 【解析】 (I) 因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 ?3 . 又因为点 T (?11) , 在直线 AD 上, 所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) . 即 3x ? y ? 2 ? 0 .

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 2) , 解得点 A 的坐标为 (0, ?3x ? y ? 2 = 0

0) . 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2,
所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 . (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ?

2 ,半焦距 c ? 2 .所以虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 .
x2 y 2 ? ? 1( x ≤ ? 2) . 2 2
2

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

15、 (2007 北京高考)已知函数 y ? kx 与 y ? x ? 2( x ≥ 0) 的图象相交于 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,l1 ,l2 分别是 y ? x ? 2( x ≥ 0) 的图象在 A,B 两点的切线, M ,N 分别是 l1 , l2 与 x 轴的交点.
2

(I)求 k 的取值范围; (II)设 t 为点 M 的横坐标,当 x1 ? x2 时,写出 t 以 x1 为自变量的函数式,并求其定义域和值域; (III)试比较 OM 与 ON 的大小,并说明理由( O 是坐标原点) .

【解析】 (I)由方程 ?

? y ? kx, ?y ? x ? 2
2

消 y 得 x 2 ? kx ? 2 ? 0 .



依题意,该方程有两个正实根,故 ?

?? ? k 2 ? 8 ? 0,

? x1 ? x2 ? k ? 0,

解得 k ? 2 2 .

(II)由 f ?( x) ? 2 x ,求得切线 l1 的方程为 y ? 2x1 ( x ? x1 ) ? y1 ,
2 由 y1 ? x1 ? 2 ,并令 y ? 0 ,得 t ?

x1 1 ? 2 x1

x1 , x2 是方程①的两实根,且 x1 ? x2 ,故 x1 ?

k ? k2 ?8 4 ,k ? 2 2, ? 2 2 k ? k ?8

x1 是关于 k 的减函数,所以 x1 的取值范围是 (0,2) .

t 是关于 x1 的增函数,定义域为 (0,2) ,所以值域为 (??,0) ,
(III)当 x1 ? x2 时,由(II)可知 OM ? t ? ?

x1 1 ? . 2 x1

类似可得 ON ?

x2 1 x ?x x ?x ? . OM ? ON ? ? 1 2 ? 1 2 . 2 x2 2 x1 x2

由①可知 x1 x2 ? 2 .从而 OM ? ON ? 0 .当 x2 ? x1 时,有相同的结果 OM ? ON ? 0 .


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