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高中数学必修2圆与方程复习


第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心
2 2 2
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)

? ( y ? b) ? r 的位置关系: 当 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) > r 2 ,点在圆外
2 2

当 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) = r 2 ,点在圆上
2 2

当 ( x0 ? a) ? ( y0 ? b) < r 2 ,点在圆内
2 2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

1 D E ? ,半径为 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? r? D 2 ? E 2 ? 4F ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
当D
2
2

2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 ) 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 , 圆 心 C ?a, b ? 到 l 的 距 离 为
d? Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半 径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C 2 : ?x ? a 2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
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一、选择题 1.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则圆 C 的半径为( A. 5 B .5 C.25 D. 10 ).

).

2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ). 2 2 2 A.(x-3) +(y+4) =16 B.(x+3) +(y-4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9 D.(x+3)2+(y-4)2=19 4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( ). A.0 或 2 B .2 C. 2 ).

D.无解

5.圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 B .6

C .6 2

D.4 3

6.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系为( ). A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2 2 2 2 7.圆 x +y -2x-5=0 与圆 x +y +2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 ( ). A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 2 2 2 2 8.圆 x +y -2x=0 和圆 x +y +4y=0 的公切线有且仅有( ). A.4 条 B .3 条 C .2 条 D.1 条 9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( ). A.3 B .2 C .1 D.0 10.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( ). A.2 43 B.2 21 C .9 D. 86

二、填空题 11.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 . 12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 2 2 2 2 14.两圆 x +y =1 和(x+4) +(y-a) =25 相切,试确定常数 a 的值 . 15.圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为 . 16.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 .

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三、解答题 17.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程.

18.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0).

19.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程.

20.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程.

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一、选择题(60 分) 1.方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是
2 2 2





( A) a ? ?2 (C ) ?2 ? a ? 0
2.曲线 x2+y2+2 A.直线 x=

2 ?a?0 3 2 ( D ) ?2 ? a ? 3
(B) ?
) B.直线 y=-x 轴对称 D.点(-
2 2

2 x-2 2 y=0 关于( 2 轴对称 2 )中心对称

C.点(-2,
2 2

2 ,0)中心对称
( )

3、圆 x ? y ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? a sin ? ? 0 在 x 轴上截得的弦长为 A. 2a B. 2 a C. 2 a D. 4 a

4、直线 3x-4y-5 = 0 和(x-1)2 + (y + 3)2 = 4 位置关系是 A 相交但不过圆心 B 相交且过圆心 C 相切
5.自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为( (A)
5
2

( ) D 相离


(B) 3
2

(C)

10
2 2

(D) 5

6.已知曲线 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) 关于直线 x ? y ? 0 对称,则( )

( A) D ? E ? 0

(B) D ? E ? 0

(C ) D ? F ? 0

(D) D ? E ? F ? 0

7、已知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程为 A (x + 1)2 + (y-1)2 = 25 B (x-1)2 + (y + 1)2 = 100 C (x-1)2 + (y + 1)2 = 25 D (x + 1)2 + (y-1)2 = 100
2 2





8.直线 y ? ? x ? m 与圆 x ? y ? 1在第一象限内有两个不同交点,则 m 的取值范围是 (



( A) 0 ? m ? 2 (C ) 1 ? m ? 2

(B) 1 ? m ? 2 (D) ? 2 ? m ? 2


9 如果直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且不通过第四象限,那么直线 l 的斜率的取值范围是( A.[0,2] B.[0,1] C.[0,

1 ] 2

D.[0,

1 ) 2

10.M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与 该圆的位置关系是( ) A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交

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11.方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是( )
2

A

一个圆

B 两个圆
2

C 半个圆
2

D

两个半圆

12.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是

? 3 ? ? , 0? ? 4 ? ? A.

? 3 3? 3? ? ?? , ? ? 0 , ? ? ? ? ?? 3 ,3 ? ? ? 4 ? ? ? B. C. ?

? 2 ? ? , 0? ? 3 ? ? D.

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

第二卷(90 分) 二、填空题. (每小题 5 分,共 20 分) 13.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的动点 Q 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为
2 2

.

2 2 2 2 2 14.集合 A A ? ( x, y ) x ? y ? 4 , B ? ( x, y ) ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? r , ,其中 r ? 0 ,若 A ? B 中有且

?

?

?

?

只有一个元素,则 r 的值为_________________________________。
2 2 15.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有

个。

16、已知 AC、BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1, 2 ,则四边形 ABCD 的面积
2 2

?

?

的最大值为



三、解答题(共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17 过⊙:x2+y2=2 外一点 P(4,2)向圆引切线, (1)求过点 P 的圆的切线方程; (2)若切点为 P1,P2,求过切点 P1,P2 的直线方程。

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18、已知定点 B (3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动,M 是线段 AB 上的一点,且 AM ?
2 2

1 MB ,问点 M 3

的轨迹是什么?

19、已知点 P( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

(1)求

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2

20.已知圆 ? C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 与 ? C2 : x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 相交于 A, B 两点,
2 2

(1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y ? ? x 上,且经过 A, B 两点的圆的方程; (3)求经过 A, B 两点且面积最小的圆的方程。

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21、已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 .
2 2

(1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.

22、已知圆 C : x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 l : x ? y ? 3 ? 0 (见 275 页)
2 2

(1)当圆 C 与直线 l 相切时,求圆 C 关于直线 l 的对称圆方程; (2)若圆 C 与直线 l 相交于 P 、 Q 两点,是否存在 m ,使得以 PQ 为直径的的圆经过原点 O ?

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第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
(-3+7)2 =5. 1.B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径, (2-5)2+

2.C 解析一:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A,C 满足条件,再把 A 点坐标 (1,-1)代入圆方程.A 不满足条件.∴选 C. 解析二:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r,因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上,∴b=2-a.由|CA|= |CB|,得(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得 a=1,b=1.因此圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 3.B 解析:∵与 x 轴相切,∴r=4.又圆心(-3,4),∴圆方程为(x+3)2+(y-4)2=16. 4.B 解析:∵x+y+m=0 与 x2+y2=m 相切,∴(0,0)到直线距离等于 m .∴
m 2

= m ,∴m=2.

5.A 解析:令 y=0,∴(x-1)2=16.∴ x-1=±4,∴x1=5,x2=-3.∴弦长=|5-(-3)|=8. 6.B 解析:由两个圆的方程 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2=4 可求得圆心距 d= 13 ∈ (0,4),r1=r2=2,且 r 1-r 2<d<r 1+r2 故两圆相交,选 B. 7.A 解析:对已知圆的方程 x2+y2-2x-5=0,x2+y2+2x-4y-4=0,经配方,得(x-1)2+y2=6, (x+1)2+(y-2)2=9.圆心分别为 C1(1,0),C2(-1,2).直线 C1C2 的方程为 x+y-1=0. 8.C 解析:将两圆方程分别配方得(x-1)2+y2=1 和 x2+(y+2)2=4,两圆圆心分别为 O1(1,0),O2(0, -2),r1=1,r2=2,|O1O2|= 12+2 2 = 5 ,又 1=r2-r1< 5 <r1+r2=3,故两圆相交,所以有两条 公切线,应选 C. 9.C 解:①②③错,④对.选 C. 10.D 解析:利用空间两点间的距离公式. 二、填空题 3+4+8 11.2.解析:圆心到直线的距离 d= =3,∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2. 5 12.(x-1)2+(y-1)2=1.解析:画图后可以看出,圆心在(1,1),半径为 1.
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故所求圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1. 13.(x+2)2+(y-3)2=4.解析:因为圆心为(-2,3),且圆与 y 轴相切,所以圆的半径为 2.故所求圆 的方程为(x+2)2+(y-3)2=4. 14.0 或±2 5 .解析:当两圆相外切时,由|O1O2|=r1+r2 知 4 2+a 2 =6,即 a=±2 5 . 当两圆相内切时,由|O1O2|=r1-r2(r1>r2)知 4 2+a 2 =4,即 a=0.∴a 的值为 0 或±2 5 . 15.(x-3)2+(y+5)2=32.解析:圆的半径即为圆心到直线 x-7y+2=0 的距离; 16.x+y-4=0.解析:圆 x2+y2-4x-5=0 的圆心为 C(2,0),P(3,1)为弦 AB 的中点,所以直线 AB 与直线 CP 垂直,即 kAB·kCP=-1,解得 kAB=-1,又直线 AB 过 P(3,1),则直线方程为 x+y-4=0. 三、解答题 y 17.x2+y2=36.解析:设直线与圆交于 A,B 两点,则∠AOB=120° ,设
r 15 所求圆方程为:x +y =r ,则圆心到直线距离为 ? ,所 2 5 以 r=6,所求圆方程为 x2+y2=36.
2 2 2

A -5

4 2

O r B

-2 -4

5 x

18.x2+y2-ax-by=0. 解析:∵圆过原点,∴设圆方程为 x2+y2+Dx+Ey=0.∵圆过(a,0)和(0,b), ∴a2+Da=0,b2+bE=0. 又∵a≠0,b≠0,∴D=-a,E=-b.故所求圆方程为 x2+y2-ax-by=0. 19.x2+y2-2x-12=0. 解析:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A,B 两点在圆上,代入方程整理得: D-3E-F=10 ① 4D+2E+F=-20 ② 设纵截距为 b1,b2,横截距为 a1,a2.在圆的方程中, 令 x=0 得 y2+Ey+F=0,∴b1+b2=-E; 令 y=0 得 x2+Dx+F=0,∴a1+a2=-D. 由已知有-D-E=2.③①②③联立方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 所以圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 20.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 根据题意:r=
10 ? 6 =2,圆心的横坐标 a=6+2=8, 2

第 17 题

所以圆的方程可化为:(x-8)2+(y-b)2=4. 又因为圆过(8,3)点,所以(8-8)2+(3-b)2=4, 解得 b=5 或 b=1, 所求圆的方程为(x-8)2+(y-5)2=4 或(x-8)2+(y-1)2=4.

高一数学单元测试(圆)答案
一、选择题

DBBCB
二填空题 13、3

A A B A C DA
14、3 或 7 15、3 16、5

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16、解:设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d 2 ,则 d1 +d 2 ? OM ? 3 .
2 2 2

四边形 ABCD 的面积 S ? 三解答题

1 | AB | ? | CD |? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 8 ? (d12 ? d 2 2 ) ? 5 2

17、解:(1)设过点 P(4,2) 的圆的切线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) ,整理可得: kx ? y ? 4k ? 2 ? 0

则有

? 4k ? 2 k ?1
2

? 2 ,所以 k ? 1 或 k ?

1 , 7

所以过点 P(4,2) 的圆的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? 7 y ? 10 ? 0 。 (2) 有题意可知 O 、 P 、 P1 、 P2 四点共圆,且线段 OP 为该圆的直径, 所以易得此圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 ,
2 2

则切点 P1 、 P2 的直线即为两圆的公共弦所在的直线,

? x2 ? y2 ? 2 联立 ? ,即可得所求直线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 2 2 ?( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
18、解:设 M ( x, y ), A( x1 , y1 ) .∵ AM ?

1 1 MB ,∴ ( x ? x1 , y ? y1 ) ? (3 ? x,? y ) , 3 3

1 ? x ? x1 ? (3 ? x) ? ? 3 ∴ ? ,∴ ?y ? y ? ? 1 y 1 ? 3 ?

4 ? x1 ? x ? 1 ? ? 2 2 3 2 2 . ∵ 点 A 在 圆 x ? y ? 1 上 运 动 , ∴ x1 ? y1 ? 1 , ∴ ? ?y ? 4 y 1 ? 3 ?

4 4 3 9 3 9 ( x ? 1) 2 ? ( y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,∴点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 3 3 4 16 4 16 3 3 所以点 M 的轨迹是以 ( ,0) 为圆心,半径 r ? 的圆。 4 4 y ?1 ? k ,则 k 表示点 P( x, y ) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, k 取得最 19、解: (1)设 x?2
大值与最小值.由

2k k 2 ?1

? 1 ,解得 k ? ?

3 y ?1 3 3 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 ? . x?2 3 3 3

(2)设 2 x ? y ? m ,则 m 表示直线 2 x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 取得最大值

与最小值.由

1? m 5

? 1,解得 m ? 1 ? 5 ,∴ 2 x ? y 的最大值为1 ? 5 ,最小值为1 ? 5 .
? x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0
2 2 ? x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0

20、解: (1)联立 ?

整理可得 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,

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所以,公共弦 AB 所在的直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 (2)根据题意可设所求直线方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? ? ( x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24) ? 0(? ? ?1)
2 2 2 2

2 ? 2? 2 ? 10? 8 ? 24? x? y? ? 0, 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? 5? 所以所求圆的圆心坐标为 (? ,? ) ,又因为圆心在直线 y ? ? x 上, 1? ? 1? ? 1 2 2 代入直线 y ? ? x 可得 ? ? ? ,所以所求圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 8 ? 0 2
整理可得: x 2 ? y 2 ? (3)根据题意可知过经过 A, B 两点且面积最小的圆以线段 AB 为直径,中点为圆心的圆, 由(2)可知圆心圆心坐标为 (? 程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 可得 ? ? ?

1 ? ? 1 ? 5? ,? ) ,又圆心在公共弦 AB 上,代入公共弦 AB 所在的直线方 1? ? 1? ?

1 2 2 ,所以所求圆的方程为 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 3
5 ? r ? 6 ,∴点 P 在圆内,∴直

21、解: (1)∵直线 l : y ? 1 ? m( x ? 1) 恒过定点 P (1,1) ,且 PC ? 线 l 与圆 C 恒交于两点.

(2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点 P 的直线 l 垂直于 PC 时,直线 l 被圆 C 截得的弦长最小,此 时 kl ? ?

1 k PC

? 2 ,∴所求直线 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0 .

22、解(1)由题意可知圆 C 中,圆心坐标为 C (? 设 C (?

1 ,3) , R ? d ? 2

?

1 ?3?3 2 2 ? 4 2

1 ,3) 关于直线 l 的对称点 M (a, b) ,则 2 ? b?3 ? (?1) ? ?1 ? 1 0 ? ? 7 2 1 ?a ? 7 ? a? 2 2 ,即有 ,故所求圆的方程为 x ? ( y ? ) ? ? ? b? 2 8 ? ?a ? 1 2 ? b ? 3 2 ? ? ?3 ? 0 ? 2 ? 2
(2)假设存在 m ,使得以 PQ 为直径的的圆经过原点 O ,则设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) , 联立 ?

?
2

x ? y ?3 ? 0
2

?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0

,消去 y 整理可得 2 x ? x ? m ? 9 ? 0 ,
2

? △? 1 ? 8(m ? 9) ? 0 ? m ?
OP ? OQ ? OP ? OQ ,

73 , 8

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3 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 ? m ? 9 ? ? 9 ? 0 2 3 73 3 ? m ? ? ,且符合题意 m ? ,所以存在 m ? ? 。 2 8 2

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