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2011-2012学年山东省泰安市宁阳四中高三(上)阶段性测试数学试卷


2011-2012 学年山东省泰安市宁阳四中高三(上) 阶段性测试数学试卷(文科)(10 月份)

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2011-2012 学年山东省泰安市宁阳四中高三(上) 阶段性测试数学试卷(文科) (10 月份)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个

选项中,选择符合题目要求的选项. 1. (2011?山东)设集合 M={x|(x+3) (x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩ N=( ) A. [1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3] 2.函数 f(x)的定义域为 R,且满足:f(x)是偶函数,f(x﹣1)是奇函数,若 f(0.5)=9,则 f(8.5)等于( A. ﹣9 B. 9 C. ﹣3 D. 0 3.下列说法中正确的是( ) A. 一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B. “a>b”与“a+c>b+c”不等价 2 2 2 2 C. “a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a +b ≠0” D. 一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 4.下列各组函数是同一函数的是( ① ② f(x)=|x|与
0



) ;

与 ;

③ f(x)=x 与 g(x)=1; 2 2 ④ f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1. ② ③ A. ① B. ① 5. (2011?广东)函数 f(x)= A. (﹣∞,﹣1)

④ C. ② )

④ D. ③

+lg(1+x)的定义域是( B. (1,+∞)
2
﹣m+1

C. (﹣1,1)∪ (1,+∞)D. (﹣∞,+∞) 为减函数,则实数 m=( C. m=2 或 m=﹣1 ) D.

6.当 x∈ (0,+∞)时,幂函数 y=(m ﹣m﹣1)x A. m=2 B. m=﹣1

m≠

7.设 A. a<b<c

,则(



B. a<c<b

C. b<a<c

D. b<c<a

8.下列函数中,在(﹣1,1)内有零点且单调递增的是( ) x A. B. y=2 ﹣1 C.

D. y=﹣x3

9.已知直线 y=x+a 与曲线 y=lnx 相切,则 a 的值为( A. 1 B. 2

) C. ﹣1

D. ﹣2

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www.jyeoo.com 10.已知 ,则下列选项错误的是( )

A. ① f(x﹣1)的图象 是

B. ② f(﹣x)的图象 是

C. ③ f(|x|)的图象 是

D. ④ 是|f(x)|的图象

11.已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1 且 b≠3,则命题甲是命题乙的____条件( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. (2011?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范围为( A. B. (2﹣ ,2+ ) C. [1,3] D. (1,3) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,答案须填在题中横线上.
x 2



13.若函数

,则 f(f(0) )= _________ .

14.命题“?x0∈ R, _________ .

”的否定是

15.已知 f(x)=logax, (a>0 且 a≠1)满足 f(9)=2,则 f(3 )=

a

_________



16.定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且在[﹣1,0]上是增函数,下面是关于 f(x) 的判断:① f(x)是周期函数;② f(x)的图象关于直线 x=1 对称;③ f(x)在[0,1]上是增函数;④ f(2)=f(0) . 其中正确的判断是 _________ (把你认为正确的判断都填上) . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1}, 求(1)A∩ B; (2) RA)∪ (C B. 18.已知函数 f(x)的定义域为(﹣1,1) ,且同时满足下列 3 个条件:① f(x)是奇函数;② f(x)在定义域上单调 2 递减;③ f(1﹣a)+f(1﹣a )<0.求 a 的取值范围. 19.已知命题 p:?x∈ [1,2],x ﹣a≥0;命题 q:?x0∈ R,使得 x0 +(a﹣1)x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, 求实数 a 的取值范围.
2 2 x

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www.jyeoo.com 20.已知 ≤( )
x﹣2

,求函数 y=2 ﹣2

x

﹣x

的值域.

21.已知函数 f(x)= x ﹣ax +(a ﹣1)x+b(a,b∈ ,其图象在点(1,f(1) R) )处的切线方程为 x+y﹣3=0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并求出 f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值. 22. 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件, 并且在生产过程中产品的正品率 P 与每日和生产产品件数 x (x∈ ) N 间的关系为 P= ,每生产一件正品盈利 4000 元,每出现一件次品亏损 2000 元. (注:正品率=产品的正
*

3

2

2

品件数÷产品总件数×100%) . (Ⅰ )将日利润 y(元)表示成日产量 x(件)的函数; (Ⅱ )求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.

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2011-2012 学年山东省泰安市宁阳四中高三(上) 阶段性测试数学试卷(文科) (10 月份)
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的选项. 1. (2011?山东)设集合 M={x|(x+3) (x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩ N=( ) A. [1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3] 考点: 交集及其运算。 专题: 计算题。 分析: 根据已知条件我们分别计算出集合 M,N,并写出其区间表示的形式,然后根据交集运算的定义易得到 A∩ B 的值. 解答: 解:∵ M={x|(x+3) (x﹣2)<0}=(﹣3,2) N={x|1≤x≤3}=[1,3], ∴ N=[1,2) M∩ 故选 A 点评: 本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据已知条件求出集合 M,N,并用区间表示是解答本题的关键. 2.函数 f(x)的定义域为 R,且满足:f(x)是偶函数,f(x﹣1)是奇函数,若 f(0.5)=9,则 f(8.5)等于( A. ﹣9 B. 9 C. ﹣3 D. 0 )

考点: 函数奇偶性的性质。 专题: 计算题。 分析: 由 f(x﹣1)是奇函数,得到 f(x)=﹣f(2﹣x) ,又 f(x)是偶函数,f(x)=f(﹣x)=﹣f(2+x) ,分析 可得:f(0.5)=﹣f(2.5)=f(4.5)=﹣f(6.5)=f(8.5) ,即可得答案. 解答: 解:∵ f(x﹣1)是奇函数,∴ f(x﹣1)=﹣f(1﹣x) f(x)=﹣f(2﹣x) ,∴ , 又∵ f(x)是偶函数,∴ f(x)=f(﹣x) f(x)=﹣f(2+x) ,∴ , ∴ f(0.5)=﹣f(2.5)=f(4.5)=﹣f(6.5)=f(8.5)=9. 故答案选 B. 点评: 本题综合考查抽象的函数奇偶性、周期性. 3.下列说法中正确的是( ) A. 一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B. “a>b”与“a+c>b+c”不等价 C. “a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a2+b2≠0” D. 一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 考点: 四种命题间的逆否关系;命题的否定;不等关系与不等式。 分析: 先找出原命题的条件 p 和结论 q,写出其它三个命题,然后根据四种命题之间的关系给出四种命题的真假. 解答: 解:A、逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故 A 错误; B、由不等式的性质可知,“a>b”与“a+c>b+c”等价,故 B 错误; 2 2 2 2 C、“a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 不全为 0,则 a +b ≠0”,故 C 错误; D、否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性,故 D 正确; 故选 D
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www.jyeoo.com 点评: 已知原命题, 写出它的其他三种命题, 首先把原命题改写成“若 p, q”的形式, 则 然后找出其条件 p 和结论 q, 再根据四种命题的定义写出其他命题.逆命题:“若 q,则 p”;否命题:“若?p,则?q”;逆否命题:“若?q, 则?p”,对写出的命题也可简洁表述;对于含有大前提的命题,在改写命题形式时,大前提不要动. 4.下列各组函数是同一函数的是( ① ② f(x)=|x|与
0

) ;

与 ;

③ f(x)=x 与 g(x)=1; 2 2 ④ f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1. ② ③ A. ① B. ① 考点: 判断两个函数是否为同一函数。 专题: 常规题型。 分析: ① 与
0

④ C. ②

④ D. ③

定义域相同,但是对应法则不同;② f(x)=|x|与)=|x|与 g(x)是同
2 2

一函数;③ f(x)=x 与 g(x)=1 定义域不同;④ f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1.函数与用什么字母 表示无关,只与定义域和对应法则有关. 解答: 解:① 与 的定义域是{x:x≤0};而① =﹣x ,故

这两个函数不是同一函数; ② f(x)=|x|与 的定义域都是 R, =|x|,这两个函数的定义域相同,对应法则也相

同,故这两个函数是同一函数; ③ f(x)=x 的定义域是{x:x≠0},而 g(x)=1 的定义域是 R,故这两个函数不是同一函数; 2 2 ④ f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1.是同一函数. 故 C 正确. 点评: 判断两个函数是否为同一函数的关键是要看定义域和对应法则, 只有两者完全一致才能说明这两个函数是同 一函数.属基础题. 5. (2011?广东)函数 f(x)= A. (﹣∞,﹣1) )
0

+lg(1+x)的定义域是( B. (1,+∞)

C. (﹣1,1)∪ (1,+∞)D. (﹣∞,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法。 专题: 计算题。 分析: 根据题意,结合分式与对数函数的定义域,可得 解答: 解:根据题意,使 f(x)=

,解可得答案.

+lg(1+x)有意义,

应满足

,解可得(﹣1,1)∪ (1,+∞) ;

故选 C. 点评: 本题考查函数的定义域,首先牢记常见的基本函数的定义域,如果涉及多个基本函数,取它们的交集即可.

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www.jyeoo.com ﹣m+1 2 6.当 x∈ (0,+∞)时,幂函数 y=(m ﹣m﹣1)x 为减函数,则实数 m=( A. m=2 B. m=﹣1 C. m=2 或 m=﹣1 ) D.

m≠

考点: 幂函数的性质。 专题: 计算题。 ﹣ 分析: 由幂函数的定义可得函数 y=(m2﹣m﹣1)x m+1 为幂函数,则 m2﹣m﹣1=1,若当 x∈ (0,+∞)时,幂函 数 y=(m ﹣m﹣1)x 为减函数,则﹣m+1<0,解方程即可求出条件的 m 的值. ﹣ 解答: 解:∵ (0,+∞)时,幂函数 y=(m2﹣m﹣1)x m+1 为减函数, x∈ 2 ∴ ﹣m+1<0,m ﹣m﹣1=1 解得 m=2 故选 A 点评: 本题考查的知识点是幂函数的定义和性质,其中熟练掌握幂函数的定义和性质是解答本题的关键,本题中易 忽略当 x∈ (0,+∞)时幂函数为减函数,而错选 C
2
﹣m+1

7.设 A. a<b<c

,则(



B. a<c<b

C. b<a<c

D. b<c<a

考点: 对数值大小的比较。 专题: 计算题。 分析: 利用对数函数的单调性将三个值都与中间的数:底数的对数比较大小,得到三者中的最小值;再将 c 用换底 公式化成以 2 为底的对数,利用对数函数的单调性与 b 比较大小. 解答: 解:∵ 31<a=log32<log33∴ log 0<a<1 ∵ b=log23>log22=1∴ b>1 ∵ ∴ c>1

∵ ∵

=b

即 c>b

故有 c>b>a 故选 A 点评: 本题考查比较对数值或指数值的大小时,常找中间量 1 及 0 与它们比较、考查利用对数函数的单调性比较同 底数的对数的大小. 8.下列函数中,在(﹣1,1)内有零点且单调递增的是( ) x A. B. y=2 ﹣1 C.

D. y=﹣x3

考点: 函数的零点。 专题: 计算题。 分析: A、对数函数的定义域和底数小于 1 时是减函数;B、对数函数的定义域和底数大于 1 时是增函数;C、指数 是正数的幂函数在 R 上是增函数;D、底数大于 1 的指数函数在 R 上是增函数. 解答: 解:A、 y 的定义域是(0,+∞) ,且为减函数,故不正确; B、y=2 ﹣1 的定义域是 R,并且是增函数,且在(﹣1,1)上零点为 0,故正确;
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x

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www.jyeoo.com C、
3

在(﹣1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,故不正确;

D、y=﹣x 是减函数,故不正确. 故选 B. 点评: 考查基本初等函数的定义域和单调性以及函数的零点问题,属基础题. 9.已知直线 y=x+a 与曲线 y=lnx 相切,则 a 的值为( A. 1 B. 2 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题: 计算题。 分析: 设二曲线的切点为 P(x ,y ) ,由 y′ =
0 0

) C. ﹣1

D. ﹣2

=1,可求得 x0,从而可得 y0,代入直线 y=x+a 可求得 a 的值. =1 得:x0=1,

解答: 解:设二曲线的切点为 P(x ,y ) = 0 0 ,由 y′

∴0=lnx0=ln1=0, y ∴ P(1,0) 又 P(1,0)在直线 y=x+a 上, ∴ 1+a=0, ∴ a=﹣1. 故选 C. 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,求得切点坐标是关键,属于基础题.

10.已知

,则下列选项错误的是(



A. ① f(x﹣1)的图象 是

B. ② f(﹣x)的图象 是

C. ③ f(|x|)的图象 是

D. ④ 是|f(x)|的图象

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法。 专题: 作图题。 分析: 先作出 f(x)的图象,再根据变换判断其图象是否正确. 解答: 解:作函数 f(x)的图象,如图所示: ① f(x﹣1)的图象是由函数 f(x)的图象向右平移一个单位得到的,正确. ② f(﹣x)的图象与函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,正确. ③ f(|x|)的图象,当 x≥0 时,与 f(x)的图象相同, 是 当 x<0 时,与 x≥0 时,图象关于 y 轴对称.正确. ④ 因为 f(x)≥0,所以|f(x)|的图象与函数 f(x)的图象相同,所以不正确. 故选 D

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点评: 本题主要考查函数图象的平移变换,对称变换,绝对值变换,这是常见类型要熟练掌握灵活运用. 11.已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1 且 b≠3,则命题甲是命题乙的____条件( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题: 证明题。 分析: 由于已知的两个命题均为含否定词的命题,故可考虑使用等假命题法判断命题的真假,进而判断两命题间的 充要关系 解答: 解:∵ a=1 或 b=3,则 a+b=4”为假命题,故它的等假命题“若 a+b≠4,则≠1 且 b≠3”为假命题; “若 ∵ a+b=4,则 a=1 或 b=3”为假命题,故其等价命题“若 a≠1 且 b≠3,则 a+b≠4”为假命题 “若 ∴ 命题甲:a+b≠4,是命题乙:a≠1 且 b≠3 的既不充分也不必要条件 故选 D 点评: 本题主要考查了判断命题充要关系的方法,利用等假命题法判断命题的真假,充要条件的定义及其应用,属 基础题 12. (2011?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范围为( A. B. (2﹣ ,2+ ) C. [1,3] D. (1,3) 考点: 函数的零点与方程根的关系。 专题: 计算题。 分析: 利用 f(a)=g(b) ,整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可. 解答: 解:∵ f(a)=g(b) , a 2 ∴ ﹣1=﹣b +4b﹣3 e 2 a ∴ +4b﹣2=e >0 ﹣b 2 即 b ﹣4b+2<0,求得 2﹣ <b<2+ 故选 B 点评: 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,答案须填在题中横线上.
2 x 2



13.若函数

,则 f(f(0) )= 3π ﹣4 .

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法。 专题: 计算题。
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www.jyeoo.com 分析: 根据分段函数的解析式,把 x=0 代入求得 f(0)的值,再把 f(0)当成 x 继续代入 f(x)的解析式,从而 求解; 解答: 解:∵ 函数 ,

∴ f(0)=π, 2 2 ∴ f(f(0) )=f(π)=3×π ﹣4=3π ﹣4, 2 故答案为 3π ﹣4. 点评: 此题考查分段函数的解析式的性质,不同的定义域对应不同的函数解析式,是一道比较基础的题.

14.命题“?x0∈ R, ?x∈ R,2 >0 .
x

”的否定是

考点: 命题的否定。 专题: 阅读型。 分析: 利用含量词的命题的否定形式:将?改为?,将结论否定,写出命题的否定. 解答: 解:据含量词的命题的否定形式得到: 命题“?x0∈ R,
x

”的否定是

“?x∈ R,2 >0” x 故答案为“?x∈ R,2 >0” 点评: 本题考查含量词的命题的否定形式是:“?”与“?”互换,结论否定. 15.已知 f(x)=logax, (a>0 且 a≠1)满足 f(9)=2,则 f(3 )=
a

3 .

考点: 对数的运算性质。 专题: 计算题。 a 分析: 由 f(x)=logax, (a>0 且 a≠1)满足 f(9)=2,知 loga9=2,解得 a=3,由此能求出 f(3 ) . 解答: 解:∵ f(x)=logax, (a>0 且 a≠1)满足 f(9)=2, ∴ a9=2, log ∴ a=3, a a ∴ f(3 )=log33 =a=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 16.定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且在[﹣1,0]上是增函数,下面是关于 f(x) 的判断:① f(x)是周期函数;② f(x)的图象关于直线 x=1 对称;③ f(x)在[0,1]上是增函数;④ f(2)=f(0) . 其中正确的判断是 ①④ (把你认为正确的判断都填上) ② . 考点: 函数的周期性;函数单调性的判断与证明;函数的值。 专题: 综合题。 分析: 由题意求出函数的周期,判断① ,推导④ ,利用周期对称性,判断② ,判断③ ,即可确定正确结果. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x)关于 y 轴对称 f(﹣x)=f(x) 又 f(x+1)=﹣f(x) f(x+2)=f(x+1+1)=﹣f(x+1)=f(x)
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www.jyeoo.com 所以 2 为 f(x)的一个周期 ① f(x)关于 x=2 对称,正确 ② 为 f(x)的一个周期,f(x)在[﹣1,0]上是增函数,在(﹣∞,+∞)上的偶函数 f(x) 2 ,f(x)的图象 关于直线 x=1 对称,正确. ③ f(x)在区间[﹣1,0]上为增函数,f(x)关于 y 轴对称,所以 f(x)在[0,1]上是减函数,错误. ④ f(4)=f(2)=f(0)正确. 故答案为:①④ ② 点评: 本题考查函数的周期性,函数单调性的判断与证明,函数的值,考查分析问题解决问题的能力. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1}, 求(1)A∩ B; (2) RA)∪ (C B. 考点: 交、并、补集的混合运算。 专题: 计算题。 分析: x (1)由集合 A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B={y|y=( ) ,x>1}={y|y< },能求出 A∩ B. (2)由(1)知:CRA={y|y≤0},B={y|y< },由此能求出(CRA)∪ B. 解答: 解: (1)∵ 集合 A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, B={y|y=( ) ,x>1}={y|y< }, ∴ B={y|0<y< }. A∩ (2)由(1)知: CRA={y|y≤0},B={y|y< }, ∴ RA)∪ (C B={y|y< }. 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意对数函数和指数 函数的性质的灵活运用. 18.已知函数 f(x)的定义域为(﹣1,1) ,且同时满足下列 3 个条件:① f(x)是奇函数;② f(x)在定义域上单调 2 递减;③ f(1﹣a)+f(1﹣a )<0.求 a 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用。 专题: 计算题;转化思想。 分析: 先根据奇函数进行化简变形,然后依据函数的单调性和定义域建立不等式组,解之即可. 解答: 解:∵ f(x)是奇函数 2 2 ∴ f(1﹣a)<﹣f(1﹣a )=f(a ﹣1) , ∵ f(x)在定义域上单调递减
x x





∴ 0<a<1
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www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查函数的奇偶性与单调性,属于简单的综合题,函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质, 单调性是函数的“局部”性质.研究函数的奇偶性、单调性,必须正确理解它们的定义. 19.已知命题 p:?x∈ [1,2],x ﹣a≥0;命题 q:?x0∈ R,使得 x0 +(a﹣1)x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, 求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假。 专题: 计算题。 分析: 先求出命题 p,q 为真命题时,a 的范围,据复合函数的真假得到 p,q 中必有一个为真,另一个为假,分两 类求出 a 的范围. 解答: 解:p 真,则 a≤1 …(2 分) 2 q 真,则△ =(a﹣1) ﹣4>0 即 a>3 或 a<﹣1 …(4 分) ∵ 或 q”为真,“p 且 q”为假, “p ∴ p,q 中必有一个为真,另一个为假 …(6 分) 当 p 真 q 假时,有 当 p 假 q 真时,有 得 a>3 …(10 分) 得﹣1≤a≤1 …(8 分)
2 2

∴ 实数 a 的取值范围为﹣1≤a≤1 或 a>3 …(12 分) 点评: 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系, 解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的 范围,属于基础题.
x﹣2 x
﹣x

20.已知

≤( )

,求函数 y=2 ﹣2

的值域.

考点: 函数的值域;函数单调性的性质。 分析: 由题意, 不等式两侧都化为底数是 2 的指数式, 利用指数函数的单调性解出 x 的范围, 再求函数的值域即可. 解答: 解:∵ , ∴ +x≤4﹣2x,即 x +3x﹣4≤0,得﹣4≤x≤1. x ﹣x x 又∵ ﹣2 是[﹣4,1]上的增函数, y=2 ﹣4 ﹣1 4 ∴ ﹣2 ≤y≤2﹣2 . 2 故所求函数 y 的值域是[﹣ , ].
2 2

点评: 本题考查解不等式和求函数的值域问题,属基本题.
3 2 2

21.已知函数 f(x)= x ﹣ax +(a ﹣1)x+b(a,b∈ ,其图象在点(1,f(1) R) )处的切线方程为 x+y﹣3=0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并求出 f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值。 专题: 计算题。 分析: (1)根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数,从而得到切线的斜率,建立等式关系,再根据切点在 函数图象建立等式关系,解方程组即可求出 a 和 b,从而得到函数 f(x)的解析式;
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www.jyeoo.com (2)先求出 f′ (x)=0 的值,根据极值与最值的求解方法,将 f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其 中最大的一个就是最大值. 2 2 解答: 解: (1)f′ (x)=x ﹣2ax+a ﹣1, ∵ (1,f(1) )在 x+y﹣3=0 上, ∴ f(1)=2, ∵ (1,2)在 y=f(x)上, ∴ ﹣a+a ﹣1+b, 2= 又 f′ (1)=﹣1, 2 ∴ ﹣2a+1=0, a 解得 a=1,b= . (2)∵ f(x)= x ﹣x + , ∴ (x)=x ﹣2x, f′ 由 f′ (x)=0 可知 x=0 和 x=2 是 f(x)的极值点,所以有 x f′ (x) f(x) (﹣∞,0) 0 + 增 0 极大值 (0,2) ﹣ ? 减 2 0 极小值 (2,+∞) + 增
2 3 2 2

∵ f(0)= ,f(2)= ,f(﹣2)=﹣4,f(4)=8, ∴ 在区间[﹣2,4]上的最大值为 8. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识,考 查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题. 22. 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件, 并且在生产过程中产品的正品率 P 与每日和生产产品件数 x (x∈ ) N 间的关系为 P= ,每生产一件正品盈利 4000 元,每出现一件次品亏损 2000 元. (注:正品率=产品的正
*

品件数÷产品总件数×100%) . (Ⅰ )将日利润 y(元)表示成日产量 x(件)的函数; (Ⅱ )求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的表示方法。 专题: 应用题。 分析: (1)根据题中正品率和盈利情况可得到关系式 y=4000? ?x﹣2000(1﹣ )?x,整理后

可得到答案. (2)对(1)中函数进行求导数,令导函数等于 0 求出 x 的值,并求出 y′ >0、y′ 的 x 的范围,进而可 <0 得到答案. 解答: 解: (1)y=4000? ∴ 所求的函数关系是 y=﹣ ?x﹣2000(1﹣
*

)?x=3600x﹣

+3600x(x∈ ,1≤x≤40) N .

(Ⅱ )显然 y′ =3600﹣4x,令 y′ =0,解得 x=30. ∴ 1≤x<30 时,y′ 当 >0;当 30<x≤40 时,y′ <0.
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www.jyeoo.com ∴ 函数 y= ∴ x=30 时,函数 y 当 (x∈ ,1≤x≤40)在[1,30)上是单调递增函数,在(30,40]上是单调递减函数. N (x∈ ,1≤x≤40)取最大值,最大值为 N
* *

×30 +3600×30=7200(元) .

3

∴ 该厂的日产量为 30 件时,日利润最大,其最大值为 7200 元 点评: 本题主要考查根据已知条件列函数关系式、根据导数的正负判断函数的单调性问题.属基础题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: danbo7801;caoqz;zlzhan;qiss;lily2011;wdnah;Mrwang;zhwsd;wsj1012;394782;minqi5;席泽林;xiaozhang; wfy814;wodeqing;wdlxh。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 6 月 26 日

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