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【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.5空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选修2-1


3.1.5 空间向量运算的坐标表示 .

学习目标 1.理解空间向量坐标的概念, 会确定一些简单几何 理解空间向量坐标的概念, 理解空间向量坐标的概念 体的顶点坐标. 体的顶点坐标. 2. 掌握空间向量的坐标运算规律 , 会判断两个向 . 掌握空间向量的坐标运算规律, 量的共线或垂直. 量的共线或垂直. 3. 掌握空间向量的模 、 夹角公式和两点间距离公 . 掌握空间向量的模、 式,并能运用这些知识解决一些相关问题. 并能运用这些知识解决一些相关问题.

3.1.5 空 间 向 量 运 算 的 坐 标 表 示 课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
若平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a±b= = , = , = (x1±x2,y1±y2);a·b=x1x2+y1y2;λa=(λx1,λy1)(λ ; = = ∈R);|a|= x2+y2;a∥b?x1y2-x2y1=0;a⊥b ; = 1 1 ∥ ? ; ⊥ a·b ? x1x2 + y1y2 = 0 ; cos 〈 a , b 〉 = = |a||b| x1x2+y1y2
2 x2+y2 · x2+y2 1 1 2

知新益能 1.空间向量的坐标运算 . , = , 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 = (1)a+b=_______________________ ; + = (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a (2)a-b=_______________________ ; - = ( 1-b1,a2-b2,a3-b3) (3)λa=________________ (λ∈R); = (λa1,λa2,λa3) ∈ ; (4)a·b=________________; = a1b1+a2b2+a3b3 ; a3=λb3 (5)a∥b?________,________ ,_________ (λ∈R); ∥ ? a1=λb1 a2=λb2 ∈ ; (6)a⊥b?___________________; ⊥ ? a1b1+a2b2+a3b3=0 ;

2 a1+a2+a2 ; 2 3 (7)|a|= a·a=____________; = = a1b1+a2b2+a3b3 2 2 a·b a1+a2+a3 b2+b2+b2 2 1 2 3 (8)cos〈a,b〉= 〈 , 〉= =_______________________. |a|·|b| 2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式 . 若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 , , → (x2-x1,y2-y1,z2-z1) (1)AB=________________________; ; (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 (2)dAB=________________________________.

问题探究
→ 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,向量 的坐标与向 . 向量AB → → 的坐标相同.这一判断是否正确? 量OB-OA的坐标相同.这一判断是否正确?

提示:正确. 提示:正确. 2.如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 . 标运算之间的关系? 标运算之间的关系? 提示: 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运 提示 : 算类似, 仅多了一项竖坐标, 其法则与横、 算类似 , 仅多了一项竖坐标 , 其法则与横 、 纵坐 标一致. 标一致.

课堂互动讲练

考点突破 空间向量的坐标运算 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐 求点的坐标时, 标 . 求点的坐标时 , 一定要注意向量的起点是否 在原点,在原点时,向量的坐标与终点坐标相同 向量的坐标与终点坐标相同; 在原点,在原点时 向量的坐标与终点坐标相同 ; 不在原点时, 不在原点时 , 向量的坐标加上起点坐标才是终点 坐标. 坐标.

例1 知 O 为原点,A,B,C,D 四点的坐标分 为原点, , , ,

别为: A(2, -4,1), B(3,2,0), -2,1,4), C(- D(6,3,2). 别为: , - , , , . 的坐标. 求满足下列条件的点 P 的坐标. → → → → → → (1)OP=2(AB-AC);(2)AP=3(AB-DC). ; . → → → → → 思路点拨】 坐标? 【思路点拨】 (1)AB-AC=CB?CB坐标?OP坐标 → → 坐标; ?点 P 坐标;(2)A,B,C,D 坐标?AB,DC坐标 , , , 坐标? → → → → → 的坐标? 坐标? 坐标? ?AB-DC的坐标?3(AB-DC)坐标?AP坐标?点 P 坐标 坐标. 坐标.

【解】 -4), , → ∴OP=2(5,1,- =(10,2,- , ,-4)= ,-8), ,- ,- 的坐标为(10,2,- ,-8). ∴点 P 的坐标为(10,2,-8). → (2)设 P(x,y,z),则AP=(x-2,y+4,z-1). 设 , , , - , + ,- . → → ,-1), ,-2,2), 又AB=(1,6,- ,DC=(-8,- ,- - ,- , → → ,-3), ∴AB-DC=(9,8,- , ,-

→ → → (1)AB-AC=CB=(3,2,0)-(-2,1,4)=(5,1, -- = ,

,-3), ∴(x-2,y+4,z-1)=(9,8,- , - , + ,- = ,- - = = ?x-2=9 ?x=11

? ? + = = ∴?y+4=8 ,解得?y=4 ?z-1=- ?z=- =-3 =-2 ? - =- ? =-
的坐标为(11,4,- . ,-2). ∴点 P 的坐标为 ,-



坐标形式下平行与垂直条件的应用 利用空间向量的坐标运算来解题, 利用空间向量的坐标运算来解题,要熟练掌握以 下两个常用的充要条件,若a=(x1,y1,z1),b= 下两个常用的充要条件, = , = (x2 , y2 , z2), 则 a∥ b? x1 = λx2 , y1 = λy2 , z1 = , ∥ ? λz2(λ∈R);a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0. ∈ ; ⊥ ?

例2 已知空间三点 A(-2,0,2)、 -1,1,2)、 - B(- C(- - 、 、

→ → 3,0,4).设 a=AB,b=AC. . = = → (1)若|c|=3,c∥BC,求 c; 若 = , ∥ ; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k. 若 + - 互相垂直,
思路点拨】 【 思路点拨 】 → → (1) 根据 与BC共线,设c=λBC(λ∈R) 根据c与 共线, = ∈ )

→ 根据模列出关系式 → 求λ → 求C 写出ka+b, 写出 + , 利用垂直 (2) → → 求k 列关系式 列关系式 ka-2b的坐标 - 的坐标

→ → ,-1,2)且 c∥BC, 【解】 (1)∵BC=(-2,- ∵ - ,- 且 ∥ → ,-λ, , ∈ ∴设 c=λBC=(-2λ,- ,2λ),λ∈R. = - ,- ∴|c|= (-2λ)2+(-λ)2+(2λ)2=3|λ|=3. = ) ) ) = 解得 λ=±1. = ∴c=(-2,- = - ,-1,2)或 c=(2,1,- . 或 = ,-2). ,- ,-

→ → (2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), ∵ = , = - , ,-4). ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,- . + = - , , - = + , ,- ∵(ka+b)⊥(ka-2b), + ⊥ - , ∴(ka+b)·(ka-2b)=0. + - = ,-4) 即(k-1,k,2)·(k+2,k,- - , + , ,- =2k2+k-10=0. - = 5 解得 k=2 或 k=- . = =- 2

互动探究

将本例中条件“若向量ka+ 与 - 将本例中条件“若向量 +b与ka-

2b互相垂直 ” 改为 “ 若向量 + b与 a+ kb互相 互相垂直” 改为“ 若向量ka+ 与 + 互相 互相垂直 平行” 其他条件不变, 的值. 平行”,其他条件不变,求k的值. 的值 解:a=(-1+2,1-0,2-2)=(1,1,0), =- + - - = , b=(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2), =- + - , - =- , ∴ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), + = , +- = - , , a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k), + = +- = - ,

∵ka+b 与 a+kb 平行, + + 平行, ∴ka+b=λ(a+kb)(λ∈R), + = + ∈ , 即(k-1,k,2)=λ(1-k,1,2k). - , = - . k-1= (1- ) ?k-1=λ(1-k) ? = ∴?k=λ·1 ?2=λ·2k ? = 的值为±1. ∴k 的值为
?k=- ?k=1 =-1 ? =- ? = ,∴? 或? , =-1 ? =- ? = ? λ=1 ?λ=-

利用向量的坐标表示求夹角和距离 利用空间直角坐标系解立体几何中的题, 利用空间直角坐标系解立体几何中的题 , 需首 先建立空间直角坐标系, 选取图中有公共起点 先建立空间直角坐标系 , 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴; 且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴 ; 再 利用公式解决夹角、模等问题. 利用公式解决夹角、模等问题.

在棱长为1 如图 , 在棱长为 的正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , E、 F、 G 、 、 分别是DD 的中点. 分别是 1、BD、BB1的中点. 、 (1)求证:EF⊥CF; 求证: ⊥ ; 求证 (2)求CE的长. 求 的长. 的长

例3

【思路点拨】 思路点拨】

建系

→ 确定所需点的坐标 → 求出相关向量的坐标 → 利用向量的夹角、距离公式求解 → 结论 利用向量的夹角、

证明: 【解】 (1)证明:建立如图所示的空间直角坐 证明 标系 D-xyz, , ?0,0,1?,C(0,1,0), 则 D(0,0,0),E? , ,2? , , ?1,1,0?,G?1,1,1?. , , F?2 2 ? ? 2? 1? → ?1 1 ∴EF=?2,2,-2?, 1 ? → ?1 CF=? ,- ,0?. 2 2

1 1 ? 1? → → 1 1 ∴EF·CF= × +(- )× +?-2?×0=0. - × = 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF,即 EF⊥CF. ⊥ 1 → (2)由(1)知CE=(0,- , ), ,-1, , 由 知CE= ,- 2 → ∴|CE|= =

?1?2= 5. 0 +(-1) +? ? ) 2 2
2 2

名师点评】 【名师点评】

在特殊的几何体中建立空间直

角坐标系时要充分利用几何体本身的特点, 角坐标系时要充分利用几何体本身的特点,以 使各点的坐标易求,利用向量解决几何问题, 使各点的坐标易求 ,利用向量解决几何问题, 可使复杂的线面关系的论证、 可使复杂的线面关系的论证 、角及距离的计算 变得简单. 变得简单.

方法感悟 1.空间向量在几何中的应用 . 有了向量的坐标表示,利用向量的平行、 有了向量的坐标表示,利用向量的平行、垂直判定 几何中线线、线面的平行与垂直;利用向量长度公 几何中线线、线面的平行与垂直; 式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的 只需通过简单运算即可.在此处, 角,只需通过简单运算即可.在此处,要认真体会 向量的工具性作用. 向量的工具性作用.

2.关于空间直角坐标系的建立 . 建系时,要根据图形特点, 建系时,要根据图形特点,充分利用图形中的垂 直关系确定原点和各坐标轴.同时,使尽可能多 直关系确定原点和各坐标轴.同时, 的点在坐标轴上或坐标平面内. 的点在坐标轴上或坐标平面内.这样可以较方便 的写出点的坐标. 的写出点的坐标.


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