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2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案

(考试时间:2010 年 9 月 4 日 9:00—11:30) 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答; 3.书写不要超过装订线; 4.不能使用计算器. 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 2.函数 的值域是_______________

___________. _____________________的图象与 的图象关于直线 对称.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.

4.设椭圆 5.设 是复数,则

与双曲线

相切,则

__________________________.

的最小值等于__________________________. 的三个根构成公差为 1 的等差数列,则 , ,

6.设 , , 是实数,若方程

应满足的充分必要条件是__________________________. 7.设 动点 是 的内心, , , , , ,

的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是__________________. 二、解答题(共 86 分)

9.(20 分)设数列

满足





.求

的通项公式.

10.(22 分)求最小正整数 使得

可被 2010 整除.

11.(22 分)已知 , ,

的三边长度各不相等, 的垂直平分线的交点.求证:





分别是





的平分线与边

的面积小于

的面积.

12.(22 分)桌上放有 根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走至多 者获胜.问:当 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

根火

柴,此后每人每次至少取走 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后一根火柴

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.答案: 提 示 : . 因 , 设 ( ) , 则

(其中





为锐角),所

以当 2. 答案:

时,

,当

时,

,故

.

提示:因两函数图象关于直线 得 .

对称,所以



,∴

,解

3. 答案:

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱

锥侧面与底面所成二面角 .

的两倍.∵

,∴

,则

4. 答案:

提示:由椭圆方程

知,

,设其参数方程为

( 为参数)

代入双曲线方程

,得

.

因两曲线相切,∴

,故

.

5. 答案: 提示:在复平面上,设 , , ,则当 为 的费马点时,

取得最小值,最小值为

.

6. 答案:



.

提示:设三个根为





,则



右边展开与左边比较得





,消去 7. 答案:



,这就是所求的充要条件.

提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 动点 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于

在图中的三个平形四边形及其内部运动,所以 面积的 2 倍,即 .

8. 答案: 提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 个三角形,其中直角三角形有 个,

所求“构成直角三角形”的概率是

.

二、解答题(共 86 分)

9. 解:特征根法. 又



,????(10 分)





于是

.??????(20 分)

10. 解: ????(10 分) 又 或 , 或 故所求最小正整数 11. 证明:由题设可证 不 妨 设 圆 , 半 径 , ,

.????(22 分) , 为 . , 1 , , 六点共圆. ????(10 分) 则 有 ,

由于



的面积小于

的面积. ????(22 分)

12. 解:把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 从小到大排序为: 难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明: (1) (2)当 (3)当 满足 ;





,?,不

时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目

; .

??????????????(10 分)

设 当 当 的火柴数目 当



),注意到

. 根火柴,乙无法获胜.

时,甲第一次时可取 根火柴,剩余 时, ,剩余

,根据归纳假设,甲可以取到第 根火柴,并且甲此时所取 根火柴,乙无法获胜. 根火柴, 若 , 则乙可取走所有剩小的火柴; 若 ,剩余 , 根

时, 设甲第一次时取走

则根据归纳假设,乙总可以取到第 根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 火柴,甲无法获胜. 综上可知, .

因为 100 不在数列

,所以当

时,甲有获胜策略. ????(22 分)

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛
安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责,预赛试题所涉及的知识范围,完 全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求,但在方法 的要求上有所提高, 主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况,以及灵活 运用知识的综合能力.


一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)



1.以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B, C 满足 A ? B ? 20 , B ? C ? 30 ,
C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2.设 a 是正实数. 若 f ( x) ? x 2 ? 6ax ? 10 a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值为 10, 则a ? .

3.已知实系数多项式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 满足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 , 则 f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为 .

4.设展开式 (5 x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? a n x n,n ? 2011 . 若 a2011 ? max( a0 , a1 ,?, an ) ,则

n?

.
第5题

5.在如图所示的长方体 ABCD? EFGH 中,设 P 是矩 形 EFGH 的中心, 线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若
AB ? 3 , AD ? 2 , AE ? 1 ,则 PQ ?

.

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外 侧滚动,其扫过区域的面积为 .
第6题

7.设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对应. 若点 A, B 分别对应复数 z , z ?1 ( z ?R ) ,则直线 AB 与 x 轴的交点对应复数 (用 z 表示).

8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率 为 .

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 9.已知数列 {a n } 满足 a1 ? a 2 ? 1 , a n ? 1 ?
a1 ? ? ? a n?2 (n ? 3) ,求 a n 的通项公式. 4
1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 an 2

10.已知正整数 a1 , a 2 ,?, a n 都是合数,并且两两互素,求证:

11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1 . 求 b 的最大可 能值.

12. 设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) ,D 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支上,D ? A , 直线 CD 交 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ?
1 上. 2

解答
1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413. 5. 6. 7. 8.
17 . 4
6ar ? 4 π r 2 .

z?z . 1 ? zz
3 . (n ? 1)( n ? 3)

9. an ? 1 ?

a1 ? ? ? an?2 a ? an ?1 ? n?2 4 4
an ?1 1 ? a ? 1 ? ? an ?1 ? n ? 2 ? ? ? ? n ?1 2 2? 2 ? 2

? an ?

? 2 n?1 a n ? 2 n?2 a n?1 ? 1 ? ? ? n ? a n ?

n 2 n?1

.

2 10.设 a k 的最小素因子 p k ,因为 a k 不是素数,所以 a k ? p k . 于是

?a ?? p
k ?1 k k ?1

n

1

n

1
2 k

1 n 1 ? ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4n 2

? f (0) ? c ? ? 11.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? a b 1 ? f ( 3) ? 3 3 ? 3 ?c ?

可知

2b ? 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ? 3 3

f ( x) ?

3 3 2

( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .

12.设 D( x1 , y1 ),E ( x2 , y 2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则
x 2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以

x1 ? x2 ?

?4k 2 1 ? 4k 2 5 ,x1 x2 ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 2 2 1? k 1? k 4
y1 y ( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1

所以
y2 y ? 1 x ? 1 x1 ? 1 x? 2 ? y2 y ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 ? 。 x2 ? 2 x1 ? 2 3 x2 ? x1 ? 4 ? x2 ? 1 x1 ? 1

把①代入上式,得 x ?

1 . 2


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