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1.3.1二项式定理(二).ppt


温故而知新
1.(a+b)n的二项展开式 是_________.
Tr+1 = C a b 2.通项公式是 _______________.
r n-r n r

4、 x) ? 1 + C x + C x + ? + C x + ? + C x (1+
n

1 n

2 2

n

r r n

n n n

? 5、在 ? ? ?

x ?

1
3

是__________

? ? 展开式中的常数项 ? x ?

10

例1、计算:

( x ?1)5 ? 5( x ?1)4 ? 10( x ?1)3 ? 10( x ?1)2 ? 5( x ?1) (1)
1 (2)1 ? 2Cn

? 4C ? ... ? 2 C
2 n n

n n

(1 ? x)6 (1 ? x)4 的展开式中的 x3系数。 例2、求

3 1 5 例3、求 ( x ? 3 ? ? 2 ) 展开式中的常数项。 x x

例4、已知 (1 ? 2 x) 展开式中第2项大于它的相邻 两项,求x的范围。
5

1 n 例5、(1)已知( x ? 2 ) 的第5项的二项式系数与第3 3x

项的二项式系数比为14:3,求展开式中不含x 的项。

2 n (2)已知 ( x ? 2 ) 的展开式中,第5项的系数与 x
第3 项的系数比为56:3,求展开式中的常数项。

例6、若 (

x+

1 2 x
4

) 展开式中前三项系数成等差

n

数列,求(1)展开式中含x的一次幂的项;

(2)展开式中所有x 的有理项;

课堂练习
?a x ? ? 1、已知? 的展开式中x3的系数 ? ? x 2 ? ? ? 9 为 ,则常数a的值是_______
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是(
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
9

4



3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 __________ 2
4.已知(1+

x 5.已知(10+xlgx)5的展开式中第4项为106,求x的值.

)n展开式中含x-2的项的系数为12,求n.

求展开式中系数最大(小)的项
例6.在(2 x ? 3) 的展开式中, 求其项的最大系数
20

与最大二项式系数的比
解: 设 r ? 1项是系数最大的项,则

?C 2 ? 3 ? C 2 ?3 11.6 ? r ? 12.6 ? ? r 20 ? r r r ?1 20 ? r ?1 r 1 解决系数最大问题,通常设第 r?? 1项是系数最 ?C20 2 ? 3 ? C20 2 ?3 ? 大的项,则有 12 8 12 系数最大的项是第13项 即C20 2 3 ?Tr ?1 ? Tr 10 ? 二项式系数最大的项为第11项,即 C20 ?Tr ?1 ? Tr ? 2
r 20 20 ? r r r ?1 20 20 ? r ?1 r ?1
12 C20 28312 5 7 13 所以它们的比是 由此确定r的取值 C10 ? 11 ? 2 ? 3 20

(3x ? 2 y) 20 的展开式中,系数绝对值最大的项 练习 在

解:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则

?C ? 3 ? 2 ? C ? 3 ? 2 ? ? r 20?r r r ?1 21? r r ?1 ?C 20 ? 3 ? 2 ? C 20 ? 3 ? 2 ? 37 42 r ?8 ?r?
r 20 20 ? r r r ?1 20 19 ? r r ?1

?3(r ? 1) ? 2(20 ? r ) ? ?2(21? r ) ? 3r

5

5

所以当 r ? 8时,系数绝对值最大的项为
8 T9 ? C20 ? 312 ? 28 ? x12 ? y 8

三项式转化为二项式

1 8 例7 求( x ? 1 ? ) 展开式中的常数项 x
解:三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
1 8 1 ( x ?1? ) ? [( x ? ) ? 1]8 x x

1 8 1 1 7 1 7 ? C ( x ? ) ? C8 ( x ? ) ? ? ? C8 ( x ? ) ? C88 x x x 再利用二项式定理逐项分析常数项得
0 8

C C ?C C ?C C ?C C ?C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2

8 8

=1107

练习:x ? 3x ? 2) 的展开式中 x 的系数是 240 ( ________
2 5

解:原式化为[(x2 ? 2) ? 3x]5

其通项公式为 Tr ?1 ? C ( x ? 2) (3x)
r 5 2

5?r

r

要使x的指数为 , 只需r ? 1 1
T2 ? C ( x ? 2) ? 3x
1 5 2 4

? 15x( x ? 4 ? 2x ? 6 ? 4x ? 4 ? 8x ? 2 )
8 6 4 2 4

所以x的系数为 ? 2 ? 240 15
4

括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项, 合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘 积二项式.


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