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2008年第二届四川省大学生力学竞赛试题及答案


第二届四川省孙训方大学生力学竞赛
满分:100 时间:3 小时(9:00~12:00)

题号 分数











总分

一、 (28 分)装在汽车上的升降工作台由四根长为 2L 的均质杆 A

C、BD、DE、CG 和 平台 GHE 用光滑铰链铰接而成, 其中 B、E 两处可沿光滑水平面滑动,升降 台靠一台安装在 A、B 之间的液压缸 的伸缩来控制升降。已知各杆自重均
y b

r O P3 3
H G

h E

r r r 为 P1 , 平台重为 P2 , 均质重物 O3 为 P3 ,
在图示位置 AB = AD 时保持平衡。试 求:

r P2
O2

D

r 2P 1

C x

A

rO1 2P B 1

(1) 铰 C 处的约束力

FC x = FC y =
(2) 液压缸的内力 F =

; ; ;

r (3) 设重物与平台间的摩擦因数为 f s ,当汽车因故有一急刹车,其加速度为 a ,如要使

r 重物保持不滑不翻,则加速度 a 的大小应满足的条件是



(4) 假设重物与平台间的摩擦力足够大,而刹车时加速度相当大,试求刹车瞬时,重物

的角加速度α =

;平台给重物的约束力 ;FN= 。

FS=

二、 (20 分)半径为 r,质量为 m 且沿圆周均匀分布的圆环,可在铅垂平面内绕其过圆 m 心 C 的光滑水平轴自由转动。一质量为 的小猴 A,初始处于圆环的最低点 A0,且系 20 统静止。某瞬时,猴子突然以不变的相对于圆环的速率 v r 沿边缘爬动。 试求:
r B

(1) 圆环的初始角速度为 ω 0 =



C θ AO A

(2) 如果在以后的运动中,CA 与向下铅垂线的夹角为 θ ,

&& 表示之) 则 θ 应满足的方程为(以 θ 、 θ
(3) 如猴子能爬到圆环的最高点 B,则 v r >

; ;

(4) 当猴子以相对速度 v r =0.5 rg 沿边缘爬动时,则当它爬到圆环的最高点时,轴承 C
的约束力 FC x = ; FC y = ;

三、 (25 分)尺寸为 b×h 的矩形截面梁,其某横截面受到弯矩 M 和剪力 FS 作用,试用 第三强度理论(最大切应力理论)分析该横截面上强度危险点的位置。

四、 (15 分)刚性板由材料和几何尺寸均相同的、下端均为固定,且沿圆周均匀分布 n (n>1)根立柱支撑起来。当刚性板在其所在平面内受到集中力偶 Me 作用时,试求立柱

3 的受力,已知立柱的弯曲刚度和扭转刚度的关系为 EI = GI p ,且 h = 5 R 。 2
Me R

h

五、 (12 分) “5.12”汶川大地震造成大量房屋倒塌、很多房屋成为危房。一些轻微受损 房屋的墙面上也出现了大量如图所示的裂缝。 试利用材料力学的知识分析这种裂缝的成 因,并对维修和加固措施提出建议。
裂缝

窗户

裂缝

第二届四川省孙训方大学生力学竞赛解答 一、 (28 分)

(1) FCx= P1+P2+P3; (4 分) 1 ; (4 分) FCy= (2P1+P2+P3) 2
(4 分) (2) F= 4P1+2P2+2P3;
bg ? ? (3) a < ? f s g , ? ; (4 分) h ? min ?

3 (ah ? gb) (4) α = × 2 2 b + h2 FS=

; (4 分)

P3 hα (a ? ) ; (4 分) g 2 bα )。 (4 分) 2g

FN= P3 (1 +
二、 (20 分)

(1) ω 0 = ?
??

vr 21r

; (4 分)

(2) 21r θ +gsin θ =0 ; (4 分) (3) v r >
21rg 10

; (4 分)

(4 分) (4) FCx=0; (4 分) FCy=1.048mg ↑ ;

三、 (25 分)
解:

σ=

My Iz FS S z* FS h F h2 h b( ? y )( + y ) / 2 = S ( ? y 2 ) = bI z bI z 2 2 2I z 4

3分

τ=

3分

σ r3 = σ 2 + 4τ 2
?σ r 3 1 ?σ ?τ 1 ?σ ?σ = (2σ + 8τ )= (σ + 4τ ) 2 2 ?y ?y ?y σ r3 ?y ?y 2 σ + 4τ
FS h 2 F My M [ = × + 4 × ( ? y 2 ) × S × (?2 y )] I 2I 4 2I σ r3 I

3分

1

= ?σ r 3 = 0 ,得: ?y

y

σ r3

[(

F M 2 h2 ) ? 2( S ) 2 ( ? y 2 )] I I 4

3分



y[ M 2 ? 2 FS 2 (
解得:

h2 ? y 2 )] = 0 4
2分

y1 = 0 y2 = h2 1 M 2 ? ( ) 4 2 FS

2分

讨论: 1)由于 σ r 3 是关于自变量 y 的偶函数,关于 z 轴上下对称,所以在 y1=0 处, σ r 3 取得极值。当 M=0 时, σ r 3 取得极大值;当 FS=0 时, σ r 3 取得极小值,因此,在 y1=0 处, σ r 3 即可能取得极大也 可能取得极小值,取决于内力的大小和横界面尺寸。

? 2σ r 3 ? y M 2 FS 2 h 2 = ? { [( ) 2( ) ( ? y 2 )]} 2 I ?y ?y σ r 3 I 4 = y×
F F ? 1 M 2 1 M 2 h2 h2 { [( ) ? 2( S ) 2 ( ? y 2 )]} + [( ) ? 2( S ) 2 ( ? y 2 )] I ?y σ r 3 I 4 4 σ r3 I I



? 2σ r 3 1 M 2 1 FS h 2 | y =0 = [( ) ? ( ) ] 2 2 I ?y σ r3 I

3分

当(

M 1 M 2 1 FS h 2 M 2 1 Fh 2 ) ? ( ) >0, 即 > 时, σ r 3 在 y1=0 处取得极小值; 当( ) ? ( S ) < 0 , 2 I 2 I FS h I I 2



M 1 < 时, σ r 3 在 y1=0 处取得极大值。对于细长梁而言,梁高 h 比梁的跨度小得多,上述情 FS h 2
2分

况主要发生在简支梁的支座附近的横截面上。 2)当

h2 1 M 2 ? ( ) > 0 ,即: 4 2 FS M 1 < FS h 2
2分

时, σ r 3 在 y2(<h/2,即横截面之内)处可能取得极值,也可能是一个拐点。由于此时 σ r 3 在 y1=0 处取得了极大值,因此即便是取得极值也是一个极小值。 3)当

h2 1 M 2 ? ( ) < 0 ,即 4 2 FS M 1 > FS h 2
2分

时,σ r 3 为单调函数,且在 y=±h/2 处取得最大值。对于细长梁而言,这是大多数截面或梁段的强度 状态, 即在大多数横截面上危险点发生梁的上下表面处。 这表明对于矩形截面梁的大部分`梁段来讲, 弯曲正应力对强度的威胁大于切应力对强度的威胁。

四、 (15 分)
解:设每根立柱与刚性板连接面上的弯矩、剪力和扭矩分别为 M、F 和 T。取刚性板为隔离体,则 平衡方程有:

(T + FR)n = M e
几何方程:

1)

2分

θ =0
Δ = φR
由 2)得:

2) 3)

2分 2分

Fh 2 Mh ? =0 2 EI EI
即:

2分

M=
由 3)得:

1 Fh 2

4)

Fh3 Mh 2 Th ? = ×R 3EI 2 EI GI p
将 4)代入上式,得:

2分

Fh 2 TR = 12 EI GI p
即:

T=
代入 1)得:

25 FR 18

F=

18M e 43nR 25M e 43n 45M e 43n

2分

T=

2分

M =

1分

五、 (12 分)
答:地震发生时,墙体内一点的受力如左下图所示。在墙体自重的作用下,单元体受到铅垂方向的 压应力的作用;而在地震横波的作用下,房屋和墙体在水平方向做往复运动,使单元体上作用 有很大切应力。右下图是与墙体内一点的应力状态对应的应力圆,显然单元体中存在有很大的 主拉应力。由于墙体是由抗拉强度较低的砖和水泥沙浆砌成的,所以在很大的拉应力作用下, 墙体发生脆性断裂,产生裂缝。应力圆中的虚线就是第一主拉应力的作用方向,从该方向的位 置可以看出,墙体上将产生与虚线方向垂直的裂缝(由于墙体做水平往复运动,切应力的方向 交 替 变 换 , 因 此 与 图 中 两 条 虚 线 垂 直 的 方 向 都 有 可 能 出 现 裂 缝 )。 5分

σ

τ

τ

C A3 0

A1

σ

上述裂缝大量出现在窗户的四个角,这是由于这些部位具有应力集中现象。裂缝首先在窗 户的四个角附近出现,然后逐渐向前延伸和扩展。 2分 如果受损的墙体不是承重墙,而且也没有在整个墙体完全贯通,那么可以采取以下一些措 施来进行加固: 1) 高压灌注水泥沙浆; 2) 对于深度不大的裂缝,在与裂缝垂直的方向上相隔一定的距离用钢筋来锚固; 3) 对于深度较大甚至在厚度方向贯穿的裂缝,可以将裂缝周围局部墙体凿穿,然后重新 填充、修砌。


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