当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答


2013 年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准
一. 选择题 (每小题 6 分, 共 36 分) 1. 设函数 f (x) = √ ( 1 ? x2 · |x ? 2| +
4 2x ?1

)

. 考虑命题 p: f (x) 是奇函数; 命题 q:

f (x) 是偶函数. 那么, 以下结论

正确的是 (A). p, q (B). p, ?q √ ( 1 ? x2 · 2 ? x + (C). ?p, q (D). ?p, ?q

解: 注意 f (x) 的定义域是 [?1, 0) ∪ (0, 1], 所以 f (x) = 2x ( 4 ) √ 2x + 1 ) = 1 ? x2 · ? x + 2 · x , ?1 2 ?1

容易看出 f (x) 是奇函数, 不是偶函数. 选 (B). 2. 设 B, C 是定点且都不在平面 π 上, 动点 A 在平面 π 上且 sin ∠ABC = 1 . 那么, 2 A 点的轨迹是 (A). 椭圆 (C). 双曲线 (B). 抛物线 (D). 以上皆有可能

解: 满足 sin ∠ABC = 1/2 的 A 点轨迹是以 B 为锥顶, 以 BC 为轴线的一个圆 锥面 (母线与轴线的夹角为 30? ). 现在, A 点还需落在平面 π 上, 从而其轨迹是圆 锥面与平面 π 的交线, 可能是三种圆锥曲线中的任何一种. 故选 (D). ?→ ? ? ? → ?→ ? ? → 3. 在 △ABC 中, BC · BA = CB · CA, 则 △ABC 是 (A). 等腰三角形 (C). 等腰直角三角形 (B). 直角三角形 (D). 以上均不对 ?→ ? ? ? → ? → 解: 所给数量积等式可转化为 BC · (AB + AC) = 0. 若记 BC 的中点为 D, 则 ? ? → ? → ?→ ? ?→ ?→ ? ? AB + AC = 2AD, 从而 BC · AD = 0. 这表明 BC 与中线 AD 垂直, 因此 △ABC 是等腰三角形. 选 (A). 4. 等差数列 {an } 前 n 项的和为 Sn , 已知 (A). 125 (B). 85
S25 a23

= 5,

S45 a33

= 25, 则

S65 a43

的值是

(C). 45

(D). 35

解: 由于 S25 = 25 · a13 , 所以由已知条件可得 a13 : a23 = 1 : 5, 从而 a23 : a33 = 5 : 9, a33 : a43 = 9 : 13. 现在, S65 = 65 · a33 , 所以 S65 : a43 = 45 : 1. 选 (C). 5. 如果曲线 y = 2 sin x 的两条互相垂直的切线交于 P 点, 则 P 点的坐标 不可能是 2 (A). (π, π) (C). (5π, ?π) (B). (3π, ?π) (D). (7π, ?π)

解: 函数 y = 2 sin x 的图像在 x = xi 处的切线斜率为 cos xi , 因此, 若 x1 和 x2 2 2 处的切线互相垂直, 则 cos x1 cos x2 = ?1. 不妨设 cos x1 ≤ cos x2 , 则从上式可得 2 2 2 2 参考答案与评分标准第 1 页

cos x1 = ?1, cos x2 = 1, 即 2 2

x1 2

= (2a + 1)π,

x2 2

= 2bπ, a, b ∈ Z. 进一步, 可求出

两条切线的交点 P 的坐标为 (x0 , y0 ) = ((x1 + x2 )/2, (x1 ? x2 )/2). 可见, P 的横 坐标与纵坐标都是 π 的奇数倍, 且两者之差是 4π 的整数倍. 四个选项中只有 (C) 不符合这一特征, 故选 (C). 6. 如果不等式 x2 < |x ? 1| + a 的解集是区间 (?3, 3) 的子集, 则实数 a 的取值范围 是 (A). (?∞, 7) (B). (?∞, 7] (C). (?∞, 5) (D). (?∞, 5]

解: 当 x ≥ 1 时, 原不等式成为 x2 ? x + 1 ? a < 0, 其解集中不含任何 ≥ 3 的数, 故当 x ≥ 3 时总有 x2 ? x + 1 ? a ≥ 0 成立, 由此得到 a ≤ 7. 当 x < 1 时, 原不等式成为 x2 + x ? 1 ? a < 0, 其解集中不含任何 ≤ ?3 的数, 故 当 x ≤ ?3 时总有 x2 + x ? 1 ? a ≥ 0 成立, 由此得到 a ≤ 5. 综上, a ∈ (?∞, 5]. 故选 (D). 二. 填空题 (每小题 9 分, 共 54 分) 1. 若 log2 log8 x = log8 log2 x, 则 log4 x 的值是 .

解: 由 log2 log8 x = log8 log2 x 可知 (log8 x)3 = log2 x > 0. 令 log2 x = y, 则有 √ √ 3 3 (y/3)3 = y, 由此解得 y = 3 3. 从而 log4 x = . 2 2. 设 M 是椭圆
x2 4

+

y2 3

= 1 上的动点, 又设点 F 和点 P 的坐标分别是 (1, 0) 和 .

(3, 1), 则 2|M F | ? |M P | 的最大值是

解: 注意 F 是椭圆的右焦点. 椭圆的右准线为 ? : x = 4, 则 2|M F | 等于 M 到 ? 的距离. 过 M 作 ? 的垂线 M A, 再过 P 作 M A 的垂线 P B, 其中 A, B 分别 为垂足. 我们有 2|M F | ? |M P | = |M A| ? |M P | ≤ |M A| ? |M B| = |AB|, 其中 |AB| 就是 P 点到右准线的距离, 等于 1. 因此, 2|M F | ? |M P | 的最大值为 1, 当 M 的纵坐标为 1 时取得. 本题答案为 1 . .

3. 已知 x, y ∈ R, 且 x2 + y 2 ≤ 1, 则 x + y ? xy 的最大值是

解: 由 于 x + y ? xy = x(1 ? y) + y, 可见固定 y 时, 必定 当 x 尽 量 大 时 此 式 才 可 取 最 大 值; 同 样, 固 定 x 时, y 也 应 尽 量 大. 因 此, 不 妨 设 x, y 均 非 负, 且 x2 + y 2 = 1. 令 x + y = t, 则由基本不等式 (x + y)2 ≤ 2(x2 + y 2 ) 可 √ 得 t ∈ [1, 2]. 又由 t2 = x2 + y 2 + 2xy = 1 + 2xy 得到 xy = (t2 ? 1)/2, 故 x + y ? xy = t ? (t2 ? 1)/2 = 1 ? (t ? 1)2 /2 ≤ 1, 且当 x = 1, y = 0 时可取等号, 故所求最大值为 1 .

参考答案与评分标准第 2 页

4. 设 xn =

2013 ( ∑ k=1

cos

k!π )n , 则 lim xn 等于 n→∞ 2013

.

解: 注 意 到 2013 = 3 · 11 · 61, 所 以 当 1 ≤ k ≤ 60 时, k!/2013 不 为 整 数,
k!π cos 2013 ∈ (?1, 1), 从而 n→∞

lim

(

cos

k!π )n = 0. 2013 k!π )n = 1. 2013 .

k!π 而当 k ≥ 61 时, k!/2013 为整数, 且总为偶数, 这时 cos 2013 = 1, 相应地

n→∞

lim

(

cos

综上可知本题答案为 2013 ? 60 =

1953

5. 如果 {1, 2, · · · , 9} 的某个非空子集中所有元素之和是 3 的倍数, 则称该子集为忐 忑子集. 那么, 忐忑子集的个数是 .

解: 若某个真子集是忐忑子集, 则其补集也是忐忑子集. 因此, 我们只需考虑元 素个数 ≤ 4 的忐忑子集. 显然, 只有 1 个元素的忐忑子集, 共有 3 个; 恰有 2
2 个元素的忐忑子集, 共有 C3 + 3 · 3 = 12 个; 恰有 3 个元素的忐忑子集, 共有

3 + 3 · 3 · 3 = 30 个. 对于 4 元子集, 由于其中的 4 个元素被 3 除的余数必有两个 相同, 讨论可知只有 (0, 0, 1, 2), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 2), (2, 2, 2, 0) 这四种可能的余
2 2 1 3 1 1 2 数组合. 因此, 4 个元素的忐忑子集共有 C3 · C3 · C3 + C3 · C3 · 2 + C3 · C3 = 42

个. 注 意 全 集 也 是 忐 忑 子 集, 所 以 忐 忑 子 集 的 个 数 为 2 · (3 + 12 + 30 + 42) + 1= 175 . (用度数

6. 在 △ABC 中, bc = b2 ? a2 , 且 B ? A = 80? , 则内角 C 等于 作答). 解: 由 bc = b2 ? a2 结合正弦定理可得 sin B sin C = sin2 B ? sin2 A = = 1 1 (1 ? cos 2B) ? (1 ? cos 2A) 2 2

1 (cos 2A ? cos 2B) = sin(B + A) sin(B ? A), 2

因而 sin B = sin(B ? A). 现在 B ? A = 80? , 故 B = 100? , A = 20? . 从而 C= 60? .

三. 解答题 (每小题 20 分, 共 60 分. 每小题只设 0 分, 5 分, 10 分, 15 分, 20 分五档) 1. 正三棱柱 ABC-A1 B1 C1 中, D 为 AC 的中点. (1) 证明 AB1 // 平面 BDC1 . 参考答案与评分标准第 3 页

(2) 当

AA1 AB

取何值时, AB1 与 BC1 垂直?

解: 取 A1 C1 的中点 D1 , 则 AD1 C1 D 为平行四边形, AD1 //DC1 , 从而 AD1 // 平面 BDC1 . 又 B1 D1 //BD, 所以 B1 D1 // 平面 BDC1 . 结合这两个平行关系可知平面 AB1 D1 // 平面 BDC1 , 从而 AB1 // 平面 BDC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 不妨设底棱长为 1, 侧棱长为 x, 则我们有 ? ? ?→ → ? ? ? ? → ? → ?→ → ? ? ? 1 AB · BC = ? , AB · CC1 = BB1 · BC = 0, 2 ?→ ? ? ? → ? → ? → ?→ ? → ? ? ? ? 现在, AB1 = AB + BB1 , BC1 = BC + CC1 , 所以 ? → ?→ ? ? BB1 · CC1 = x2 .

?→ ?→ ? ? ? ? → ? → ?→ ? → ? ? ? 1 AB1 · BC1 = (AB + BB1 ) · (BC + CC1 ) = ? + x2 , 2 √ √ 令上式为零, 即得 x = 2/2, 这也就表明 AA1 /AB = 2/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分) 2. 在平面直角坐标系中, 设 A, B, C 是曲线 xy = 1 上三个不同的点, 且 D, E, F 分 别是 BC, CA, AB 的中点. 求证: △DEF 的外接圆经过原点 O. 解: 方法一: 不妨设 O 不与 D, E, F 之中的任何一点重合. 设 A(a, 1/a), B(b, 1/b), C(c, 1/c), 则 BC 的中点 D 的坐标为 们有 kOD =
1 bc .

(1

1 1 2 (b + c), 2 ( b

) + 1) . 我 c

这里 kOD 表示直线 OD 的斜率, 以下同此. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)

1 注意 F E//BC, 有 kF E = kBC = (1/b ? 1/c)/(b ? c) = ? bc . 可见 kF E = ?kOD .

同理 kF D = ?kOE . 这样, 若从直线 OD 旋转到直线 OE 的角为 α, 从直线 F D 旋转 到直线 F E 的角为 β, 则有 tan α = kF E ? kF D kOE ? kOD = = tan β. 1 + kOE kOD 1 + kF E kF D

即 tan α = tan β, 故 α 与 β 相差 π 的整数倍. 由此即知 O, D, E, F 四点共圆, 即 O 在 △DEF 的外接圆上. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分) (1 ) 方法二: 同上得 D 2 (b + c), 1 ( 1 + 1 ) , 并求出 OD 的斜率为 1/(bc). 2 b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 参考答案与评分标准第 4 页

从而可得 OD 的中垂线方程为 ( ) 1 1 1 1 y ? ( + ) = ?bc x ? (b + c) . 4 b c 4 同理可求得 OE 的中垂线方程为 ( ) 1 1 1 1 y ? ( + ) = ?ca x ? (c + a) . 4 c a 4 联立以上两式, 便得到 OD 和 OE 的中垂线之交点坐标 (1 4 (a + b + c ? ) 1 1 1 1 1 ), ( + + ? abc) . abc 4 a b c

容易看到, 它关于 a, b, c 是全对称的. 所以, 它也在 OF 的中垂线上. 该点到 O, D, E, F 的距离相等, 所以 O, D, E, F 四点共圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分) 3. 设 α, β 为实数, n 为正整数, 且 0 ≤ β ≤ α ≤ (1). 证明
π 4,

n > 1.

tan α ? tan β ≤ α ? β, 并判断等号成立的条件. 1 + tan2 α n ∑ π 1 (2). 证明 < . n2 + k 2 4n
k=1

解: (1) 方法一: 令 f (β) = 则只需证 f (β) ≤ 0. 注意到

tan α ? tan β ? (α ? β), 1 + tan2 α

f ′ (β) = ?

1 + tan2 β + 1 ≥ 0, 1 + tan2 α

可见函数 f 在区间 [0, α] 上为增函数, f (β) ≤ f (α) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 进一步, 当 β ?= α 时, f ′ (β) > 0, 所以 f 在 [0, α) 上严格递增, 所以等号成立当且仅当 β = α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 方法二: 左端切割化弦后可整理为 sin(α ? β) ·
cos α cos β cos α cos β .

其中 sin(α ? β) ≤ α ? β, 且

≤ 1, 从而得证.

(2) 方法一: 取 αk ∈ [0, π/4] 使得 tan αk = k/n, k = 0, 1, · · · , n. 则由 (1) 的结果有 tan αk ? tan αk?1 < αk ? αk?1 . 1 + tan2 αk 参考答案与评分标准第 5 页



1/n 1+(k/n)2

< αk ? αk?1 , 也即 n < αk ? αk?1 . n2 + k 2

上式对 k 从 1 到 n 求和, 就得到
n ∑ k=1

n2

π n < αn ? α0 = . 2 +k 4

从而原不等式获证. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)
1 方 法 二: 注 意 g(x) = 1+x2 在 [0, 1] 上 单 调 减, 所 以 由 定 积 分 的 几 何 意 义 可 知 (k) ∫1 ∑n 1 g(x) dx > k=1 n · g n . 两端分别化简就得到原不等式. 0

参考答案与评分标准第 6 页


相关文章:
2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答
2013全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013.9。152013 全国高中数学联赛天津预赛试题及其解答 今日推荐 68...
2013年全国高中数学联赛一试试题及答案
2013全国高中数学联赛一试试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013全国高中数学联赛一试试题及答案 文档贡献者 乌拉拜尔 贡献于2013-10-15 ...
1. 2012年全国高中数学联赛天津预赛
预赛试题集锦(2013) 高中竞赛 2012 年全国高中数学联赛天津市预赛一.选择题(每...都成立,则实数 a 的取值范围是___. 4 y 三.解答题(每小题 20 分,共 60...
2013全国高中数学联赛一试试题及其解答
2013全国高中数学联赛一试试题及其解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013全国高中数学联赛一试试题及其解答_学科竞赛_高中教育_...
2013年全国高中数学联赛(天津)赛区预赛
2013全国高中数学联赛(天津)赛区预赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。1.设函数 ...一、选择题(每小题 6 分,共 36 分. 请将答案填在下面的表格中.) 题号 ...
2013年全国高中数学联赛一试试题及解答
2013全国高中数学联赛一试试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。全国高中数学联赛试题及解答 2013全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题:本大题共 8 小...
2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)
2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版) ...
2013年全国高中数学联赛试题及详细解析
2013全国高中数学联赛试题及详细解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013年高中数学联赛试题及详细解析word版2013全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准...
2013年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案
2013全国高中数学联合竞赛(四川初赛)及参考答案(5 月 19 日下午 14:30——16:30)题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,...
更多相关标签:
2016高中数学联赛预赛 | sm超级明星联赛预选赛 | 黄金联赛预选赛 | 深渊联赛中国区预选赛 | 全国高中数学联赛预赛 | 欧洲冠军联赛预选赛 | 33届物理竞赛预赛试题 | 32届物理竞赛预赛试题 |