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2016年广州市普通高中毕业班综合测试(二)(文科)(word精排版-附答案)


2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数 学(文科)

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 1.已知集合 M ? ?0,1,2? , N ? ?x | ?1 ? x ? 1, x ? Z ? ,则( A. M ? N A. ? 1 B. N ? M B. 0

C. M ? N ? ?0,1 ? C. 1 D. 2 ) ) D. M ? N ? N ) 开始

2.已知 (1 ? i)i ? a ? bi (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b 的值为( 3.已知等比数列 ?an ? 的公比为 ? A. ? 2 B. ?

1 2 4.从数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取 2 个,组成一个没有重复数字的两位数, 则这个两位数大于 30 的概率是( ) 1 2 A. B. 5 5 3 4 C. D. 5 5 5.执行如图的程序框图,若程序运行中输出的一组数是 ? x, ?12? ,则 x 的值为( ) A. 27 B. 81 C. 243 D. 729 ?x ? y ? 0 ? 6.不等式组 ? x ? y ? ?2 的解集记为 D ,若 ? a, b ? ? D ,则 z ? 2a ? 3b 的最大值是( ? x ? 2 y ? ?2 ?
A. 1 B. 4 C. ?1 D. ?4 ) 7.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

1 a ? a3 ? a5 ,则 1 的值是( 2 a2 ? a4 ? a6 1 C. D. 2 2

x ? 1, y ? 0, n ? 1

n ? n?2 x ? 3x
y ? y ?3
输出 ? x, y ?

n ? 2016?
是 结束 )



? ,则下列结论中正确的是( 4? A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ?
B.函数 f ? x ? 的图象关于点 ?

? ?

??

?? ? , 0 ? 对称 ?4 ? ? C.由函数 f ? x ? 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 y ? sin 2 x 的图象 8 ? ? 5? ? D.函数 f ? x ? 在区间 ? , ? 上单调递增 ?8 8 ? ? x2 y 2 3? C C 1, : ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左, 右焦点, 点 A ? 8.已知 F , 分别是椭圆 F 1 2 2 ? 2 ? ? 在椭圆 上, a b ? ? ) AF1 ? AF2 ? 4 ,则椭圆 C 的离心率是(
A.

1 2

B.

5 4

C.

2 3

D.

3 2
1 R, 2

9.已知球 O 的半径为 R , A, B, C 三点在球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为
1

AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,则球 O 的表面积为( 16 16 64 ? ? A. ? B. C. 9 3 9
x x
*

) D.

64 ? 3

?1? ?1? x 1? x 10.已知命题 p : ?x ? N , ? ? ? ? ? ,命题 q : ?x ? R , 2 ? 2 ? 2 2 ,则下列命题中为真命 2 3 ? ? ? ?
题的是( A. p ? q C. p ? ? ?q ? 则该几何体的体积是( A. 8 ? 6 ? ) B. ? ?p ? ? q D. ? ?p ? ? ? ?q ? ) C. 4 ? 12? D. 8 ? 12 ?

11.如图,网格纸上的小正方形的边长为 1 , 粗实线画出的是某几何体的三视图, B. 4 ? 6 ?

12.设函数 f ? x ? 的定义域为 R , f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,当 x ? 0,1 时, f ? x ? ? x ,则
3

? ?

函数 g ? x ? ? cos ?? x ? ? f ? x ? 在区间 ? ? A. 4 B. 3

? 1 3? , 上的所有零点的和为( ? 2 2? ?
C. 2 D. 1



第Ⅱ卷
二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.曲线 f ? x ? ? 2x ? 3x 在点 1, f ?1? 处的切线方程为
2

?

?

? , a ? 1, 3 , a ? 2b ? 2 3 ,则 b ? 3 ?1? 2 * 15. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a2 ? 12 , Sn ? kn ?1(n ?N ) , 则数列 ? ? 的前 n 项和为 _ ? Sn ? 2 2 16.已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 C : x ? y ? ? ( ? 为正常数)上,过点 M 作双曲线 C 的
14.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 某一条渐近线的垂线,垂足为 N ,则 ON ? 2 MN 的最小值为 三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C (Ⅰ) 求 B 的大小;(Ⅱ) 若 b ? 3 , A ?

?

?

? ,求 ?ABC 的面积 4

2

18.(本小题满分 12 分) 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表: 价格 x (元/kg) 日需求量 y (kg) 10 11 15 10 20 8 25 6 30 5

(Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,当价格 x ? 40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少? 参考公式:线性回归方程 ? y ? bx ? a ,其中 b ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

, a ? y ? bx

19.(本小题满分 12 分) 如图, 在多面体 ABCDM 中,?BCD 是等边三角形,?CMD 是等腰直角三角形,?CMD ? 90? , 平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD ,点 O 为 CD 的中点,连接 OM (Ⅰ) 求证: OM // 平面 ABD ;(Ⅱ) 若 AB ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? BDM 的体积

A M B C O D

3

20.(本小题满分 12 分)

已知动圆 P 的圆心为点 P ,圆 P 过点 F ?1,0 ? 且与直线 l : x ? ?1 相切
2

(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;(Ⅱ)若圆 P 与圆 F : ? x ? 1? ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,求 MN 的取值 范围

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;(Ⅱ)若 a ? 0 且 x ? 0 时, f ? x ? ? ln x ,求 a 的取值范围

1 ? ax ( x ? R) ex

4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 是圆 O 的直径,BC ? CD ,AD 的延长线与 BC 的 延长线交于点 E ,过 C 作 CF ? AE ,垂足为点 F (Ⅰ)证明: CF 是圆 O 的切线;(Ⅱ)若 BC ? 4 , AE ? 9 ,求 CF 的长

E

D A

F C B

O

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

(? 为参数 ) .以点 O 为极点, x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)? 2

(Ⅰ)将曲线 C 和直线 l 化为直角坐标方程;(Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的 最大值

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)当 a ? 7 时,求函数 f ?x ? 的定义域;(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ?x ? ? 3 的解集是 R ,求实数 a 的最 大值 已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a

?

?

5

2016 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 文科数学试题答案及评分参考
一. 选择题 (1)C (7)C 二. 填空题 (2)B (8)D (3)A (9)D (14) 2 (4)C (5)B (6)A (10)A (11)A (12)B (15)

(13) x ? y ? 2 ? 0 三. 解答题

n 2n ? 1

(16) 2 ?

(17)(Ⅰ)解: ∵ 2b sin B ? ? 2a ? c ? sin A ? ? 2c ? a ? sin C , 由正弦定理得, 2b ? ? 2a ? c ? a ? ? 2c ? a ? c , ……………………………………1 分
2

化简得, a 2 ? c2 ? b2 ? ac ? 0 . ∴ cos B ? ∵0 ? B ? ∴B ?
2 2 2

……………………………………………………2 分

a ?c ?b ?ac 1 ? ? ? . …………………………………………………4 分 2ac 2ac 2

(Ⅱ)解:∵ A ?

? ? 2? ? ? ? ? . …………………………………6 分 , ∴C ? ? ? ? 4 4 3 3 4 6? 2 ? ? ? ? ?? ?? ∴ sin C ? sin ? ? ? ? sin cos ? cos sin ? . …………8 分 3 4 3 4 4 ?3 4? c b ? 由正弦定理得, , ……………………………………………………9 分 sin C sin B 2? , 3 b sin C 6? 2 ∴c ? . ………………………………………………………10 分 ? sin B 2 1 1 6? 2 ? 3? 3 ∴△ ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 ? . ………12 分 ? sin ? 4 2 2 2 4
∵b ? 3 , B ?

2? . 3

?,

……………………………………………………5 分

(18)(Ⅰ)解:由所给数据计算得

x?

1 ?10 ? 15 ? 20 ? 25 ? 30 ? ? 20 , ………………………………………………1 分 5 1 y ? ?11 ? 10 ? 8 ? 6 ? 5 ? ? 8 , ……………………………………………………2 分 5
5 2 2 2 i ?1 5 i

? ? x ? x ? ? ? ?10? ? ? ?5?
i ?1 i i

? 02 ? 52 ? 102 ? 250 , ……………………………3 分

? ? x ? x ?? y ? y ? ? ?10 ? 3 ? ? ?5? ? 2 ? 0? 0 ? 5? ? ?2? ?10? ? ?3? ? ?80 .
………………………………………4 分

6

b?

? ? x ? x ?? y ? y ?
5 i ?1 i i

?? x ? x?
5 i ?1 i

2

?

?80 ? ?0.32 . ………………………………………6 分 250
………………………………………8 分 ………………………………………9 分

a ? y ? bx ? 8 ? 0.32 ? 20 ? 14.4 . 所求线性回归方程为 ? y ? ?0.32x ?14.4 .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知当 x ? 40 时, ? y ? ?0.32 ? 40 ?14.4 ? 1.6 .……………………………11 分 故当价格 x ? 40 元/ kg 时,日需求量 y 的预测值为 1.6 kg. …………………12 分 (19)(Ⅰ)证明:∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90? ,点 O 为 CD 的中点, ∴ OM ? CD . ………………………………………1 分 ∵ 平面 CMD ? 平面 BCD ,平面 CMD ? 平面 BCD ? CD , OM ? 平面 CMD , A ∴ OM ? 平面 BCD .………………………………2 分 ∵ AB ? 平面 BCD , ∴ OM ∥ AB .………………………………………3 分 M OM ? AB ? ABD ABD ∵ 平面 , 平面 , B D H ∴ OM ∥平面 ABD .………………………………4 分 O (Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , C ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 过 O 作 OH ? BD ,垂足为点 H , ∵ AB ? 平面 BCD , OH ? 平面 BCD , ∴ OH ? AB . ………………………………………6 分 ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B , ∴ OH ? 平面 ABD . ………………………………………7 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形,
? ∴ BD ? 2 , OD ? 1 , OH ? OD ? sin 60 ?

3 .………………………………9 分 2

∴ VA? BDM ? VM ? ABD

………………………………………10 分

1 1 ? ? ? AB ? BD ? OH ………………………………………11 分 3 2 1 1 3 3 . ? ? ? 2? 2? ? 3 2 2 3 3 ∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为 . ………………………………………12 分 3 解法 2: 由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. …………………5 分 ∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形, ∴ BD ? 2 , OD ? 1 . ………………………………………6 分 ? 连接 OB , 则 OB ? CD , OB ? BD ? sin 60 ? 3 . ……………………………7 分 ∴ VA?BDM ? VM ? ABD ? VO? ABD ? VA?BDO ………………………………………10 分 1 1 ? ? ? OD ? OB ? AB ………………………………………11 分 3 2 1 1 3 . ? ? ?1? 3 ? 2 ? 3 2 3 3 ∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为 . ………………………………………12 分 3
7

(20)(Ⅰ)解法 1:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于点 P 到直线 l 的距离, ………1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线. …………2 分 ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

………………………………………3 分

解法 2:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,依题意,得 PF ? x ? 1 , ………………………1 分 ∴

? x ?1?
2

2

? y2 ? x ?1 .
2

………………………………………2 分

化简得 y ? 4 x . ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2 2

………………………………………3 分
2

(Ⅱ) (Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,则圆 P 的半径为 r ? x0 ? 1 .………………………4 分 ∴圆 P 的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? x0 ? 1? . ① ∵圆 F : ? x ? 1? ? y 2 ? 1 , ②
2

………………………5 分

① ? ②得直线 MN 的方程为 2 ?1 ? x0 ? x ? 2 y0 y ? y0 ? 2x0 ?1 ? 0 . …………6 分
2

∵点 P ? x0 , y0 ? 在曲线 C : y ? 4x 上,
2
2 ∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .

∴点 F 到直线 MN 的距离为 d ?

2 2 ?1 ? x0 ? ? y0 ? 2 x0 ? 1 2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

?

1
2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

.

……………………………………7 分
2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 , 2

∴ MN ? 2 1 ? d ? 2 1 ?
2

1
2 4 ?1 ? x0 ? ? 4 y0 2

.

…………………8 分

? 2 1?

1 4 ?1 ? x0 ? ? 16 x0
2
2

? 2 1?

1 4 ? x0 ? 1?
2

.

…………………9 分

∵ x0 ? 0 ,∴ ? x0 ? 1? ? 1 . ∴0?

1
2

4 ? x0 ? 1? 3 1 ∴ ? 1? ? 1 . ………………………………………………………11 分 2 4 4 ? x0 ? 1?
∴ 3 ? MN ? 2 . ∴ MN 的取值范围为 ? 3, 2 .

?

1 . 4

………………………………………………………10 分

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 F 到直线 MN 的距离为 d , 则点 P 到直线 MN 的距离为 PF ? d .
2

?

?

……………………………………12 分

……………………………………4 分

2 ∵圆 F : ? x ? 1? ? y ? 1 的半径为 1 ,圆 P 的半径为 PF ,

∴ MN ? 2 1 ? d 2 ? 2 PF ? PF ? d ∴ 1 ? d ? PF ? PF ? d
2 2

2

?

?

2

.

……………………………5 分 . …………………6 分

?

? ,化简得 d ? 2 PF
2

1

8

∴ MN ? 2 1 ? d ? 2 1 ?
2

1 4 PF
2

.

……………………………………7 分

∵点 P ? x0 , y0 ? 在曲线 C : y ? 4x 上,
2
2 ∴ y0 ? 4 x0 ,且 x0 ? 0 .

∴ PF

2

2 ? ? x0 ? 1? ? y0 2

…………………………………………………8 分
2

2 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? 4x0 ? ? x0 ? 1? ? 1 .

…………9 分

∴0 ? ∴

1 4 PF
2

?

1 . 4

………………………………………………………10 分 ………………………………………………………11 分

3 1 ? 1? ? 1. 2 4 4 PF

∴ 3 ? MN ? 2 .

∴ MN 的取值范围为 ? 3, 2 .

?

?

…………………………………………12 分

(21)(Ⅰ)解:∵当 a ? ?2 时, f ? x ? ? ∴ f ?? x? ? ?

1 ? 2x , ex

1 ?2. ………………………………………………1 分 ex 1 1 令 f ? ? x ? ? ? x ? 2 ? 0 ,得 x ? ln ? ? ln 2 . ………………………2 分 e 2 当 x ? ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 . ………………3 分
∴函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ? ln 2? ,递增区间为 ? ? ln 2, ??? .……4 分 (Ⅱ)解法 1:当 x ? 1 时, f ? x ? ? ln x 等价于

1 1 ? ax ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 .(*) x e e 1 1 1 令 g ? x ? ? ln x ? x ? ax ? a ? 0 ? ,则 g ? ? x ? ? ? x ? a ? 0 , ………5 分 e x e ∴函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.
∴ g ? x ? ? g ?1? ? ? ? a . 要使(*)成立,则 ? 下面证明若 a ?

1 e

………………………………………………6 分

1 1 ? a ? 0 , 得 a ? .……………………………………………7 分 e e

1 时,对 x ? ? 0,1? , f ? x ? ? ln x 也成立. e 1 1 当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? ln x 等价于 x ? ax ? ? ln x ,即 ln x ? x ? ax ? 0 . e e 1 1 1 而 ln x ? x ? ax ? ln x ? x ? x .(**) ………………………………………8 分 e e e 1 1 1 1 1 令 h ? x ? ? ln x ? x ? x ,则 h? ? x ? ? ? x ? , e e x e e 1 1 1 1 1 x2 ? ex 再令 ? ? x ? ? ? x ? ,则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x e e x e xe 2 x ? ex 2 x ? 0 . ……………………9 分 由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? ? x ? ? x 2e x
9

∴ 函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减. ∴

? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 . ………………………10 分
1 1 ? ?0. e e

∴ 函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增. ∴ h ? x ? ? h ?1? ? 由(**)式 ln x ?

1 1 e e

2 e

……………………………………………11 分

1 1 1 ? ax ? ln x ? x ? x ? 0 . x e e e ?1 ? 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? . ……………………………………12 分 ?e ? 1 1 解法 2: f ? x ? ? ln x 等价于 x ? ax ? ln x ,即 ax ? x ? ln x .(*) e e ?1 ? ln x, x ? 1, ? 1 ? ex 令 g ? x ? ? x ? ln x ? ? …………………………………5 分 1 e ? ? ln x, 0 ? x ? 1. ? ? ex 1 1 1 当 x ? 1 时, g ? x ? ? x ? ln x ,则 g ? ? x ? ? ? x ? ? 0 . e e x ∴函数 g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递减. 1 ∴ g ? x ? ? g ?1? ? . ………………………………………………6 分 e 1 1 ex ? x 1 当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ? x ? ln x ,则 g ? ? x ? ? ? x ? ? ?0. e e x xe x ∴函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增. 1 ∴ g ? x ? ? g ?1? ? . ………………………………………………7 分 e 1 下面证明,当 a ? 时, (*)式成立: e 1 ① 当 x ? 1 时, ax ? ? g ? x ? , (*)式成立. ……………………………………8 分 e 1 1 1 ② 当 0 ? x ? 1 时,由于 ax ? x ,令 h ? x ? ? ln x ? x ? x , e e e 1 1 1 则 h? ? x ? ? ? x ? , x e e 1 1 1 1 1 x2 ? ex ? ? x ? ? ? 再令 ? ? ,则 ? ? x ? ? ? 2 ? x ? 2 x . x ex e x e xe 2 x ? ex 2 x ? 0 .……………………9 分 由于 x ? ? 0,1? ,则 x ? 1 , e ? 1 ,故 ? ? ? x ? ? x 2e x ∴ 函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减.


? ? x ? ? ? ?1? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 .

∴ 函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增.

1 1 e e

2 e

10

∴ h ? x ? ? h ?1? ? ∴ ln x ?

1 1 ? ?0. e e

………………………………………………10 分

1 1 ? x ? 0. ………………………………………………11 分 ex e 1 1 ∴ ln x ? x ? x ? ax ,即(*)式成立. e e ?1 ? 综上所述, 所求 a 的取值范围为 ? , ?? ? . …………………………………12 分 ?e ? (22)(Ⅰ)证明: 连接 OC , AC , ∵ BC ? CD , ∴ ?CAB ? ?CAD . …………………………………………………… 1分 E ∵ AB 是圆 O 的直径, F D ∴ OC ? OA . C ∴ ?CAB ? ?ACO . …………………………2 分 ∴ ?CAD ? ?ACO . A B ∴ AE ∥ OC . ………………………………3 分 O ∵ CF ? AE , ∴ CF ? OC . ……………………………………………………………………4 分 ∴ CF 是圆 O 的切线. ……………………………………………………………5 分 (Ⅱ)解:∵ AB 是圆 O 的直径, ∴ ?ACB ? 90? ,即 AC ? BE . ∵ ?CAB ? ?CAD , ∴ 点 C 为 BE 的中点. ∴ BC ? CE ? CD ? 4 . …………………………………6 分 由割线定理: EC ? EB ? ED ? EA ,且 AE ? 9 . …………………………………7 分 32 得 ED ? . …………………………………8 分 9 在△ CDE 中, CD ? CE , CF ? DE ,则 F 为 DE 的中点. 16 ∴ DF ? . …………………………………9 分 9
在 Rt△ CFD 中, CF ? CD ? DF ?
2 2

4 65 ? 16 ? 42 ? ? ? ? .……………10 分 9 ?9?

2

∴ CF 的长为 (23)(Ⅰ)解:由 ?

4 65 . 9

? x ? 3 cos ? , x 2 ? 得 ? y 2 ? 1, 3 ? ? y ? sin ? ,

x2 ? y 2 ? 1. ∴曲线 C 的直角坐标方程为 …………………………………2 分 3 ? ? ?? ? 由 ? sin(? ? ) ? 2 ,得 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 2 ,……………3 分 4 4 4? ? 化简得, ? sin ? ? ? cos ? ? 2 , …………………………………4 分 ∴x? y ? 2. ∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 . …………………………………5 分
(Ⅱ)解法 1:由于点 Q 是曲线 C 上的点,则可设点 Q 的坐标为

?

3 cos ? ,sin ? , …6 分

?

11

点 Q 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 2 2

…………………………7 分

?? ? 2cos ? ? ? ? ? 2 6? ? .…………………………………8 分 ? 2 4 ?? ? 当 cos ? ? ? ? ? ?1 时, d max ? ? 2 2 . …………………………………9 分 6? 2 ? ∴ 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . …………………………………10 分 解法 2:设与直线 l 平行的直线 l ? 的方程为 x ? y ? m , ? x ? y ? m, ? 由 ? x2 消去 y 得 4 x2 ? 6mx ? 3m2 ? 3 ? 0 , ………………………6 分 2 ? ? y ? 1, ?3 2 2 令 ? ? ? 6m ? ? 4 ? 4 ? ? 3m ? 3? ? 0 , …………………………………7 分
解得 m ? ?2 . …………………………………8 分 ∴直线 l ? 的方程为 x ? y ? ?2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . ∴两条平行直线 l 与 l ? 之间的距离为 d ? ∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 2 2 . (24)(Ⅰ)解:由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,

2?2 2

? 2 2 .………………………9 分

…………………………………10 分 …………………………………1 分

∴函数 f ( x) 的定义域为 ? ??, ?3? ? ? 4, ??? .

① 当 x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,解得 x ? 4 . ………………………………2 分 ② 当 1 ? x ? 2 时,得 x ? 1 ? 2 ? x ? 7 ,无解. …………………………………3 分 ③ 当 x ? 1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 解得 x ? ?3 . ……………………………4 分 …………………………………5 分

(Ⅱ)解:不等式 f ( x) ? 3 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 , …………………………………6 分 ∵ x ?R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 3 ,…………………………8 分 又不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 的解集是 R, ∴ a ? 8 ? 3 ,即 a ? ?5 . ……………………………………………………………9 分 ∴ a 的最大值为 ?5 . …………………………………………………………10 分

12


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