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河北省石家庄市2016届高三上学期复习教学质量检测(一)数学(理)试卷


石家庄市2016届高三复习教学质量检测(一)

高三数学(理科)
第 I 卷(选择题,60分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 2i 1、复数 z ? (i 是虚数单位) ,则|z|= 1? i A. 1 B. 2 C. 3 D.2

/>2、已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0}, B ? { y | y ? 2x }, 则 ? ? ? ? A. y ? x B. y ? ln x C. y ?
1 x

D. y ? 2 x

3、已知命题 p : ?x ? (0, ??), x2 ? x ?1, 则命题 p 的否定形式是 A .
2 ?p : ?x0 ? (0, ??), x0 ? x0 ?1

2 B. ?p : ?x0 ? (??,0), x0 ? x0 ?1

C



2 ?p : ?x0 ? (0, ??), x0 ? x0 ?1

2 D. ?p : ?x0 ? (??,0), x0 ? x0 ?1

4、执行如图所示的程序框图,则输出 i 的值为 A.4 B.5 C.6
1 5、已知 tan x ? , 则 sin 2 x ? 3

D.7

A.

3 10

B.

10 5

C.

3 10

D.

3 5

6、已知双曲线 A.

x2 2 3 ? y 2 ? 1(m ? 0) 的离心率为 ,则 m 的值为 m 3

2 3 3

B.3

C.8

D.

3 2

? 7、函数 y=sin(ω x+φ )的部分图像如图,则 f ( ) = 2 1 1 3 3 A. ? B. C. ? D. 2 2 2 2

8、已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f(x)=f(2-x) ,其图像经过点(2,0) ,且对 任 意 x1 , x2? ( 1? ,? ) x1, ? x 且 , x1(? x2 2
( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集为

)f [ x ( 1?

立, )f 2x恒 ? ( 成 )] 0 则不等式

A . (??,1] D. (0,1] ? ? 2, ???

B . (1, ??]

C . (??,1] ? ?1, 2?

9、小明准备参加电工资格考试,先后进行理论考试和操作考试 两个环节,每个环节各有2次考试机会,在理论考试环节,若 第一次考试通过,则直接进入操作考试;若第一次未通过,则 进行第2次考试,第2次考试通过后进入操作考试环节,第2次 未通过则直接被淘汰。在操作考试环节,若第1次考试通过, 则直接获得证书;若第1次未通过,则进行第2次考试,第2次 考试通过后获得证书,第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率 3 2 为 ,每次操作考试通过的概率为 ,并且每次考试相互独立,则小明本次电 4 3 工考试中共参加3次考试的概率是 1 3 2 3 A. B. C. D. 3 8 3 4 10、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 2 A. B.1 3
4 5 D. 3 3 11. 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 作倾角为 60 的直线交抛物线于 A、B 两点

C.

(点 A 在第一象限) ,与其准线交于点 C,则 A.6 B.7 C.8

S?AOC ? S?BOF

D.10

2 ? ?? x ? 2ex, x ? 0 12.已知函数 f ( x) = ? x ,其中 e 为自然对数的底数,若关于 x 的方 ? ?e ,x ≥ 0

程 f ( x) ? a | x |? 0(a ? R) 有三个不同的实数根, 则 f ( x) ? a | x |? 0 的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.以上都有可能

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13、已知等比数列 {an } 满足: a1 ? a3 ? 1, a2 ? a4 ? 2, 则a4 ? a6 ?


14、函数 y ? log 2 (3 x ? 1) 的定义域为
3



15 、已知三棱锥 S-ABC 所在顶点都在球 O 的球面上,且 SC⊥平面 ABC,若 SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,则球 O 的表面积为 。 16、在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AB,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F 分别为 AB,

? 上 BC 的中点,点 P 在以 A 为圆心,AD 为半径的圆弧 DE

??? ? ??? ? ??? ? 变 动 ( 如 图 所 示 )。 若 AP ? ? ED ? ? AF , 其 中

?, ?? R , 则 2? ? 的取值范围是 ?



三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分) 已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 2 ,a4 ? 20 . ( I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和. an an?1

18、 (本小题满分 12 分)

? 已知 a、 b、 c 分别是△ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边, 且 2a sin(C ? ) ? 3b. 3 (I)求角 A 的值;
(II)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 13 ,求△ABC 的面积。

19、 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD; (II)若 PB= 6 ,求二面角 A—PD—C 的余弦值。

20、 (本小题满分 12 分) 某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂,生产同一种灯具(售价相同) , 为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况, 分别从这两个工厂个抽

查了25件灯具进行测试,结果如下:

(I)根据频率分布直方图,请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿 命; (II) 某学校欲采购灯具, 同时试用了南北两工厂的灯具各两件, 试用500小时后, 若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多, 该学校就准备 采购北方工厂的灯具, 否则就采购南方工厂的灯具,试估计该学校采购北 方工厂的灯具的概率。 (视频率为概率) 21、 (本小题满分 12 分)
x2 y 2 7 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 8.。 a b 4

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若不垂直于坐标轴的直线 l 经过点 P(m,0) ,与椭圆 C 交于 A,B 两点, 设点 Q 的坐标为(n,0) ,直线 AQ,BQ 的斜率之和为0,求 mn 的值。 22、 (本小题满分 12 分)
x2 已知函数 f ( x) ? ? ax ? 2ln x, (a ? R). 在 x=2 处取得极值。 2

(I)求实数 a 的值及函数 f ( x) 的单调区间; (II)方程 f ( x) =m 有三个实根 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ), 求证: x3 ? x2 ? 2.

高三数学质量检测一理科答案
一、选择题: 1-5BBCAD BDD BC 二、填空题: 13. 8 14. ? , ? 3 3 AC

? 1 2? ? ?

15.

5?

16. ? ?1,1?

三、解答题

17. 解: (Ⅰ) 1分

由 已知, 得 S2 2 ? S1 ? S4

………………………

即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 又由 a1 ? 1 , d ? 0 分 故, an ? 2n ? 1 分
( Ⅱ )

得 2a1d ? d 2 ……………………… 3

得d ? 2

……………………… 5











bn ?
Tn ?

1 , (2n ? 1)(2n ? 1)
1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 3? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

……………………… 6 分

?
?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 5 7 2 n ? 1 2n ? 1 ? ?
n 2n ? 1

……………………

10 分
18. 解:(Ⅰ)由 2a sin ? C ?

? ?

??

? ? 3b 3?

变形为 2 sin

? ?? ? A? sin C cos ? cosC sin ? ? 3 sin B 3 3? ?

sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin?? ? ? A ? C ??
sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin? A ? C ?
………………2 分

sin A sin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin A cosC ? 3 cos A sin C

sin A sin C ? 3 cos A sin C
因为 sin C

?0

所以 sin A ?

3 cos A
…………… …4 分 ………………6 分

tan A ? 3
又? A ?

?0, ? ?? A ? ?

3

(Ⅱ)在 ?ABD 中, AB ? 3 , BD ? 13 , A ?
利用余弦定理,

?
3

AB2 ? AD2 ? 2 ? AB ? AD ? cos A ? BD2
………………8 分

解得 AD ? 4 ,
又D是

AC 的中点 ? AC ? 8 1 S ?ABC ? ? AB ? AC ? sin A ? 6 3 2

………………12 分

19. (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD. ∵PA=PD=DA,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°,∴△PAD 和△ABD 为两个全等的等 边三角形, 则 PE⊥AD, BE⊥AD,∴AD⊥平面 PBE, 又 PB?平面 PBE,∴PB⊥AD; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

(Ⅱ)解:在△PBE 中,由已知得,PE=BE= 3,PB= 6,则 PB2=PE2+BE2, ∴∠PEB=90°,即 PE⊥BE,又 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD; 以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在 直线为 x,y,z 轴,建立 如 图 所示空间直角坐标系,则 E(0,0,0), C(-2, 3,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3), 则=(1,0, 3),=(-1, 3,0), 由题意可设平面 APD 的一个法向量为 m=(0,1,0); . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,z),
?x+ 3z=0, ? 由 得:? 令 y=1,则 x= 3,z=-1,∴n=( 3,1,-1); ?-x+ 3y=0, ? m·n 则 m · n = 1 , ∴ cos<m, n > = | m|| n |

P

z

D E. A x B y

C



1 5



5 5,

. . . . . . . . . . . . .11 分

由题意知二面角 A - PD - C 的平面角为钝角,所以,二面角 A - PD - C 的余弦值为-

5 . . . . . . .12 分 5. 20.解: (I)北方工厂灯具平均寿命:

x北方=350 ? 0.12+450 ? 0.28+550 ? 0.4+650 ? 0.12+750 ? 0.08=526 小时;…………3 分
南 方 工厂 灯具 平均 寿命: x南方=350 ? 0.12+450 ? 0.28+550 ? 0.36+650 ? 0.24=522 小 时. …………6 分 (Ⅱ)设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为 A,B;南方 工厂两件灯具能够正常 使用的 事件分别为 C,D;

(A) =P (B) =P (C) =P (D) = 由题意可知: P
采购北方工厂灯具的概率

3 ; 5

…………8 分则:

P ? P( ABCD) ? P( ABCD) ? P( ABCD) ? P( ABCD) ? P( ABCD)
?3? ?? ? ?5?
2 2 ? ? 3 ?2 ? 192 1 ? 3 ?? 2 ?? 2 ? . 1 ? ? C ? ? ? ? 2 ? ?? ?? ? ? 5 5 5 5 625 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?

…………10 分

…………12 分

21. 解: (Ⅰ)由题意

c 7 ? ① , 2a ? 8 ②, a 4

…………2’

2 2 2 又 a ? b ? c ③,由①②③解得: a ? 4, b ? 3,

所以求椭圆 C 的标准方程为 4’

x2 y 2 ? ?1 16 9 .

…………

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? k ( x ? m) ( k ? 0 ) , 且 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,直线 AQ、BQ 的 斜率分别为 k1 , k2 , 将 y ? k ( x ? m) 代入

x2 y 2 ? ? 1 得: 16 9

(9 ? 16k 2 ) x2 ? 32k 2mx ? 16k 2m2 ?144 ? 0 ,
由韦达定理可得: x1 ? x2 ?

32k 2 m 16k 2 m2 ? 144 , x ? x ? . 1 2 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2

…………7’

由 k1 ? k2 ? 0 得,

y1 y ? 2 ? 0 ,将 y1 ? k ( x1 ? m), y2 ? k ( x2 ? m) 代入,整理得: x1 ? n x2 ? n

2 x1 x2 ? (m ? n)( x1 ? x2 ) ? 2mn ? 0. x1 x2 ? n( x1 ? x2 ) ? n2


2x1x2 ? (m ? n)( x1 ? x2 ) ? 2mn ? 0.

…………10’

32k 2 m 16k 2 m2 ? 144 x ? x2 ? , x1 ? x2 ? 整 理 可 解 得 将 1 代 入 , 9 ? 16k 2 9 ? 16k 2
…………12’

mn ? 16.

22 解:(Ⅰ)由已知 f ?( x ) ? x ? a ? , f ?(2) ? 2 ? a ? ? 0 , a ? ?3 ………1 分 .. x 2 所以 f ?( x ) ? x ? 3 ?

2

2

2 x 2 ? 3 x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ,x?0 ? ? x x x

由 f ?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1, 或 x ? 2 ; 由 f ?( x ) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 ,………3 分 所以函数的单调递增区间是 (0,1),(2, ??) ,单调递减区间是 (1, 2) .………4 分 (Ⅱ )由(1)可知极小值 f ? 2? ? 2ln 2 ? 4 ;极大值为 f ?1? ? ?

5 2

可知方程 f ( x) ? m 三个实根满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ? x3 ………5 分 设 h1 ( x) ? f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , x ? (0,1)

h1? ( x ) ? f ? ? x ? ? f ? ? 2 ? x ? ?

4( x ? 1)2 ?0 x(2 ? x )

则 h1 ( x) ? h1 (1) ? f ?1? ? f ? 2 ? 1? ? 0 , 即 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? , x ? (0,1) 所以 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? x1 ? , 由(1)知函数 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减, 从而 x2 ? 2 ? x1 ,即 x1 ? x2 ? 2 ①………8 分 同理设 h2 ( x) ? f ? x ? ? f ? 4 ? x ? , x ? (1,2)

h2? ( x ) ? f ? ? x ? ? f ? ? 4 ? x ? ?

2( x ? 2)2 ?0 x(4 ? x )

h2 ( x) ? h2 (2) ? f ? 2? ? f ? 4 ? 2? ? 0 )
即 f ? x ? ? f ? 4 ? x ? , x ? (1,2)

f ? x3 ? ? f ? x2 ? ? f ? 4 ? x2 ? ,由(1)知函数 f ? x ? 在 ? 2, ??? 上单调递增,
从而 x3 ? 4 ? x2 ,即 x3 ? x2 ? 4 ②………11 分 由①②可得 x3 ? x1 ? 2 得证. ………12 分


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