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湖南省永州一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年湖南省永州一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. (4 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(?UM)∩N=() A.{2} B.{2,3,4} C.{3} D.{0,1,2,3,4}

2. (4 分)函数 f(x)= A. C.

的定义域为()

D.

4. (4 分)设函数

,则 f=()

A.

B. 2

C. 1

D.32

5. (4 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y= (x∈R 且 x≠0) B. y=( ) (x∈R) D.y=x (x∈R)
0.3 2 3 x

C. y=x(x∈R)

6. (4 分)设 a=2 ,b=0.3 ,c=log20.5,则 a,b,c 的大小关系为() A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 7. (4 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

8. (4 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x) x =a +b 的图象是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 9. (4 分)计算:
a

=.

10. (4 分)如果幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2,
x

) ,则 f(4)的值等于.

11. (4 分)当 a>0 且 a≠1 时,函数 f(x)=a +3 必过定点. 12. (4 分)若函数 f(2x+1)=x ﹣2x,则 f(3)=. 13. (4 分)函数 y=( ) 的单调递增区间是.
2

14. (4 分)设奇函数 f(x)的定义域为,若当 x∈f(x)的图象如图,则不等式 f(x)≤0 解 集是.

15. (4 分) 设( f x) 是定义在上奇函数, 且对任意的 a, b∈ , 当 a+b≠0 时, 都有 <0,则不等式 f(2x﹣ )<f(x﹣ )的解集为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分) 16. (10 分)全集 U=R,若集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7},则(结果用区间表示) (1)求 A∩B,A∪B, (?UA)∩(?UB) ; (2)若集合 C={x|x>a},A?C,求 a 的取值范围. 17. (10 分)已知函数 f(x)=x +bx+c,且 f(1)=0. (1)若函数 f(x)是偶函数,求 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在上的最大、最小值.
2

18. (10 分)已知函数 f(x)= ﹣ (a>0,x>0) . (1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若 f(x)在上的值域是,记函数 g(x)的最大值与最小值之差为 M(a) ,求 M(a) .

2014-2015 学年湖南省永州一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. (4 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(?UM)∩N=() A.{2} B.{2,3,4} C.{3} D.{0,1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求出 M 的补集,再求出其补集与 N 的交集,从而得到答案. 解答: 解:∵CUM= {3,4}, ∴(CUM)∩N={3}, 故选:C. 点评: 本题考查了集合的运算,是一道基础题.

2. (4 分)函数 f(x)= A. =() A. B. 2

的定义域为()

C. 1

D.32

考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质;函数的值. 函数的性质及应用. 根据分段函数直接代入计算即可. 解:由分段函数可知 f(﹣8)=log39=2, ,

∴f=f(2)=

故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用分段函数直接代入即可,比较基础. 5. (4 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y= (x∈R 且 x≠0) B. y=( ) (x∈R) D.y=x (x∈R)
3 x

C. y=x(x∈R)

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性的判断方法, 即可得到在其定义域内既是奇函数又是减 函数的函数. 解答: 解:对于 A.函数的定义域为{x|x≠0 且 x∈R},关于原点对称,f(﹣x)=f(x) , 则为偶函数,故 A 不满足; 对于 B.定义域 R 关于原点对称,f(﹣x)≠﹣f(x)且≠f(x) ,则为非奇非偶函数,故 B 不满足; 对于 C.y=x 为奇函数,在 R 上是增函数,故 C 不满足; 3 2 对于 D.定义域 R 关于原点对称,f(﹣x)=﹣(﹣x) =﹣f(x) ,则为奇函数,y′=﹣3x ≤0, 则为减函数,故 D 满足. 故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查定义法和导数、及性质的运用,考查 运算能力,属于基础题. 6. (4 分)设 a=2 ,b=0.3 ,c=log20.5,则 a,b,c 的大小关系为() A.a<b<c B.b<a<c C. c<a<b D. c<b<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函 数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=2 >1,0<b=0.3 <1,c=log20.5<0. ∴c<b<a. 故选:D. 点评 : 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 7. (4 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x 0.3 2 0.3 2

D.(1,2)

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数零点的判定定理求得函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间. 解答: 解:由 ,以及及零点定理知,f(x)的零点

在区间(﹣1,0)上, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题. 8. (4 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x) x =a +b 的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像变换. 专题: 数形结合. 分析: 由已知中函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象,我们易判断出 a,b 与 0,±1 的关系,根据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换,我们分析四个答 案中函数的图象,即可得到结论. 解答: 解:由已知中函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象可得 b<﹣1<0<a<1 x 则函数 g(x)=a +b 为减函数,即函数的图象从左到右是下降的 且与 Y 轴的交点在 X 轴下方 分析四个答案只有 A 符合 故选 A 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据已知判断出 a,b 与 0,±1 的 关系,进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 9. (4 分)计算: =3.

考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 由 1.1 =1,
0

,0.5 =4,lg25+2lg=2(lg5+lg2) ,能求出 的值.

﹣2

解答: 解: =1+4﹣4+2(lg5+lg2) =3. 故答案为:3.

点评: 本题考查对数的运算性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,注意有理数指数 幂的性质和应用. 10. (4 分)如果幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2, 考点: 专题: 分析: 解答: 所以
a

) ,则 f(4)的值等于 2.

幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 函数的性质及应用. 求出幂函数的解析式,然后求解函数值即可. a 解:幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2, ) , ,解得 a= . .

函数的解析式为:f(x)= f(4)= =2.

故答案为:2. 点评: 本题考查幂函数的解析式的求法,函数值的求法,基本知识的考查. 11. (4 分)当 a>0 且 a≠1 时,函数 f(x)=a +3 必过定点(0,4) . 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用 a =1(a>0 且 a≠1) ,即可得出. 0 解答: 解:令 x=0,则函数 f(0)=a +3=1+3=4. x ∴函数 f(x)=a +3 的图象必过定点(0,4) . 故答案为: (0,4) . 0 点评: 本题考查了指数函数的性质和 a =1(a>0 且 a≠1) ,属于基础题. 12. (4 分)若函数 f(2x+1)=x ﹣2x,则 f(3)=﹣1. 考点: 分析法的思考过程、特点及应用. 2 分析: 这是一个凑配特殊值法解题的特例,由 f(2x+1)=x ﹣2x,求 f(3)的值,可令 (2x+1)=3,解出对应的 x 值后,代入函数的解析式即可得答案.本题也可使用凑配法或 换元法求出函数 f(x)的解析式,再将 x=3 代入进行求解. 解答: 解法一: (换元法求解析式) 令 t=2x+1,则 x=
2 0 x

则 f(t)= ∴

﹣2

=

∴f(3)=﹣1 解法二: (凑配法求解析式)

∵f(2x+1)=x ﹣2x= ∴ ∴f(3)=﹣1 解法三: (凑配法求解析式) ∵f(2x+1)=x ﹣2x 令 2x+1=3 则 x=1 2 此时 x ﹣2x=﹣1 ∴f(3)=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 求未知函数解析式的函数的函数值, 有两种思路, 一种是利用待定系数法、 换元法、 凑配法等求函数解析式的方法,求出函数的解析式,然后将自变值,代入函数解析式,进行 求解; (见本题的解法一、二)二是利用凑配特殊值的方法,凑出条件成立时的特殊值,代 入求解. (见本题的解法三) 的单调递增区间是(﹣∞,﹣2].
2

2

13. (4 分)函数 y=( )

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用二次函数、指数函数、复合函数的单调性即可得出. 解答: 解:y=( ) = 的单调递增区间是(﹣∞,﹣2].

故答案为: (﹣∞,﹣2]. 点评: 本题考查了二次函数、指数函数、复合函数的单调性,属于基础题. 14. (4 分)设奇函数 f(x)的定义域为,若当 x∈f(x)的图象如图,则不等式 f(x)≤0 解 集是∪.

考点: 其他不等式的解法;函数的图象. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 先由图象求出当 x>0 时不等式的解集, 再由奇函数的性质求出当 x<0 时不等式的 解集,由此可得不等式的解集. 解答: 解:由图象可知:当 x>0 时,f(x)≤0?2≤x≤5,f(x)≥0?0≤x≤2; 当 x<0 时,﹣x>0,因为 f(x)为奇函数, 所以 f(x)≤0?﹣f(﹣x)≤0?f(﹣x)≥0?0≤﹣x≤2, 解得﹣2≤x≤0.

综上,不等式 f(x)≤0 的解集为{x|﹣2≤x≤0,或 2≤x≤5}. 故答案为:∪. 点评: 本题考查奇函数的图象特征, 难度不大, 本题也可利用奇函数图象关于原点对称作 出 y 轴左侧的图象,根据图象写出解集. 15. (4 分) 设( f x) 是定义在上奇函数, 且对任意的 a, b∈ , 当 a+b≠0 时, 都有 <0,则不等式 f(2x﹣ )<f(x﹣ )的解集为( .

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题利用函数的奇偶性将条件有 <0 转化为函数的单调性,再利

用函数单调性将不等式 f(2x﹣ )<f(x﹣ )转化为不等式组,解不等式组,得到本题结 论. 解答: 解:∵f(x)是定义在上奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∵对任意的 a,b∈,当 a+b≠0 时,都有 ∴﹣b∈, . ∴ , <0,

∴当 a>b 时,f(a)<f(b) , 当 a<b 时,f(a)>f(b) , ∴由 a、b 的任意性知:f(x)在区间上单调递减. ∵不等式 f(2x﹣ )<f(x﹣ ) ,



∴ 故答案为: ( .

点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性及其应用,本题难度不大,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分)

16. (10 分)全集 U=R,若集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7},则(结果用区间表示) (1)求 A∩B,A∪B, (?UA)∩(?UB) ; (2)若集合 C={x|x>a},A?C,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)根据所给的两个集合的元素,写出两个集合的交集,并集和两个集合的补集 的交集,可以通过画数轴看出结果. (2)根据两个集合之间的包含关系,写出两个集合的端点之间的关系,注意端点之处的数 值是否包含. 解答: 解 : (1)∵B={x|2<x≤7},A={x|3≤x<10}, ∴A∩B={x|3≤x≤7} A∪B={x|2<x<10} (CUA)∩(CUB)=(﹣∞,3)∪上的最大、最小值. 考点: 二次函数的性质;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先由 f(1)=0 可得到 b=﹣c﹣1,带入 f(x)便得:f(x)=x ﹣(c+1)x+c.由 2 f(x)是偶函数,便可由 f(﹣x)=f(x)求出 c,从而求出 f(x)=x ﹣1; 2 (2)对于二次函数 f(x)=x ﹣1,可以判断它在上的单调性,而根据单调性即可求出 f(x) 在上的最大、最小值. 解答: 解:由 f(1)=0 得,1+b+c=0; ∴b= ﹣c﹣1; 2 ∴f(x)=x ﹣(c+1)x+c; ∴(1)若 f(x)是偶函数,则: f(﹣x)=x +(c+1)x+c=x ﹣(c+1)x+c; ∴c+1=0,c=﹣1; ∴f(x)=x ﹣1; 2 (2)二次函数 f(x)=x ﹣1 在上单调递增; 又 f(﹣1)=0,f(3)=8,f(0)=﹣1; ∴f(x)在上的最大值是 8,最小值是﹣1. 点评: 考查二次函数的单调性,以及根据函数单调性求函数最值的方法.
2 2 2 2

18. (10 分)已知函数 f(x)= ﹣ (a>0,x>0) . (1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若 f(x)在上的值域是中何时取最值,利用值域中提供的最值建立等式关系并求解. 解答: 解: (1)函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 设 x1>x2>0, =

因为 x1>x2>0,所以 x1﹣x2>0,x1?x2>0,所以 f(x1)﹣f(x2)>0, 所以 f(x1)>f(x2) ,因此函数 f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. (2)由(1)知函数 f(x)在上单调递增,并且 f(x)在上的值域是,

所以

,所以



点评: 本题考查函数单调性的判断与证明,对于(2) ,要利用好(1)所求得的结果. 19. (10 分)已知 f(x)=log2 .

(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)判断 f(x)的奇偶性并证明; (Ⅲ)求使 f(x)>0 成立的 x 的取值范围. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据对数的函数的定义及真数大于 0.即可求出其定义域. (Ⅱ)利用函数的奇偶性的定义证明即可, (Ⅲ)根据对数函数的单调性得到不等式,解得即可,注意函数的定义域. 解答: 解: (Ⅰ)∵ f(x)=log2 ∴ >0, ,

解得﹣1<x<1, 故 f(x)的定义域为(﹣1,1) (Ⅱ)f(x)的为奇函数,理由如下 由(1)知定义域关于原点对称, f(﹣x)=log2 =﹣log2 =﹣f(x) ,

∴f(x)的为奇函数 (Ⅲ)∵f(x)>0 即 log2 ∴ >0=log21 >1,

解得 0<x<1, 故 x 的取值范围为(0,1) . 点评: 本题主要考查了函数的定义域奇偶性以及单调性以及不等式的解法,属于基础题. 20. (10 分)某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需 增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)= 其中 x 是仪

器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数; (2) 当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润是多少元? (总收益=总成本+利润. )

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (1)先设月产量为 x 台,写出总成本进而得出利润函数的解析式; (2)分两段求出函数的最大值:当 0≤x≤400 时,和当 x>400 时,最后得出当月产量为多少 台时,公司所获利润最大及最大利润即可. 解答: 解: (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20000+100x, 从而利润

(2)当 0≤x≤400 时,f(x)=



所以当 x=300 时,有最大值 25000; 当 x>400 时,f(x)=60000﹣100x 是减函数, 所以 f(x)=60000﹣100×400<25000. 所以当 x=300 时,有最大值 25000, 即当月产量为 300 台时,公司所获利润最大,最大利润是 25000 元. 点评: 函数模型为分段函数,求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取 各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值. 21. (10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. (1)求 x>0 时,函数 f(x)的解析式; (2)讨论函数 g(x)=f(x)﹣a 的零点个数; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣2ax+2,当 x∈,记函数 g(x)的最大值与最小值之差为 M(a) , 求 M(a) . 考点: 函数奇偶性的性质;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 x>0,结合函数的奇偶性,从而得到函数的解析式; (2)画出函数 f(x)的图象,通过读图,得到 g(x)的零点的个数; (3)先求出 g(x)的表达式,求出对称轴,通过讨论对称轴的位置,得到函数 g(x)的最 值,从而求出 M(a)的表达式. 解答: 解: (1)设 x>0,则﹣x<0, 2 ∴f(﹣x)=x ﹣2x, ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴x>0 时,f(x)=x ﹣2x; (2)由(1)得:f(x)= 画出函数 f(x)的图象,如图示: ,
2 2

, ∴当 a<﹣1 时,g(x)无零点, 当 a=﹣1 时,g(x)有 2 个零点, 当﹣1<a<0 时,g(x)有 4 个零点, 当 a=0 时,g(x)有 3 个零点, 当 a>0 时,g(x)有 2 个零点; (3)当 x∈,f(x)=x ﹣2x, 2 ∴g(x)=f(x)﹣2ax+2=x ﹣2(a+1)x+2, 对称轴 x=a+1,g(1)=﹣2a+1,g(2)=﹣4a+2, ①a+1≤1,即 a≤0 时,g(x)在递增, ∴g(2)最大,g(1)最小, ∴M(a)=g(2)﹣g(1)=﹣2a+1, ②1 <a+1< ,即 0<a< 时,g(x)在递增, ∴g(2)最大,g(a+1)最小, ∴M(a)=g(2)﹣g(a+1)=a ﹣2a+1, ③ ≤a+1<2,即 ≤a<1 时,g(x)在递增, ∴g(1)最大,g(a+1)最小, 2 ∴M(a)=g(1)﹣g(a+1)=a , ④a+1≥2,即 a≥1 时,g(x)在递减, ∴g(1)最大,g(2)最小, 2 ∴M(a)=g(1)﹣g(2)=﹣a ﹣2a+1,
2 2

综上:M(a)=



点评: 本题考查了求函数的基础上问题, 考查了函数的奇偶性问题, 考查了函数的单调性 问题,函数的最值问题,是一道中档题.


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