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2006年广州市高二数学竞赛试卷


2006 年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试卷

题 得

号 分



二 (11) (12)

三 (13) (14) (15)





评卷员

考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不

准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分。
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内.

(1) F1 , F2 是椭圆 C : (A) 1 个

x2 y 2 ? ? 1 的焦点,在 C 上满足 PF1 ? PF2 的点 P 的个数为( 8 4
(B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个



(2)已知实数集合 A 满足条件:若 a ? A ,则 为( (A) 1 ) (B) ?1 (C)
2

1? a ? A ,则集合 A 中所有元素的乘积的值 1? a
?1
(D) 与 a 的取值有关

(3)若 ?ABC 的三边长 a 、 b 、 c 满足 a ? a ? 2b ? 2c ? 0 且 a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,则它 的最大内角的度数是( (A) 150
?


?

(B) 135

(C)

12? 0

(D)

90?

(4)已知定点 A ? 7,8? 和抛物线 y ? 4 x ,动点 B 和 P 分别在 y 轴上和抛物线上,若
2

O B? P B ? 0 (其中 O 为坐标原点) ,则 PB ? PA 的最小值为(
(A) 9 (B) 10 (C)



113

(D)

115

1

、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上. (5)高二数学竞赛获一等奖的人数在 30 到 55 人之间,颁奖 典礼上给获一等奖的学生照 相.按 3 列排,多出 2 人;按 5 列排,多出 4 人;按 7 列排,多出 2 人,则获一等 奖的人数有 人. (6)若函数 f ? x ? 的图像经过点 ? ,1? , ?1,0 ? , ? 2, ?1? ,试写 出两个 满足上述条件的函数的解析式 .. (7)已知点 P?a,b ? 在直线 3x ? 4 y ? 14 ? 0 上,则 为 . 、 .

?1 ? ?2 ?

?a ? 1?2 ? ?b ? 1?2

的最小值

(8)正三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? ?BPC ? ?APC ? 30 , AP ? BP ? CP ?
?

2,


过点 A 作平面分别交 PB 、 PC 于 E 、 F ,则 ?AEF 的周长的最小值为

(9)现代社会对破译密码的要求越来越高,有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分 解,其中英文的 a 、 b 、 c 、…、 z 的 26 个字母(不论大小写)依次对应 1、2、3、…、 26 这 26 个自然数,见表格:

a
1

b
2

c
3

d
4

e
5

f
6

g
7

h
8

i
9

j
10

k
11

l
12

m
13

n
14

o
15

p
16

q
17

r
18

s
19

t
20

u
21

v
22

w
23

x
24

y
25

z
26

? x ?1    1 ? x ? 26,x不能被2整除 ? ? x ? N,  ? ? 2 给出如下一个变换公式: x? ? ? ?x   ? 13   1 ? x ? 26,x能被2整除 ? ? x ? N,  ? ?2
将明文转换成密文,如 6 ?

6 9 ?1 +13=16 即 f 变为 p ; 9 ? =5 即 i 变为 e . 2 2
,密文 gawqj 的明文是 .

按上述规定,明文 good 的密文是

(10)对一切实数 x ,所有的二次函数 f ?x? ? ax ? bx ? c   ?a ? b? 的值均为非负实数,
2



b?a 的最大值是 a?b?c



三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程.
2

(11) (本小题满分 15 分) 已知函数 f ?x? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a ( a 为常数) . (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最小正周期,并指出其单调减区间; (Ⅱ)若函数 f ?x ? 在 ?0, ? 上恰有两个 x 的值满足 f ?x ? ? 2 ,试求实数 a 的取值范

? ?

??
2?

围.

3

(12) (本小题满分 15 分) 如图,点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点且 PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 1 , BC ? 2 . (Ⅰ)求证:平面 PDC ? 平面 PAD ; (Ⅱ)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; (Ⅲ)在 BC 边上是否存在一点 Q ,使得 D 点到平面 PAQ 的距离为 1.若存在,求出

BQ 的值;若不存在,请说明理由.
P E A

D

B

C

4

(13) (本小题满分 20 分) 如图,将一块直角三角形板 ABO 放置于平面直角坐标系中,已知 AB ? BO ? 2 ,

1? ? AB ? OB .点 P?1, ? 是三角板内一点,现因三角板中阴影部分(即△POB)受到 2? ?
损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角板锯成 ?AMN ,设直 线 MN 的斜率为 k . (Ⅰ)试用 k 表示 ?AMN 的面积 S ,并指出 k 的取值范围; (Ⅱ)试求 S 的最大值. y A

M O

P

N B x

5

(14) (本小题满分 20 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,都有 an ? an?1 ? 2n ?1 ,记

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? . a1 a2 an

(Ⅰ)试求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明: Tn ? 2 ; (Ⅲ)令 bn ? 1 ?

n 1 , Bn ? b1b2 …… bn ,试比较 n ?1 与 Bn 的大小. 3 an ?1

6

(15) (本小题满分 20 分) 设定义在 R 上的函数 f ?x? ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e ,当 x ? ?1 时, f ?x ? 取得极大 值

2 ,并且函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点 ?1 ,  0? 对称. 3

(Ⅰ)求 f ?x ? 的表达式; (Ⅱ)试在函数 f ?x ? 的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的 横坐标都在区间 ? ? 2, 2 ? 上;

?

?

2 ?1 ? 3t ? 2t ? 1 (Ⅲ)若 x ? ,y? 2t 3t

. ? t ? R ? ,求证: f ? x ? ? f ? y ? ? 4 3
?

7

2006 年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试题

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分. (1) B (2) A (3) C (4) A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. (5) 44 (6)本小题答案不唯一,只要满足题设条件即为正确答案。例如:

f ? x ? ? log 1 x ,
2

f ? x? ?

2 2 7 x ? 3x ? , 3 3

2?1 ? f ? x? ? ? ? x ? , 3? x ?

f ? x? ?

1 3 ? 16 x ? 7 , 2

?

?

f ? x? ?

2 3 ? 2 ? sin ?? ? 1 x ?? , ? 3 ?3 ?

? ? 1? ?x ? ? ?1   2? ? ? ? ? x ? 1? ? ??2 x ? 2   f ? x? ? ? , f ? x ? ? ?0    ? x ? 1? , ? x ? 1     x ? 1 ? ? ? ? ? ? x ? 2? ??1  ? ? 1 x ?1 f ? x? ? 1 ? 2 2 ? 2? 2x ? 1 f ? x ? ? 9 ? ?16 x 2 ? 136 x ? 39 , 4

?

?

?

?

?

?

, 等等.

(7) 3

(8) 2

(9)dhho, maths 设 b ? a ? k ,则 b ? a ? k .
2
2

(10)

1 3

第(10)题参考解答:

依题意有 b ? a ? 0 , b ? 4ac ,即 ? a ? k ?

a ? k?2 ? ? 4ac ,即 c ? . 4a
? k 9a 3k k 2 ? ? 4 2 4a



b?a k ? ? a ? b ? c 2a ? k ? c

k 2a ? k ?

?a ? k ?
4a

2

?

1 1 1 1 ? ? ? . k 9a 3 3 3 3 k 9a 3 2 ? ? ? ? 2 ? ? 4a 4k 2 4 2 4a 4k 2

? k 9a ? ? ? 4a 4k b ? c ? 4a 时取等号. 当且仅当 ? 2 即 a ? k ? ? ?c ? ? 4a ?
8

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分. (11) (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)∵ f ? x ? ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

?? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? a , 6? 2 ?
∴ 最小正周期 T ?

2? ?? , 2

单调递减区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? 3 ? ?

? k ? Z? .
1 ? ? 7? ? ? a ,u ?? , . 2 ?6 6 ? ?

(Ⅱ)令 u ? 2 x ?

?
6

,则 g ? u ? ? sin u ?

要使 g ? u ? 在 ?

? ? 7? ? 上恰有两个 x 的值满足 g ? u ? ? 2 , , ?6 6 ? ?

? ?? ? ?g ? 6 ? ? 2 1 ? ? ? ? a ? 1. 则? ,解得 2 ? ? ? ?g ? ??2 ? ? ?2?

(12) (本小题满分 15 分) 解法一: (Ⅰ)因 PA ? 平面 ABCD , PA ? 面 PAD ,故面 PAD ? 面 ABCD . 因四边形 ABCD 是矩形,故 CD ? AD . 因面 PAD 面 ABCD ? AD ,故 CD ? 面 PAD .

因 CD ? 面 PCD ,故平面 PDC ? 平面 PAD . (Ⅱ)取 CD 中点 F ,连结 AF 、 EF . 因 E 是 PD 的中点,故 EF // PC . 所以 ? AEF 或它的补角是 AE 与 PC 所成的角. 易得 EF ?

17 6 5 , AE ? , AF ? , 2 2 2

9

? 6 ? ? 5 ? ? 17 ? ? ? ?? ? ?? ? 2 2 2 ? 30 ? ? ? ? ? ?? 故 cos ?AEF ? . 10 6 5 2? ? 2 2
故 AE 与 PC 所成角的余弦值为

2

2

2

30 . 10

(Ⅲ)假设 Q 点存在,过点 D 作 DG ? AQ 于 G , 因为面 PAQ ? 面 ABCD ,面 PAQ 所以 DG ? 面 PAQ ,即 DG ? 1 . 如图,易知 ?DAG ? ?AQB ? 30? , 则 BQ ? 3 . 面 ABCD ? AQ , A 1 B 2 D

G
G Q

1 C

故存在一点 Q ,当 BQ ? 3 时使点 D 到平面 PAQ 的距离为 1. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以 A 为原点,AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系, ∵ PA ? AB ? 1 , BC ? 2 , ∴ A? 0,0,0? , B ?1,0,0 ? ,C ?1,2,0? , D ? 0, 2,0? ,

1? ? P ? 0,0,1? , E ? 0,1, ? . 2? ?
∵ AE ? ? 0,1,

? ?

1? ? , PC ? ?1, 2, ?1? , 2?
AE PC AE ? PC ? 30 , 10

z P E A

由 cos AE , PC ?

∴ AE 与 PC 所 成 角 的 余 弦 值 为

D

y

30 . 10

……10 分 x

B

Q

C

(Ⅲ)假设存在点 Q ?1, a,0? 符合条件,则

AP ? ? 0,0,1? , AQ ? ?1, a,0 ? .
又设平面 PAQ 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

10

由?

?n AP ? 0, ? ? ?n AQ ? 0.

即?

? z ? 0, 取 y ? ?1 , ? x ? ay ? 0.

则 n ? ? a, ?1,0? 是平面 PAQ 的一个法向量.

由题意有

AD n n

? 1 ,即

2 a2 ? 1

? 1 ,解得 a ? 3 .

故存在一点 Q ,当 BQ ? 3 时使点 D 到平面 PAQ 的距离为 1. (13) (本小题满分 20 分) 解: (Ⅰ) MN : y ? k ? x ? 1? ?

1 , OA : y ? x , 2 1 ?1 ? ?k ?k ? ? 1? ? 解得 N ? 2, k ? ? , M ? 2 ,2 ?. 2? 1 ? k 1? k ? ? ? ? ?
3 ? k , AM ? 2

于是 AN ?

?3 ? 2? ?k? ?2 ?. 1? k

?3 ? 2? ?k? 2 1 1 ?3 2 ? 3 ? 2k ? 2 ? ? ? ? 所以 S ? AN AM sin 45 ? ? ? ? k ? ? . ? ? 2 2 ?2 1? k 2 8 ?1 ? k ? ?
易知 ?

1 1 ?k? , 2 2
2

? 3 ? 2k ? 故S ? 8 ?1 ? k ?
(Ⅱ) S ? ?

,??

1? ? 1 ? k ? ?. 2? ? 2

? 3 ? 2k ?? 2k ? 1? , 2 8 ?1 ? k ?
1 3 或 k ? 时, S ? f ? k ? 取得极值. 2 2

所以当 k ? 因为当 ?

1 1 ? 1 1? ? k ? 时, S ? ? 0 ,故 S ? f ? k ? 在 ? ? , ? 上是减函数. 2 2 ? 2 2? 1 4 时, S 取得最大值 . 2 3

所以当 k ? ?

11

(14) (本小题满分 20 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,

a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1, a3 ? a2 ? 2 ? 3 ? 1,    an ? an ?1 ? 2 ? n ? 1.
各式相加得 an ? a1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 求得 an ? n2 . 又当 n ? 1 时, a1 ? 1 满足上式,故 an ? n2 . (Ⅱ) Tn ? 1 ?

? n? ? ? n ?1? ,

1 1 ? ? 22 32

?

1 n2

? 1?

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

?

1 ? n ? 1? ? n
1 1 1 ? ? 2 ? ? 2. n ?1 n n

1 1 1 ? 1?1? ? ? ? 2 2 3
(Ⅲ) bn ? 1 ?

?

1

? n ? 1?

2

?

n ? n ? 2?

? n ? 1?

2



Bn ?

1? 3 2 ? 4 3 ? 5 ? 2 ? 2 22 3 4

n ? n ? 2?

? n ? 1?

2

?

n?2 , 2 ? n ? 1?

n 3 ? 1 ? ? Bn ; n ?1 3 4 n 2 当 n ? 2 时, n ?1 ? ? Bn ; 3 3 n 1 5 当 n ? 3 时, n ?1 ? ? ? Bn ; 3 3 8 n 猜想当 n ? 3 时, n ?1 ? Bn . 3
当 n ? 1 时, 以下用数学归纳法证明: ①当 n ? 3 时,左边 ?

n 1 5 ? ? ? Bn ? 右边,命题成立. n ?1 3 3 8
k ?1 k ? 2 k k ?2 ? Bk ? ,即 k ?1 ? . k ?1 3 2k 3 2 ? k ? 1?

②假设当 n ? k ? k ? 3? 时, 当 n ? k ? 1 时,

k ?1 1 k ?1 1 k ? 2 k ? 3 ? ? k ?1 ? ? ? 3k 3 3 3 2k 6k

?

k ?3 k ?3 ? ? Bk ?1 ,命题成立. 2 ? k ? 2k ? 2 ? k ? 2 ?
12

故当 n ? 3 时,

n 3n ?1

? Bn . n

综上所述,当 n ? 1 时,

? Bn , 3n ?1 n 当 n ? 2 时, n ?1 ? Bn , 3 n 当 n ? 3 时, n ?1 ? Bn . 3

(15) (本小题满分 20 分) 解: (Ⅰ)因 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点 ?1 ,  0? 对称, 故 y ? f ? x ? 的图象关于原点 ? 0,  0? 对称. 故 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,易得 a ? c ? e ? 0 , 因为 x ? ?1 时, f ?x ? 有极值,所以 x ? 1 时, f ?x ? 也有极值. 故 f ? x ? ? bx ? dx .
3

∴ f ? ? x ? ? 3bx ? d ? 3b ? x ?1?? x ?1? ? 3bx ? 3b ,
2 2

于是 d ? ?3b .

2 2 得 ?b ? d ? , 3 3 1 由此解得 b ? , d ? ?1 , 3 1 3 ∴ f ? x? ? x ? x . 3
又由 f ? ?1? ? (Ⅱ)设这两个切点分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,并且 x1 ? x2 ,

f ? ? x ? ? x 2 ? 1,
2 2 依题意有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? ?1

?

??

?

…… (*)

因 x1 , x2 ? 1 且 x1 ?
2 2 故 x1 ? 2,  x2   ? 2.

2,    x2 ? 2 ,

由(*)式得 x1 ? 1 ?
2

1 1 ? 2 ,即 2 ?1 ? 0 . x ?1 x2 ? 1
2 2



2 x2 2 ? 0 ,解得 x2 ? 1 或 x2 ? 0 . 2 x2 ?1

13

2 同理可得 x1 ? 1 或 x1 ? 0 . 2 2 又因为当 x1 ? 1 与 x2 ? 1 同时成立时与(*)式矛盾,

所以 x1 ? 0 或 x2 ? 0 .

?x ? 2 ? x1 ? ? 2 ? x1 ? 0 ? 2 ? x2 ? 0 ? 故? ,? 或 , . ? ? 2 2 y ? 0 ? y1 ? 0 ? y2 ? ? ? 2 y ? ? 1 3 3 ? ?
即所求的两点为 ? 0, 0 ? , ? 2, ? (Ⅲ)∵ f ? ? x ? ? x ?1,
2

? ? ?

? 2? 2? 或 ? 0, 0 ? , ? ? 2, ? ?. ? ? 3 ? 3 ? ? ?

故当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? ,

f ? x ? 的单调递减区间为 ? ?1,1? .
因x?

2t ? 1 1 ? 1 ? t ? ? 0,1? , t 2 2

故 f ?1? ? f ? x ? ? f ? 0? . 即?

2 2 ? f ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? ? ; 3 3

因y?

2 ?1 ? 3t ? 3
t

?1 ? ? 2 ? t ? 1? ? ? 2,0 , ?3 ?

?

?

f ? 2 ?

?

?

2 2 , f ? 0? ? 0 , f ? ?1? ? , 3 3

故 0 ? f ? y? ?

2 2 ,故 f ? y ? ? . 3 3 2 2 4 ? ? . 3 3 3

故 f ? x? ? f ? y? ? f ? x? ? f ? y? ?

14


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