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高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]


高中数学三角常见习题类型及解法 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因 此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单 调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注 重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的 应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换的所有公式,

理解每个公式的意义,应用特点,常规使 用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应 用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应 用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研 究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形 状、特点,并会用五点画出函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;理解图象平移变换、伸缩 变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化. 二、 高考考点分析

主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分,我认为有以 下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质 的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方 公式逆用、切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单 调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值 域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1) 常值代换: 特别是用 “1” 的代换, 如 1=cos2θ +sin2θ =tanx· cotx=tan45° 等。 ( 2 ) 项 的 分 拆 与 角 的 配 凑 。 如 分 拆 项 : ??? sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α =(α +β )-β ,β = 2 ??? - 等。 2 (3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。
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(4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在 b 象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 确定。 a 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为 同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单 调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 题型(1)求值: 例:已知 tan? ? 2 ,求(1) 值.
cos ? ? sin ? ; (2) sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? 的 cos ? ? sin ?

sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、 切互化,就会使解题过程简化。 题型(2)值域,周期,对称,平移,单调区间等 1?
例:求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。
π 解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4 1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4
-95-

1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4

例:已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
π 对称。 8

解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)
? 2 s i nx2? 2 co x s?2 π 2 2xs ? in(2 4 )

(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,
π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2)证明:欲证明函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称,只要证明对任意 x ? R ,有 8 π π f (? ? x) ? f ( ? ? x) 成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8

所以,当 2 x ?

例:已知函数 f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx+2cos2x,x ? R.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈ R)的图象经过怎样的变换得到?
【解析】:(1) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
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? f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2
? 2k? ?

?
2

6

,k ? Z,

即 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
(2)先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 得到 y ? sin(2 x ?

?
6

? 个单位长度, 12
3 个单位长度, 2

) 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移

就得到 y ? sin(2 x ?

?

3 ) ? 的图象? 6 2

例: 已知函数 y=

1 3 cos2x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; ( 2)该函数的图像可由 y=sinx(x ∈R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得

到? 解: (1)y= +1
1 5 1 5 ? ? 3 cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 4 6 6 4 1 5 ? = sin(2x+ )+ 2 4 6 1 1 1 3 3 cos2x+ sinx·cosx+1= (2cos2x-1)+ + (2sinx·cosx) 2 4 4 4 2

=

? ? ? = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6 (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ? ? (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6
所以 y 取最大值时,只需 2x+ (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 数 y=sin(2x+

? )的图像; 6

1 倍(纵坐标不变) ,得到函 2

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的
-97-

1 倍(横坐标不变) ,得到函 2

数 y=

1 ? sin(2x+ )的图像; 2 6

(iv)把得到的图像向上平移 图像。

5 1 5 ? 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的 4 2 4 6

1 3 cos2x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2 说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的 图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后

综上得到 y=

最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三 项式。本题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时, 1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? t an x 2 2 2 y= 2 +1= +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? t an2 x 化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0 3 7 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ≤y≤ 4 4 7 ? ∴ymax= ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + ,k∈Z} 4 6 题型(3)通过已知条件求解析式 ? 例:已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? )的图象与 x 轴的交点 2 ? 2? , ?2) . 中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 2 3 ? ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ )当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 【解析】 : (1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? 2 2 2 T ? 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? 2 x ? ?[ , ] (2)? x ? [ , ],      12 2 6 3 6
-98-

? ? ? ? 7? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2]
当 2x ?

2

题型(4)正弦,余弦的综合题 例:在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及
cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ? ? ,有 , cos B b cos B sin B cos C 3a ? c ? , cos B b

即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 ,
1 2 2 所以 cos B ? ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 。 3 3 2 (2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ? ac ? 32 ,又 a ? c , 3 4 2 所以有 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 3 1 1 S ? ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2 ??? ? ???? ??? ? ???? 2 例:在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小。
解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c 由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ? ????

??? ? ????

3 2

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ? ????

3 4

-99-

所以 sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 ? C) ? sin C ) ? 6 4 2 2 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? ? 5? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 3 6 6 3 3 ? 2? ? ? ,故 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 6 3 3 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3
题型(5)向量综合题 ? ? ? ? ? 例 7.已知向量 a ? (2cos α,2 sin α),b= (? sin α, cos α),x ? a ? (t 2 ? 3)b,
? ? ? ? ? y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,

(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式;
, 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 (2)若 t ? [?1

? ? ? ? ? ? 解:(1) a 2 ? 4 , b 2 ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 x ? y ? [a ? (t 2 ? 3)b ] ? (?ka ? b ) ? ?ka 2 ? (t 2 ? 3)b 2 ? [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b ? 0 ,
1 3 1 3 所以 k ? t 3 ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t 2 ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4 4

t
f (t ) 导数 f (t )

-1 0 极大值

(-1,1) - 递减

1 0 极小值

(1,3) + 递增

1 1 9 9 1 而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ? 。 2 2 2 2 2

-100-

? ? ? ? 2 5 例:已知向量 a ? (cos α, , sin α),b = (cos β, sin β ), | a ? b |? 5

(1) 求 cos(α ? β ) 的值;
π π 5 ? ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 (2) (2)若 0 ? α ? , 2 2 13 ? ? 解:(1)因为 a ? (cos α, sin α),b= (cos β, sin β),

? ? 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, sin α ? sin β),
2 5 ? ? 2 5 又因为 | a ? b |? ,所以 (cos α ? cos β )2 ? (sin α ? sin β )2 ? , 5 5
4 3 cos(α ? β ) ? ; 即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? , 5 5 π π ? ? β ? 0, 0?α? β ?π, (2) 0 ? α ? , 2 2 3 4 又因为 cos(α ? β ) ? ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 63 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? ? 13 13 65 ? ? 例:平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [? , ] 4 4 (1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (2) 求 ? 的最值.

解: (1)? OP ? OQ ?

OP ? OQ ? cos? ,

? cos x ? cos x ? (1 ? cos2 x) cos? 2 cos x ? cos? ? 1 ? cos2 x 2 cos x f ( x) ? 即 1 ? cos 2 x 2 (2)? cos? ? , 又 1 cos x ? cos x 2 2 ? cos? ? [ ,1] , 3

) 4 4 1 3 2 cos x ? ? [2, ], cos x 2

(?

?

?x?

?

?? min ? 0 ,
-101-

? max ? arccos

2 2 . 3

例 : 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角 A .
? m ? 2 s iB n? ,

B . C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量
2

?

? ? 3 ? ? cos 2 B, 2cos ? ,n ?

? ? B ? ? 1 ? ,且 m / / n ? 2 ?

(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值?
【解析】:(1) m / / n ?

?

?

B 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B 2

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵ 0<2B<π,∴ 2B= ,∴ 锐角 B= 3 3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B= 或 3 6

π ① 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

∴ △ ABC 的面积最大值为 3 5π ② 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ ac≤4(2- 3) ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= 1 1 acsinB= ac≤ 2- 3 2 4

说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。 题型(6)三角实际应用
例:甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向作匀速直线航行,速度为 15 2 浬/小时,在甲船从 A 岛 出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 浬处的 B 岛出发,朝北偏东 θ(? ? arctg 1 ) 的方向作匀速直线
2

航行,速度为 10

5 浬/小时.(如图所示)

(Ⅰ )求出发后 3 小时两船相距多少浬? (Ⅱ )求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬? 【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1, y1) Q (x2,y2).
-102-

? x ? 15 2t cos 45? ? 15t 则? 1 ?? 2分 ? y1 ? x1 ? 15t 1 2 5 5 由? ? arctg 可得, cos? ? , sin ? ? , 2 5 5
x 2 ? 10 5t sin ? ? 10t y 2 ? 10 5t cos? ? 40 ? 20t ? 40???? 5分

(I)令 t ? 3 ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
| PQ |? (45 ? 30) 2 ? (45 ? 20) 2 ? 850 ? 5 34 .

即两船出发后 3 小时时,相距 5 34 锂 (II)由(I)的解法过程易知:
| PQ |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (10t ? 15t ) 2 ? (20t ? 40 ? 15t ) 2 ??10分 ? 50t 2 ? 400t ? 1600 ? 50(t ? 4) 2 ? 800 ? 20 2

∴ 当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 即两船出发 4 小时时,相距 20

2

2 海里为两船最近距离.

例:在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水
域.。点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A。.某时刻测得一艘匀速直线 行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B, 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? ( 其中 sin ? =
? ?

26 , 26

0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C.
(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
-103-



(I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0 < ? < 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
? ?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y1), C(x2,y2) ,BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2 ? AC cos ?CAD ? 10 13 cos(45? ? ? ) ? 30 , y2 ? AC sin ?CAD ? 10 13sin(45? ?? ) ? 20
所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2, 10

直线 l 的方程为 y=2x-40. 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

-104-


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