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江苏省盐城中学2015-2016学年高一下学期第一次阶段练习数学试卷


盐城中学高一年级阶段练习(2016.3.26) 数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上. 1. 1 ? 2 与 1 ? 2 的等差中项是 ▲ .1 2. 若 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 a, b, c , sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 , 则 a : b : c ? ▲ .5:7:8 3. 等比数列 {an } 中,已知 a1 =1 , a4 ? 27 ,则 a3 ? ▲ .9 4. 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 所对的边, a ? 4, A ? 30? , B ? 60? , 则 b 等于 ▲ .4 3
*

14. 在 ?ABC 中,点 D 在线段 AB 上,且 AD ? 2 DB , CA : CD : CB ? 3 : m : 2 ,则实数 m 的 取值范围 ▲ .? , ?

?1 7? ?3 3?

解相邻三角形问题或用向量方法处理 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题纸的指定区域内. 15. 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.
?a1 ? 3 ?a1 ? d ? 4 ,解得 ? ?d ? 1 ??a1 ? 3d ? ? ?a1 ? 6d ? ? 15

5. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? 1 ( n ? N ) ,则 a4 ? ▲ . 60 ?



.54

2 2 2 6. 在 ?ABC 中 ,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,且 c ? a ? b ? ab ,则角 C ?

答: (1)设公差为 d ,则 ? 所以 an ? n ? 2 (2) bn ? 2
an ?2

7. 已 知 四 个 正 数 1 , x , y , 3 中 , 前 三 个 数 成 等 比 数 列 , 后 三 个 数 成 等 差 数 列 , 则

x? y=



15 4


? n ? 2n ? n
1 2 10

8. 设公差不为零的等差数列 {an } ,a1 ? 1 ,a 2 , a 4 , a5 成等比数列, 则公差 d ? 9.在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A 、 B 、C 所对的边, A ?

?
3

1 .? 5

?b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 2 ? ??? ? 2

? ? ?1? 2 ? ??? ? 10?
??

2 ?1 ? 210 ? 10 ?1 ? 10? ? ? 1? 2 2

? 2101

,a ?

3 ,c ? 1 ,则 ?ABC

16. ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (a, 3b) , n ? (sin B,? cos A) , 且m?n ? 0. (1)求 A ; (2)若 a ?

的面积是





3 2
2

10. 已知各项不为 0 的等差数列{an}, 满足 a3 ? a7 ? a11 ? 0 , 前 13 项和 S13 ? 11. 在 ?ABC 中, 已知 CB ? 7, AC ? 8, AB ? 9 ,则 AC 边上的中线的长为 ▲



. 26 .7

7 3 3 ,求 b ? c 的值. , ?ABC 的面积为 2 2

答: (1)? m ? n ? 0 ,? a sin B ? 3b cos A ? 0 ,由正弦定理知

12. 已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 8 ,令 bn ? log2 an , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,若 S3 是数 列 ?Sn ? 中的唯一最大项,则 ?an ? 的公比 q 的取值范围是
2

sin Asin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,又 sin B ? 0
? tan A ? 3 ,? A ? ?0 , ? ?
(2)? ?ABC 的面积 S ?



? 2 1? ? .? ? 4 ,2? ? ?

?A?

?
3

13. 若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点, 且 a, b, ?2 这三个数 可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于 ▲ .9

3 1 ? 3 ,又 S ?ABC ? bc sin A , A ? ,? bc ? 6 2 2 3 7 11 2 ?b ? c ? . 由余弦定理得:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ?b ? c? ? 3bc ,又 a ? ,bc ? 6 , 2 2

17. 如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB ,其中 O 为扇形所在圆的圆心,半径为 R , ?AOB ? 60? , 广场管理部门欲在绿地上修建观光小路: 在弧 AB 上选一点 C , 过 C 修建与 OB 平行的小路 CD ,与 OA 平行的小路 CE ,设 ?COA ? ? , (1)当 ? ? 45 时,求 CD ;
?

(2)? B ? ? 0 ,

? ?

2? ? ? ? ? 5? ? ?? 1 ?? 2 2 ? ? ? sin? B ? ? ? ? ?B ? ?? , ? ,? cos? B ? ? ? 3 ? 6 ?6 6 ? 6? 3 6? 3 ? ?

B E C

(2) ? 为何值时,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长最 大,并说明理由. 答: ( 1 )在 ?COD 中, ?COD ? 45? , ?ODC ? 120 ? ,

?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? sin A ? sin ?B ? C ? ? sin ? B ? ? ? sin ?? B ? ? ? ? ? sin ? B ? ? cos ? cos? B ? ? sin 3? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 ? ? ? ?? ? 2 6 ?1 6
2

OC ? R
由正弦定理得:

(3)? ?a ? b? ? c 2 ? 4 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 4 ,由余弦定理知 2ab cos C ? 2ab ? 4

CD OC ? sin ?COD sin ?ODC

O

D

A

?C ?

?
3

? ab ? 4 ?b b

4 3

即a ? ?b ? 0

4 3b ? ?3a ? b ?min ? 4 1 为首项的等比数列,且 2

? CD ?

6 R 3
2 3 2 3 R sin ?60? ? ? ? R sin ? , OD ? 3 3

? 3a ? b ?

19. 已知数列 {an } 通项公式 an ? 2n ,其前 n 项和 S n ,数列 ?bn ? 是以

(2)在 ?COD 中,由正弦定理得: CD ?

b1b2 b3 ?

? CD ? CE ? CD ? OD ?
即 CD ? CE ?

? 2 3 2 3 2 3 ?1 3 ? R sin ? ? R sin ?60? ? ? ? ? R? sin ? ? cos ? ? 3 3 3 ? 2 2 ? ?

1 . 64

(1) 求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)记 C n ?

1 1 1 ,求 C n ; ? ? ??? ? S1 S 2 Sn
?

?? ? ?0? , 60?? ,?? ? 60? ? ?60? , 120??
所以,当 ? ? 30? 时,CD 与 CE 的总长最大,最大值为

2 3 R sin ?? ? 60?? 3

(3) 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn ,若对任意 n ? N 不等式 C n ? 值范围.

1 1 t ? Tn 恒成立,求 t 的取 4 2

2 3 R. 3
tan C 2a ? , tan B b

18. 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 所对的边, 1 ? (1) 求角 C 的大小; (2)若 cos( B ?
2 2

?1? 答: (1) bn ? ? ? ?2?

n

(4 分)

?

(2)? an ? 2n , ? an?1 ? an ? 2 ,数列 {an } 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,

1 ) ? , 求 sin A 的值; 6 3

? Sn ?

(3)若 (a ? b) ? c ? 4 ,求 3a ? b 的最小值;

n?2 ? 2n ? ? n?n ? 1? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? S n n?n ? 1? n n ? 1

tan C 2a sin C cos B 2 sin A sin C cos B ? cos C sin B 2 sin A ? ? ? 知: 1 ? ,即 tan B b cos C sin B sin B cos C sin B sin B sin A 2 sin A 1 ? ? , ? 在 ?ABC 中, sin A ? 0 , sin B ? 0 ,? cos C ? cos C sin B sin B 2
答: (1) 由1 ?

? Cn ?

1 1 1 ? 1? ? 1 1? 1 ? 1 n ?1 (9 分) ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? S1 S 2 Sn ? 2 ? ? 2 3 ? n ?1 n ?1 ? n n ? 1?
n

? C ? ?0 , ? ?

?C ?

?

1 ?1? 1 1 (3)? Tn ? 1 ? ? ? , C n ? 1 ? , C n ? t ? Tn n ?1 4 2 ?2?

3

1 1 1 ?1? ?1 ? ? t ? ?? ? n ?1 4 2 ?2?

n ?1



1 3 1 1 t ? ? n ?1 ? 4 2 2 n ?1

(3)? bn ?1 ?

an ? cn 2

? 2bn ?1 ? c n ? a n

3 1 1 * ? ? n ?1 ? 对 n ? N 递增 2 2 n ?1

? M n ? 2S n?1 ? Tn ? ?2bn?1 ? cn ? ? ?2bn ? cn?1 ? ? ? ? ? ? ?2b2 ? c1 ? ? 2b1 ? an ? an?1 ? ? ? ? ? a1 ? 2
①若 a ? 1 ,则 M n 显然不满足条件; (16 分)
1

1 1 ? 3 ?3 ? ? ? n?1 ? ? ? n ? 1 ? min 4 ?2 2
1 3 ? t? 4 4
20. 即 t 的取值范围为 ?? ?,3?

②若 0 ? a ? 1 ,则 M n ?

设 数 列

?an ?,?bn?,?cn?

满 足 a1 ? , a

b? 1 , 1c? 对 3 ,于 任 意 n ? N * , 有

a 1? an 5 a 1? an 1 ? 2 ? ,即 ? 对任意 n ? N * 恒成立,所以 1- a 2 1- a 2

?

?

?

?

bn ?1 ?

an ? cn a ?b , cn ?1 ? n n . 2 2

a 1 1 ? ,即 0 ? a ? ; 1- a 2 3
③若 ? 1 ? a ? 0 ,则

(1)求证数列 {cn ? bn } 为等比数列; (2)若数列 ?an ? 和 ?cn ? bn ? 都是常数列,求实数 a 的值; ( 3)若数列 ?an ? 是公比为 a 的等比数列,记数列 ?bn ? 和 ?cn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,记

a 1? an a ?1 ? a n ? 5 ? 2 ? 恒成立; ? 0 ,所以 M n ? 1- a 2 1- a
a 1? an a 1? an ? ?1 , n 为 偶 数 时 , ?0 ,所以 1- a 1- a

?

?

④ 若 a ? ?1 , 则 n 为 奇 数 时 ,

?

?

?

?

M n ? 2Sn?1 ? Tn ,求使 M n ?
答: (1)? c n ?1 ? bn ?1 ?

5 * 对任意 n ? N 恒成立的 a 的取值范围. 2

a 1? an 5 Mn ? ? 2 ? 恒成立; 1- a 2
⑤若 a ? ?1 ,则 n 为偶数时, M n ?

?

?

a n ? bn a n ? cn bn ? c n 1 ? ? ? ? ?cn ? bn ? , (要交待 ? cn ? bn ? ? 0 ) 2 2 2 2

a 1? an ? 2 ? ?? 不满足条件; 1- a
1 . (16 分) 3

?

?

c ?b 1 ? n?1 n?1 ? ? cn ? bn 2
(4 分) (2)? bn ?1 ?

1 又 c1 ? b1 ? 2 ,? 数列 {cn ? bn } 是首项为 2,公比为 ? 的等比数列. 2

综上,所求 a 的取值范围为 ? 1 ? a ? 0 或 0 ? a ?

an ? cn a ?b 1 , cn ?1 ? n n ,?b n ?1 ?c n ?1 ? a n ? ?b n ?c n ? 2 2 2

? 数列 ?an ? 和 ?cn ? bn ? 都是常数列
?4 ? a ? 4 2

? an ? a1 ? a , cn ? bn ? c1 ? b1 ? 4
1 ?b n ?cn ?, 2

即 a ? 2 .检验当 a ? 2 时,?b n ?1 ?c n ?1 ? 2 ?

?b n ?1 ?c n ?1 ? 4 ?

1 ?b n ?cn ? 4?, 而 b1 ? c1 ? 4 ? 0 ,所以由上述递推关系可得,当 n ? N* 时, 2

(不检验扣 2 分) (8 分) bn ? cn ? 4 ? 0 恒成立,所以 ?cn ? bn ? 都是常数列.



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