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【跃渊风暴】【恒心】数学高考满分冲刺-填空题的解法与技巧题型突破


考前冲刺篇 题型突破 一、填空题的解法与技巧 题型精点解读 填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思 维能力和分析问题、解决问题的能力.填空题只要求直接 填写结果,不必写出计算或推理过程,其结果必须是数值 准确、形式规范、表达式(数)最简. 填空题的主要特征是题目小、跨度大,知识覆盖面广,形式 灵活,突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的 能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口,出 现了一些创新题,如阅读理解型、发散开放型、多项选择 型、实际应用型等,这些题型的出现,使解填空题的要求 更高、更严了.

方法应用示例
方法一 直接法 直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、 法则等知识,通过变形、推理、计算等,得出正确结论,使用 此法时,要善于透过现象看本质,自觉地、有意识地采用灵活、 简捷的解法.

例 1 在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}的 29 -3 前 n 项和 Sn 的最小值为________.

解析 设公差为 d,则 11(-3+4d)=5(-3+7d)-13, 5 ∴d= .∴数列{an}为递增数列. 9 5 令 an≤0,∴-3+(n-1)·≤0, 9 32 ∴n≤ 5 , ∵n∈N*.∴前 6 项均为负值. 29 ∴Sn 的最小值为 S6=- 3 .

变式训练 1 若函数 f(x)=m+loga(x-3)的图象恒过点(4,4), 则 mx+ 2 g(x)= 2x 的最大值是________. 4 m +4

解析 由已知可得 f(4)=4,故 m+loga1=4,解得 m=4. 4x+2 16×4x 16 4 x x 故 g(x)= 2x = 2x = ,因为 4 >0,所以 4 + x 4 4 4 +4 4 +4 x 4+ x 4 4 4 1 x x ≥2 4 × x=4(当且仅当 4 = x,即 x=log42= 时等号 2 4 4 16 成立),所以 g(x)≤ =4,即 g(x)的最大值为 4.故填 4. 4

方法二

特殊值法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯 一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题 中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数, 特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊 模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推 理、论证的过程.

例 2 过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, 1 1 Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p,q,则 + 为___. p q 4a 解析 若用常规方法,运算量很大, 1 不妨设 PQ∥x 轴,则 p=q= , 2a 1 1 ∴ + =4a. p q

变式训练 2 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 4 cos A+cos C c,如果 a、b、c 成等差数列,则 =________. 5 1+cos Acos C 解析 方法一 取特殊值 a=3,b=4,c=5, cos A+cos C 4 4 则 cos A=5,cos C=0, = . 1+cos Acos C 5

方法二 取特殊角 A=B=C=60° , 1 cos A+cos C 4 cos A=cos C= 2, =5. 1+cos Acos C

方法三

数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的特点, 作出符合题意的图形,做到数中思形,以形助数,并通过对图 形的直观分析、判断,则往往可以简捷地得出正确的结果.

πx 例 3 当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 成立,则实数 k 的取值 2 范围是________. k≤1

πx π 解析 ∵0≤x≤1,∴0≤ ≤ . 2 2 πx 则函数 y1=sin (0≤x≤1)的图象如图 2 πx 所示.要使不等式 sin 2 ≥kx 在[0,1]上 恒成立,则 k≤1.

变式训练 3

?log x(x>0), ? 2 ? x 已知函数 f(x)= ?3 (x≤0) ?

且关于 x 的方程 f(x)

(1,+∞) +x-a=0 有且只有一个实根,则实数 a 的范围是_________.
解析 方程 f(x)+x-a=0 的实根 也就是函数 y=f(x)与 y=a-x 的图 象交点的横坐标,如图所示,作出 两个函数图象,显然当 a≤1 时, 两个函数图象有两个交点,当 a>1 时,两个函数图象的交点只有一个.所以实数 a 的范围是 (1,+∞).

方法四

构造法

构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性构造 出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学 问题得到简捷地解决, 它来源于对基础知识和基本方法的积累, 需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比, 从曾经遇到过的类似的问题中寻找灵感,构造出相应的函数、 概率、几何体等具体的数学模型,使问题快速解决.

例 4 已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直 的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.

①②④ 在上面的结论中,正确结论的序号是________(写出所有正
确序号).
解析 用正方体 ABCD-A1B1C1D1 实例说 明 A1D1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相 平行, 1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互 AB 相垂直,BC1 与 DD1 在平面 ABCD 上的射 影是一条直线及其外一点.

变式训练 4 如图,点 P 在正方形 ABCD 所在的 平面外,且 PD⊥面 ABCD,PD=AD,则 PA

60° 与 BD 所成角的度数为________.

解析 根据题意可将此图补成一正方体, 在正方体中易求得 PA 与 BD 所成角为 60° .

方法五

特征分析法

有些问题看似非常复杂,一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特 征,此问题就能迎刃而解.

x2 1 1 例 5 已知函数 f(x)= 2,那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+ 2 3 1+x 7 1 f(4)+f( )=________. 2 4

解析 本题所求的七个函数值最明显的特征是有 3 组自 1 变量互为倒数, 由此不难得出本题应该研究 f(x)+f( )的特 x 1 7 征,代入解析式得 f(x)+f( )=1,故原式=3+f(1)=2. x

变式训练 5 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an=an-1-an-2 (n∈N*,n≥3),则 a2 010=________. -1

解析 由 a1=1,a2=2,an=an-1-an-2,知 a3=1, a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,?, ∴{an}是周期函数,且 T=6. 故 a2 010=a335×6=a6=-1.

仿真模拟演练
x-1 1.设全集 U=R,A={x| >0},?UA=[-1,-n],则 m2 x+m

2 +n2=________.
解析 由?UA=[-1, -n], A=(-∞, 知 -1)∪(-n, +∞), x-1 即不等式 >0 的解集为(-∞,-1)∪(-n,+∞),所以 x+m -n=1,-m=-1,因此 m=1,n=-1,故 m2+n2=2.

2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5·6=9,则 log3a1 a 10 +log3a2+?+log3a10=________.

解析 特殊化法:尽管满足 a5·6=9 的数列有无穷多,但 a 所求结果应唯一, 故只需选取一个满足条件的特殊数列 a5 =a6=3,则公比 q=1 就可以了.原式=log3(3· 3· 3) 3· ?· =log3310=10.

3.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的 通项 an=________. 2n+1-3

解析 由 an+1=2an+3,则有 an+1+3=2(an+3), an+1+3 即 =2. an+3 所以数列{an+3}是以 a1+3 为首项、公比为 2 的等比 数列,即 an+3=4·n-1=2n+1,所以 an=2n+1-3. 2
4.设非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则 cos〈a,

1 - b〉=________. 2

解析 设正三角形△ABC 中,BA=a,AC=b,BC=c,所 以BA与AC的夹角为 120° ,所以 cos〈a,b〉=cos 120° = 1 -2.







→ →

Sn 5.设等差数列{an},{bn}的前 n 项的和分别为 Sn 与 Tn,若 = Tn 2n-1 2n an ,则 =________. 3n-1 bn 3n+1 n(n-1)d 解析 因为等差数列的前 n 项和公式为 Sn=a1n+ 2 d 2 1 = n +(a1- d)n,故可设 Sn=2n· n,Tn=(3n+1)· n,则可 2 2

得 an=4n-2,bn=6n-2, an 4n-2 2n-1 ∴ = = . bn 6n-2 3n-1

6.已知向量 a=(cos θ,sin θ),向量 b=( 3,-1),则|2a-b|

4 的最大值是______.
解析 因|2a|=|b|=2, 故向量 2a 和 b 所对应的点 A、B 都在以原点为圆心,2 为 半径的圆上,从而|2a-b|的几何意义即表示弦 AB 的长, 故|2a-b|的最大值为 4.

x2 y2 7.已知椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 是椭圆上一 9 4 动点,当∠F1PF2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范

3 5 3 5 (- 5 , 5 ) 围是______________.
x2 y2 解析 构造圆 x2+y2=5,与椭圆 9 + 4 =1 联立求得交点 9 3 5 3 5 2 x0=5?x0∈(- 5 , 5 ).

8.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH



→ → → 1 =m(OA+OB+OC),则实数 m=____.
解析 (特殊值法)当∠B=90° 时,△ABC 为直角三角形, O 为 AC 中点.AB、BC 边上高的交点 H 与 B 重合. OA+OB+OC=OB=OH,∴m=1.

→ → → → →

9.已知四面体 ABCD 的一条棱长为 x,其余棱长都为 1,则 x (0, 3) 的取值范围是________.

解析 如图所示,设 AB 边长为 x,固 定△BCD, 让△ACD 绕 CD 转动. 当点 A→B 时,→0; x 当点 A→A1(正△A1CD 与△BCD)共面时,x→ 3.故 x∈(0, 3).

10.(2010· 陕西)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62, 13+23+33+43=102,?,根据上述规律,第五个等式 为__________________________. 13+23+33+43+53+63=212

解析

由前三个式子可以得出如下规律:每个式子等号的

左边是从 1 开始的连续正整数的立方和,且个数依次多 1, 等号的右边是一个正整数的平方,且这个正整数为等式左 边各正整数的和,因此,第五个等式为 13+23+33+43+53 +63=212.

?x-y≤1 ? 11.若关于 x,y 的不等式组?2x+y≥1 ? ax+y≤2 ?
?x-y≤1 ? 不等式组? ?2x+y≥1 ?

表示的平面区域是一

(-1,2) 个三角形,则 a 的取值范围是________.
解析 表示的可

行域如图,动直线 ax+y=2 过定点 A(0,2),则当动直线 ax+y=2 从与直线 2x+y=1 平行的 l1 位置,逆时针绕点 A(0,2)旋转到与 x-y=1 平行的 l2 位置时(不包含直线 l1, ), l2 ?x-y≤1 ? 不等式组?2x+y≥1 ? ax+y≤2 ? 的可行域为三角形,所以动直线 ax

+y=2 的斜率满足:-2<-a<1,则 a∈(-1,2).

12.阅读右面的流程图 若该框图是计算“A4+A5+A6”的 值,那么判断框中应填__________. i<7 或 i≤6

解析 由题知,本框图是求 A4+A5 +A6 的值,则运行第一次有 s=0+ A4,i=4+1=5;运行第二次有 s= A4+A5,i=5+1=6;运行第三次有 s=A4+A5+A6,i=6+1=7;运行 第四次有 s=A4+A5+A6+A7,i=7 +1=8,这时我们发现,当程序运行到第四次的时候不满 足题意, 由此可知判断框内的语句应该是限制 i 的取值的, 故可填 i<7 或 i≤6.

13.设等边△ABC 的边长为 a,P 是△ABC 内任意一点,且 P 到三边 AB、BC、CA 的距离分别为 d1、d2、d3,则有 d1+d2 3 +d3 为定值 a;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设 2 正四面体 ABCD 的棱长为 a,P 是正四面体 ABCD 内任意一 点,且 P 到平面 ABC、平面 ABD、平面 ACD、平面 BCD 的

6 3a 距离分别为 h1、 2、 3、 4, h h h 则有 h1+h2+h3+h4 为定值______.
解析 利用填空题的特点,特殊化,P 若与 A 重合,则 h1+ h2+h3+h4 即为 A 到平面 BCD 的距离,所以 h1+h2+h3+h4 6 为定值 3 a,此外本题也可以利用等体积的方法来求.

x 14.已知 f(x)=x+log2 ,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(8)的值 9-x 为________. 36

x 解析 由于 f(x)=x+log2 , 9-x 9-x x 所以 f(9-x)=9-x+log2 =9-x-log2 , x 9-x 于是有 f(x)+f(9-x)=9. 从而 f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6) =f(4)+f(5)=9. 故原式值为 9×4=36.

15.在△ABC 中,如果 sin A∶sin B∶sin C=5∶6∶8,那么此 1 - 20 三角形最大角的余弦值为______.

解析 由正弦定理得 a∶b∶c=5∶6∶8, 令 a=5,b=6,c=8,则 C 是最大角, a2+b2-c2 25+36-64 1 即 cos C= = =-20. 60 2ab

16.设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x1∈D 存在唯 f(x1)+f(x2) 一的 x2∈D, 使 =C(C 为常数)成立, 则称函数 f(x) 2 在 D 上的均值为 C.下列五个函数:①y=4sin x;②y=x3; ③y=lg x;④y=2x;⑤y=2x-1,则满足在其定义域上均值

②③⑤ 为 2 的所有函数的序号是________.
解析 因为要求函数的均值为 2,所以满足条件的函数的函 数值必须能关于 2 对称,而 y=2x 的值域为(0,+∞),故④ 不符合题意;又 y=4sin x 是周期为 2π 的函数,即若存在任 f(x1)+f(x2) 意的 x1∈D,x2∈D,使 =C(C 为常数)成立,则一 2 f(x1)+f(x3) 定存在 x3=2π+x2∈D, 使 =C(C 为常数)成立, 不 2 满足唯一性,故①不对.
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