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空间中点线面的位置关系


个性化教案

空间中点线面的位置关系
适用学科 适用区域
高中数学 通用 1. 平面的基本性质

适用年级

高中二年级

课时时长 (分钟) 60
2.直线与直线的位置关系 4 .平面与平面的位置关系

知识点
3.直线与平面的位置关系

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1.使学生掌握平面的表示法,点、线与面的关系,有关平面的三个公理, 2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。

教学目标

3.理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; 4.理解 并掌握公理 4; 5.理解并掌握等角定理; 6.能说出空间中直线与平面的位置关系;空间中平面与平面的位置关系。 1. 四个公理的教学是重点 2. 异面直线的概念;

教学重难点
3. 等角定理 4. 空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系

教学过程
一、 复习预习

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考点 1 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

考点 2 公理 4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

考点 3 直线、平面的位置关系 直线在平面内:直线所有点都在平面内 直线与平面相交:直线与平面有且只有一个公共点 直线与平面平行:直线与平面没有公共点 两个平面平行:没有公共点 两个平面相交:有一条公共直线

二、 例题精析
【例题 1】 【题干】 “点 M 在直线 a 上,a 在平面α 内”可表示为( A.M∈a,a∈α C.M?a,a∈α 【例题 2】 【题干】两个平面若有三个公共点,则这两个平面( A.相交 C.相交或重合 D.以上都不对 ) D.M? a,a?α )

B.M∈a,a?α [来源:学科网 ZXXK]

B.重合[来源:学#科#网][来源、

【解析】若三个点在同一直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一直线上,则这两 个平面重合.

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【例题 3】 【题干】如果直线 a?平面α ,直线 b?平面α ,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( A.l?α C.l∩α =M 【例题 4】 【题干】平面α 与平面β ,γ 都相交,则这三个平面的交线可能有( A.1 条或 2 条 C.只有 2 条 【例题 5】 【题干】把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线 上. B.2 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条 ) B.l?α D.l∩α =N )

(1)A?a,a?α ________; (2)α ∩β =a,P?α 且 P?β ________ ; (3)a?α ,a ∩α =A________; (4)α ∩ β =a,α ∩γ =c,β ∩γ =b,a∩b∩c=O________. 【例题 6】 【题干】已知 AB∥PQ,BC ∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR 等于( A.30° C.150° B.30°或 150° D.以上结论都不对 )

三、 课堂运用
【基础】 1.已知异面直线 a,b 分别在平面α ,β内,且α ∩β =c,那么直线 c 一定( A.与 a,b 都相交 B.只能与 a、b 中的一条相交 C.至少与 a、b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 解析:选 C.如图,a ′与 b 异面,但 a′∥c,故 A 错;a 与 b 异面,且都与 c 相交,故 B 错; )

若 a∥c,b∥c,则 a∥b, 与 a,b 异面矛盾,故 D 错.

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2.如果直线 a∥平面α ,那么直线 a 与平面α 内的( A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交

)

3.直线 a∥平面α ,直线 b∥平面α ,则 a 与 b 的位置关系为( A.相交 C.异面 【巩固】 4.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线( A.平行 C.相交 5.下列推断中,错误的是( ) B.异面 D.平行或异面 ) B.平行 D.平行或异面或相交

)

A.A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ?l?α B.A∈α ,A∈β,B∈α ,B∈β ?α ∩β=AB C.l?α ,A∈l?A?α D.A,B,C∈α ,A,B,C∈β ,且 A,B ,C 不共线?α ,β 重合 6.下列命题中,正确的个数是( ) ①梯形的四个顶点在一个平面内; ②四条线段首尾相连构成平面图形; ③一条直线和一 个点确定一个平面;④两个不重合的平面若有公共点,则这些公共点都在一条直线上. A.1 【拔高】 7.在正 方体 ABCD-A1B1C1D1 中,判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)直线 AC1 在平面 CC1B1B 内; (2)设正方形 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心分别为 O,O1,则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的 交线为 OO1; (3)由 A,C1,B1 确定的平面是 ADC1B1; (4)由 A,C1,B1 确定的 平面与由 A、C1、D 确定的平面是同一个平面. B.2 C.3 D.4

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解析 (1 )错误.如图所示,点 A?平面 CC1B1B,所以直线 AC1?平面 CC1B1B.

(2)正确.如图所示. ∵O∈直线 AC?平面 AA1C1C,O∈直线 BD?平面 BB1D1D,O1∈直线 A1C1?平面

AA1C1C,O1∈直线 B1D1?平面 BB1D1D,∴平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1.

[来源:Zxxk.Com] (3)(4)都正确,∵AD∥B1C1 且 AD=B1C1, ∴四边形 AB1C1D 是平行四边形, ∴A,B1,C1,D 共面.

8.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

面对角线 B1D1 与长方体的六个面之间的位置关系如何?

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课程小结
1 概念与性质 ⑴平面的特征和平面的性质(三个公理); ⑵平行公理、等角定理;
?平行 ? ⑶直线与直线的位置关系 ?相交 ?异面 ?
?在平面内 ? ⑷直线与平面的位置关系 ? 相交 ? 平行 ?
?平行 ⑸平面与平面的位置关系 ? ?相交

2 异面直线夹角的求法:平移线段作角,解三角形求角. 3 图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系

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课后作业
【基础】 1.已知点 A,直线 a,平面α ,以下命题表达正确的个数是( ①A∈a,a?α ?A?α ;②A∈a,a∈α ? A∈α ; ③A?a,a?α ?A?α ;④A∈a,a?α ?A?α . A.0 C.2 B.1 D.3 )

答案 A 解析 ①不正确,如 a∩α =A;②不正确,∵“a∈α ”表述错误;③不正确,如图所示,A ?a,a?α ,但 A∈α ;④不正确. “A?α ”表述错误.

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2.如图所示是表示两个相交平面,其中画法正确的是(

)

答案 D 解析依据的是空间图形的画法要求及平面的基本性质. A 不正确, 因为图中没有标出两平面 的交线;B 不正确,在空间图形中,被某一平面遮住的部分应画成虚线或不画;C 不正确, 因为图形要表示两个相交平面,而不是要画两个平面四边形的摆放情况.两个相交平面 必 须相交于一条直线而不是一个点;D 正确.

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3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( A.异面 C.相交 B.平行 D.以上都有可能

)[来源:Z&xx&k.Com]

答案 A 解析

如图所示,长 方体 ABCD-A1B1C1D1 中直线 AD1 在平面 AA1D1D 中,直线 BB1,BC1 分别在平面 BB1C1 C 中但 AD1∥BC1,AD1 与 BB1 异面,又直线 AB 在平面 ABCD 中,显然

AD1∩AB=A.

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4.下列选项中,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直 线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( )

答案 C 解析易知选项 A,B 中 PQ∥RS, 选项 D 中 RS 与 PQ 相交,只有选项 C 中 RS 与 PQ 是异 面直线.

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【巩固】 5.如图 2-1-14 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 AD1 所成角为( A.30° C.60° B.45° D.90° )

图 2-1-14

答案 C 解析连接 BC1、A1C1,∵BC1∥AD1,∴异面直线 A1B 与 AD1 所成的角即为直线 A1B 与 BC1 所成的角. 在△A1BC1 中,A1B=BC1=A1C1,[来源:学|科|网 Z|X|X|K] ∴∠A1BC1=60°.故异面直线 A1B 与 AD1 所成角为 60°.

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6.如图 2-1-15,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 的中点,则下列叙述正确的是( A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.C1C 与 AE 共面 C.AE,B1C1 是异面直线图 2-1-15 D.AE 与 B1C1 所成的角为 60° )

答案 C 解析由于 CC1 与 B1E 都在平面 C1B1BC 内, 故 C1C 与 B1E 是共面的, 所以 A 错误; 由于 C1C 在平面 C1B1BC 内,而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点,点 E 不在 C1C 上,故 C1C 与 AE 是 异 面直线,B 错误;同理 AE 与 B1C1 是异面直线,C 正确;而 AE 与 B1 C1 所成的角就是 AE 与 BC 所成的角,E 为 BC 中点,△ABC 为正三角形,所以 AE⊥BC,D 错误.综上所述, 故选 C.

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【拔高】 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 B1C1、A1D1 的中 点.求证:平面 ABB1A1 与平面 CDF E 相交.

答案 见解析 解析证明: 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 B1C1 的中点, ∴EC 与 B1B 不平行, 则延长 CE 与 BB1 的延长线必相交于一点 H,XK] ∴H∈EC,H∈B1B,[来源:学,科,网] 又知 B1B?平面 ABB 1A1,

CE?平面 CDFE,
∴H∈平面 ABB1A1,H∈平面 CDFE, 故平面 ABB1A1 与平面 CDFE 相交.

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8.如图 2-1-17,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1B1,B1C1 的中点, 求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小.

图 2-1-17

答案 见解析 解析 如图所示,连接 A1C1,B1D1,并设它们相交于点 O,取 DD1 的中点 G,连接 OG,

GA1,GC1.
则 OG∥B1D,EF∥A1C1. 于是∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O 为 A1C1 的中点, ∴GO⊥A1C1. 故异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.


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