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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系


点、线、面的位置关系
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内。

图形语言表述: 符号语言表述; A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ? . 公理 1 的作用:既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内,又可用直线检验平面。 公理 2:过不在一条直线的三点,有且只有一个平面。

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图形语言表述: 符号语言表述; 公理 2 的作用;一是确定平面,二是可用其证明点、线共面问题。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言表述: 符号语言表述; A, B, C三点不共线 ? 有且只有一个平面?,使A ?? , B ?? , C ?? . 公理 3 的作用:其一是判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共点,就可以 判定这两个平面必相交于过这点的一条直线; 其二它可判定点在直线上, 点是某两个平面的 公共点,线是这两个平面的公共交线,则这点在交线上。 符号语言表述: P ?? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线相互平行。 空间中直线与直线的位置关系

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 异面直线夹角的取值范围:

? 0 ,90
o

o

? ? .

空间中直线与平面之间的位置关系 (1) 、直线在平面内——有无数个公共点; (2) 、直线与平面相交——有且只有一个公共点; (3) 、直线与平面平行——没有公共点。 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 平面与平面之间的位置关系

(1) 、两个平面平行——没有公共点; (2) 、两个平面相交——有一条公共直线。

平面的基本性质
例 1. 两个平面可以把空间分为 变式训练:三个平面最多可以将空间分为( A.8 B.7 ) 部分。 )部分. C.6 D.4

例 2.如图所示,用符号语言可表达为(

A.α ∩β =m,n?α ,m∩n=A C.α ∩β =m,n?α ,A?m,A?n

B.α ∩β =m,n∈α ,m∩n=A D.α ∩β =m,n∈α ,A∈m,A∈n

变式训练:若 M 在直线 m 上,m 在平面 α 内,则下列表述正确的是( A.M∈m∈α B.M∈m?α C.M?m?α

) D.M?m∈α

变式训练: 1.在空间中,有下列命题: ①若直线 a,b 与直线 c 所成的角相等,则 a∥b; ②若直线 a,b 与平面 α 所成的角相等,则 a∥b; ③若直线 a 上有两点到平面 α 的距离相等,则 a∥α ; ④若平面 β 上有不在同一直线上的三个点到平面 α 的距离相等,则 α ∥β . 则正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 ) C.4 或 7 D.7 或无穷多 D.3

2. 到空间四点距离相等的平面的个数为( A.4 B.7

例 5. 在空间四边形 ABCD 的各边 AB,BC,CD,DA 上依次取点 E,F,G,H,若 EH、FG 所在 直线相交于点 P,则( ) A.点 P 必在直线 AC 上 C.点 P 必在平面 DBC 外 B.点 P 必在直线 BD 上 D.点 P 必在平面 ABC 内

变式训练: 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P、Q、R、S 分别是 AB、BC、C1D1、C1C、 A1B1、B1B 的中点,则下列判断: ①PQ 与 RS 共面; ②MN 与 RS 共面; ③PQ 与 MN 共面; 则正确的结论是 例 6. 经过平面外两点与这个平面平行的平面( A.只有一个 B.至少有一个 ) D.有无数个

C.可能没有

空间中直线与直线的位置关系: 例 1. 若 a 和 b 是 异 面 直 线 , b 和 c 是 异 面 直 线 , 则 a 和 c 的 位 置 关 系 是 ( ) 例 2. 若直线 a∥α ,直线 b?α ,则直线 a 与 b 的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或平行

变式训练: 1. 已知 a,b 是两条异面直线,直线 c∥a,那么 c 与 b 的位置关系是 2. 空间三条直线 a、b、c,若 a⊥b,b⊥c,则 a、c 的位置关系是 3. 过已知直线外一点可作 条直线与已知直线平行;可以作 条直 线与已知直线垂直 4. 我们知道,平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立、下面给出的平面几何中 的四个真命题:①平行于同一条直线的两条直线必平行;②垂直于同一条直线的两条直 线必平行;③一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补;④ 一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.在空间中仍然成 立的有 (把所有正确的序号都填上) 例 3. 已知 EF 是异面直线 a, b 的公垂线, 直线 l∥EF, 则 l 与 a,b 交点的个数是 ( ) A.0 B.1 C.0 或 1 D.0 或 1 或 2 )

例 4. 若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( A.平行 C.相交 B.异面 D.平行、异面或相交

例 5. 已知直线 a⊥b,直线 l 过空间一定点 P,且与直线 a 成 30°,与直线 b 成 90°,则 满足条件的直线 l 的条数为( ) A.0 B.2 C.4 D.无数条

异面直线的夹角问题:

例 1. 已知直线 AB、CD 是异面直线,AC⊥CD,BD⊥CD,且 AB=2,CD=1,则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75°

例 2. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50°,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角都 0 是 30 的直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

变式训练: 0 1.已知异面直线 a 与 b 所成的角为 90°,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 60 的直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

2. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 90°,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 0 45 的直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

3. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 80°,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 0 60 的直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

探讨:一般的,若两条异面直线 a 与 b 所成的夹角为 ? ,则过空间中一点 P 与 a、b 所成的 角都等于 ? 的直线有多少条? 注:适当的讲解最小角定理。 例 3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M、N 分别是 AB, BB1 的中点,求直线 AM 与 C1 N 所成的 角余弦值。

例 4.在空间四边形 ABCD中, E、F 分别是线段

AB、DD 上的点,

AE BF 1 ? ? ,且 ED FC 2

AB ? CD ? 3 , EF ? 7 ,求: AB 与 CD 所成的角。

例 5. 如图,已知正四面体 P-ABC 中,棱 AB、PC 的中点分别是 M、N.求异面直线 BN、PM 所成的角的余弦值.

例 6. 空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 中点,若 EF= 3 ,求异面直线 AD、BC 所成的角的大小.

例 7. 如图,已知:ABCD 是矩形,AB=1,BC=2,PD⊥平 ABCD,且 PD=3. (1)求四棱锥 P-ABCD 体积; (2)求异面直线 PB 与 AC 所成角的大小.

例 8. 如图, 正三棱锥 A-BCD 中, E 在棱 AB 上, F 在棱 CD 上. 并且

AE CF ? ? ? (0 ? ? ) , EB FD


设 α 为异面直线 EF 与 AC 所成的角, β 为异面直线 EF 与 BD 所成的角, 则 α +β 的值是 (

A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.与 ? 的值有关

课堂练习
1. 若 a、b 是异面直线,α 、β 是两个不同平面,a?α ,b?β ,α ∩β =l,则( A.l 与 a、b 分别相交 B.l 与 a、b 都不相交 C.l 至多与 a、b 中一条相交 D.l 至少与 a、b 中的一条相交 2. 互不重合的三个平面可以把空间分成 n 个部分,则 n 等于( A.4 或 6 B.6 或 8 C.4,6 或 8 ) D.4,6,7 或 8 )

3. 下列命题中,不正确的是( ) ①一条直线和两条平行线都相交,那么这三条直线共面; ②每两条直线都相交,但不共点的四条直线一定共面; ③两条相交直线上的三个点确定一个平面; ④两条互相垂直的直线共面. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ ) D.a?β 且 b∥β

4. 若 a,b 是两条异面直线,则存在唯一确定的平面 β ,满足( A.a∥β 且 b∥β B.a?β 且 b⊥β C.a⊥β 且 b⊥β

5.空间四边形 ABCD 中,线段 AB、BC、CD、DA 的中点分别为 P、Q、R、S,则在下面的命题 中: (1)P、Q、R、S 四点共面; (2)PR 与 QS 不相交; (3)当 AC=BD 时,四边形 PQRS 是菱形; (4)当 AC⊥BD 时,四边形 PQRS 是矩形. 正确命题的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6. 对于不同点 A、B,不同直线 a、b、l,不同平面 α ,β ,下面推理错误的是( A.若 A∈a,A∈β ,B∈a,B∈β ,则 a?β B.若 A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则 α ∩β =直线 AB C.若 l?α ,A∈l,则 A?α D.a∩b=Φ ,a 不平行于 b,则 a、b 为异面直线



7.(2012?上海)如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2,M 为线段 AB 的中 点. 求: (1)三棱锥 C1-MBC 的体积; (2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的余弦值。

课后作业
1.已知异面直线 a 与 b 所成的角为 80°,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 50 的直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
0

2. (2011?上海)已知 ABCD-A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA1=2,求 (1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值; (2)四面体 AB1D1C 的体积.

3. (2005?上海) 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2, 底面 ABCD 是直角梯形, ∠A=90°, AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线 BC1 与 DC 所成的角的余弦值.

4. 给出下列命题: (1)直线 AB 与平面 α 不平行,则 AB 与平面内 α 的所有直线都不平行; (2)直线 AB 与平面 α 不垂直,则 AB 与平面 α 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 AB、CD 不垂直,则过 AB 的任何平面与 CD 都不垂直; (4) 若直线 AB 和 CD 共面, 直线 CD 和 EF 共面, 则 AB 和 EF 共面; 其中错误命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3



5. 已知直线 a⊥b,直线 l 过空间一定点 P,且与直线 a 成 30°,与直线 b 成 90°,则满足 条件的直线 l 的条数为( ) A.0 B.2 C.4 D.无数条

6. 空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则 BC 与 AD 的位置关 系是 ;四边形 EFGH 是 形;当 时,四边形 EFGH 是菱形;当 时,四边形 EFGH 是矩形;当 时,四边形 EFGH 是正方形. 7. 已知 m、l 是直线,α 、β 是平面,给出下列命题:①若 l 垂直于 α 内两条相交直线, 则 l⊥α ;②若 l 平行于 α ,则 l 平行于 α 内所有的直线;③若 m?α ,l?β 且 l⊥m,则 α ⊥β ;④若 l?β 且 l⊥α ,则 α ⊥β ;⑤若 m?α ,l?β 且 α ∥β ,则 l∥m.其中正确 命题的序号是


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