当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛讲义


复数 一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通 常用 C 来表示。 2. 复数的几种形式。 对任意复数 z=a+bi (a,b∈R) , a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数

形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那 么 z 与坐标平面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴, y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又 对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外 设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ ,|OZ|=r,则 a=rcosθ ,b=rsin θ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。 若 0≤θ <2π , 则θ 称为 z 的辐角主值, 记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|, 由勾股定理知|z|= a 2 ? b 2 .如果用 e 表示 cosθ +isinθ , 则 z=re , 称为复数的指数形 iθ iθ 式。 3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (2) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (3) z ? z ?| z | 2 ; (4) ? ? ? z1 ? z1 ? ; (5) ?? ? z2 ? z2 (6) | | z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | ; 2 2 2 2 z1 | z1 | ; ( 7 ) ||z1|-|z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1|+|z2| ; (8) |? z2 | z2 | 1 。 z |z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ; (9)若|z|=1,则 z ? 4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形 和三角形法则; (3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),则 z1? ? z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)];若 z 2 ? 0, z1 r1 [cos(θ 1-θ 2)+isin(θ 1-θ 2)], ? z 2 r2 用指数形式记为 z1z2=r1r2e i(θ 1+θ 2) , z1 r1 i (?1 ??2 ) ? e . z 2 r2 n n 5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )] =r (cosnθ +isinnθ ). n 6. 开 方 : 若 w ? r(cos θ +isin θ ) , 则 w ? n r( c o s ? ? 2k? n ? is i n ? ? 2k? n ) , k=0,1,2,?,n-1。 7. 单位根: 若 w

相关文章:
高中数学竞赛讲义十二
高中数学竞赛讲义(十二)──立体几何 一、基础知识 公理 1 记作:a a. 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内, 公理 2 两个...
高中数学竞赛讲义.
高中数学竞赛讲义._学科竞赛_高中教育_教育专区。2014-2015 年度高二数学竞赛讲义---数列专题一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,数列{an}的一般形式...
高中数学竞赛讲义01:集合与简易逻辑
高中数学竞赛讲义(一) 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示; 集合中的各个...
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)
(Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以 x0= , 所以 , 高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导( 高中数学竞赛讲义+完美数学...
高中数学竞赛讲义10
高中数学竞赛讲义10_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学竞赛讲义(十) ──直线与圆的方程 一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质...
高中数学竞赛讲义(十三)──排列组合与概率
高中数学竞赛讲义(十三) ──排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办 法中有 ...
高中数学竞赛讲义二
高中数学竞赛讲义(二)──二次函数与命题 一、基础知识 1.二次函数:当 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次 , 另外配方可得 f...
高中数学竞赛讲义_不等式
高中数学竞赛讲义_不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛习题不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? a...
2017年高中数学联赛初赛复习讲义
2017年高中数学联赛初赛复习讲义_学科竞赛_高中教育_教育专区。联赛 2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷考生注意:1.本试卷共两大题(14 小题) ,全卷满分 ...
高中数学竞赛讲义_平面向量
高中数学竞赛讲义_平面向量_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛习题平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示...
更多相关标签:
高中物理竞赛讲义 | 高中数学竞赛 | 高中数学竞赛辅导书 | 高中数学竞赛辅导 | 高中数学竞赛数论讲义 | 2017高中数学竞赛讲义 | 高中物理竞赛辅导讲义 | 初中数学竞赛讲义 |