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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(一)


1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性 质

一、新课引入 二项定理: 一般地,对于n? N*有
(a ? b) ? C n a ? C na
n 0 n 1 n ?1

b ? Cn a
2 r

n?2

b ?
2 n

? ? C

n a
r

n? r

b ? ? ? Cn b
n

二项展开式中的二项式系数指的是那些?共 有多少个?
下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数 有什么特点?

杨辉三角

1.“杨辉三角”的来历及规 n ( 律 b ) 展开式中的二项式系数,如下表所示: a?
(a ? b) (a ? b) (a ? b) (a ? b) (a ? b) (a ? b)
1

1 1
2 3 4 5 6

C1 C1
0 1

0

1

1
1 3 1 4 1 5 1 6 15

2

1
3 6 1 4 10 15 1 5 6 1
0
0

C 2 C 2C 2
0 1 2

2

C 3 C 3C 3 C 3
1 2 3

3

C 4 C 4C 4 C 4 C 4
1 2 3 4

4

10 20

C 5 C 5C 5 C 5 C 5 C 5
0 1 2 3 4 5

5

……

……

1 C 6 C 6C 6 C 6 C 6 C 6 C 6

6

……
r

(a ? b)

n

C n C n C n ...C n ...C n C n

0

1

2

n ?1

n

二项式系数的性质
( a ? b ) 展开式的二项式
n

C 系数依次是: , C , C , ? , C
0 n 1 n 2 n

n n

从函数角度看,C 可看 成是以r为自变量的函数 f ( r ) , 其定义域是: ?0 ,1, 2 , ? , n ?
r n

当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.

二项式系数的性质

2.二项式系数的性质
(1)对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 m n?m C n ? C n 得到. 图象的对称轴:r ?
n 2

二项式系数的性质 (2)增减性与最大值 由于: C
k n

?

n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? k ? 1) k ? ( k ? 1)!
k ?1 n

?C
k n

?

n ? k ?1 k

所以C 相对于C

k ?1 n

的增减情况由

n ? k ?1 k

决定.

二项式系数的性质 (2)增减性与最大值 由:n ? k
k ?1 ?1
n ?1 2

?

k ?

n ?1 2

可知,当 k

?

时,

二项式系数是逐渐增大的,由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取 得最大值。

二项式系数的性质 (2)增减性与最大值

因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n

系数 C 2 取得最大值;
n
n ?1

n ?1

当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C n 2 、

C n 2 相等,且同时取得最大值。

二项式系数的性质 (3)各二项式系数的和 在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则:
C ? C ? C ?? ? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n
n

n

( 这就是说, a ? b ) 的展开式的各二项式系 数的和等于: n 2

同时由于C 0 ? 1 ,上式还可以写成: n
C ? C ? C ? ? ? C ? 2 ?1
1 n 2 n 3 n n n n

这是组合总数公式.

一般地, (a ? b) 展开式的二项式系数
n

C , C ,?C 有如下性质:
(1) C ? C
m n m n n?m n m n ?1

0 n

1 n

n n

(2) C ? C ?C n ?1 r r ?1 (3)当 r ? 时, Cn ? Cn 2 n ?1 r ?1 r 当r ? 时, Cn ? Cn 2 0 1 n n (4) Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2

m ?1 n

课堂练习:
1)已知 C 1 5 ? a , C 1 5 ? b
5 9

,那么 C 1 6 =
10



2) ( a ? b ) 的展开式中,二项式系数的最大值
9




n

3)若 ( a ? b ) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大,则n= ;

1 证明在 (a ? b)的展开式中,奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和.
n

2 已知

(

3

x ?

2 x

)

n

的展开式中,第

4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍,求展开式中x的一次项.

3.(1 ? 2 x ) 的展开式中第6项与第7项的系 数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最 大的项。
n

变式引申:
( 1、x ? y )
7

的展开式中,系数绝对值最大的项是( B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
1
n



A.第4项
(x ?
3

2、若 展开式中的第6项的系数最大,则不 x 含x的项等于( )
) 2

A.210

B.120

C.461

D.416

4、若 ( x +

1 24 x

) 展开式中前三项系数成等差

n

数列,求(1)展开式中含x的一次幂的项;

(2)展开式中所有x 的有理项;
(3)展开式中系数最大的项。

课堂练习
? a 1、已知? ? ? x ? x ? ?的展开式中x3的系数 2 ? ?
9


A.-297

9 4

,则常数a的值是_______

B.-252 C. 297 D. 207

2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是(

3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 __________ 2
4.已知(1+
x

)n展开式中含x-2的项的系数为12,求n.

5.已知(10+xlgx)5的展开式中第4项为106,求x的值.

小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握 好,同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的 才是中间项,而系数最大的不一定是中间项, 尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。


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