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高一数学-2015-2016学年高一上学期11月周练数学试卷


高一数学第一学期 周练试卷
(时间:120 分钟 满分:160 分)2015.11.23 一、 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.集合 A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为 ________________.
2 ?1-2x 2.设函数 f(x)=? 2 ?x +3x-2

r />
?x≤1? ?x>1?

1 ,则 f( )的值为________. f?3? f?2x? 的定义域是________. x-1

3.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=

4.三个数 a=0.32,b=log20.3,c=20.3 之间的大小关系是________. 5. 若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,那 么下列命题中正确的是________.(填序号) ①函数 f(x)在区间(0,1)内有零点; ②函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点; ③函数 f(x)在区间[2,16)内无零点;④函数 f(x)在区间(1,16)内无零点. 6.已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数是________. 7.函数 f(x)=x2-2ax+1 有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数 a 的 取值范围是________. 1 1 8.设 2a=5b=m,且a+b=2,则 m=________. 9.设函数 f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则 f(-1)与 f(2)的大小关系是________.
2 1 1 10.已知 loga >0,若 a x ?2 x?4 ≤ ,则实数 x 的取值范围为______________. 2 a

1 11.计算:0.25×(-2)-4+lg 8+3lg 5=________. 12 .直线 y = 1 与曲线 y = x2 - |x| + a 有四个交点,则 a 的取值范围为 ________________. 13.已知关于 x 的函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围 是________.
1

14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2-x,则不 1 等式 f(x)<-2的解集是________. 二、 解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知函数 f(x)= log 1 ? x ? 1? 的定义域为集合 A, 函数 g(x)= 3m?2 x? x
2
2

-1 的值域为集合 B,且 A∪B=B,求实数 m 的取值范围.

x+a 是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单 x +bx+1 调性,并证明你的结论. 16.(14 分)已知 f(x)=
2

2

17.(14 分)已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围.

18.(16 分)我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收 费方式不同.甲家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时 以内(含 30 小时)每张球台 90 元, 超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元. 某 公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家 租一张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x); (2)选择哪家比较合算?为什么?

3

19.(16 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=ax-1.其中 a>0 且 a≠1. (1)求 f(2)+f(-2)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)解关于 x 的不等式-1<f(x-1)<4,结果用集合或区间表示.

20. (16 分)若非零函数 f(x)对任意实数 a, b 均有 f(a+b)=f(a)· f(b), 且当 x<0 时,f(x)>1; (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; 1 1 (3)当 f(4)=16时,解不等式 f(x2+x-3)· f(5-x2)≤4.

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高一数学第一学期周练试卷参考答案
1.4 解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又∵A∪B={0,1,2,4,16}, ?a=4, ?a=16 ∴? 2 即 a=4.否则有? 2 矛盾. ?a =16, ?a =4 127 2.128 1 1 解析 ∵f(3)=32+3×3-2=16,∴ =16, f?3? 1 1 1 2 2 127 ∴f( )=f(16)=1-2×(16) =1-256=128. f?3? 3.[0,1) ?0≤2x≤2 解析 由题意得:? ,∴0≤x<1. ?x≠1 4.b<a<c 解析 20.3>20=1=0.30>0.32>0=log21>log20.3. 5.③ 解析 函数 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故函数 f(x)在区间[2,16)内无 零点. 6.2 解析 分别画出函数 y=a|x|与 y=|logax|的图象,通过数形结合法,可知交点 个数为 2.

5 7.1<a<4 解析 ∵f(x)=x2-2ax+1,∴f(x)的图象是开口向上的抛物线.

?f?0?>0, 由题意得:?f?1?<0, ?f?2?>0.

?1>0, 即?1-2a+1<0, ?4-4a+1>0,

5 解得 1<a<4.

8. 10 解析 由 2a=5b=m 得 a=log2m,b=log5m,
5

1 1 ∴a+b=logm2+logm5=logm10. 1 1 ∵a+b=2,∴logm10=2,∴m2=10,m= 10. 9.f(-1)>f(2) 解析 由 y=f(x+1)是偶函数, 得到 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴f(- 1)=f(3). 又 f(x)在[1,+∞)上为单调增函数, ∴f(3)>f(2),即 f(-1)>f(2). 10.(-∞,-3]∪[1,+∞) 1 解析 由 loga2>0 得 0<a<1. 2 2 1 - 由 a x ?2 x?4 ≤a得 a x ?2 x?4 ≤a 1, ∴x2+2x-4≥-1,解得 x≤-3 或 x≥1. 11.7 解析 原式=0.25×24+lg 8+lg 53=(0.5×2)2×22+lg(8×53)=4+lg 1 000=7. 5 12.1<a<4 2 ?x -x+a,x≥0, 解析 y=? 2 ?x +x+a,x<0, 作出图象,如图所示.

1 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a-4,要使 y=1 与其有四个交点,只 1 需 a-4<1<a, 5 ∴1<a<4. 13.(1,2) 解析 依题意,a>0 且 a≠1, ∴2-ax 在[0,1]上是减函数, 即当 x=1 时,2-ax 的值最小,又∵2-ax 为真数, ?a>1 ∴? ,解得 1<a<2. ?2-a>0 14.(-∞,-1) 1 解析 当 x>0 时,由 1-2-x<-2, 1 3 (2)x>2,显然不成立. 当 x<0 时,-x>0. 因为该函数是奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=2x-1.
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1 - 由 2x-1<-2,即 2x<2 1,得 x<-1. 1 又因为 f(0)=0<-2不成立, 所以不等式的解集是(-∞,-1). 15.解 由题意得 A={x|1<x≤2},B=(-1,-1+31+m]. 由 A∪B=B,得 A?B,即-1+31+m≥2,即 31+m≥3, 所以 m≥0. x+a 16.解 ∵f(x)= 2 是定义在[-1,1]上的奇函数, x +bx+1 0+a ∴f(0)=0,即 2 =0,∴a=0. 0 +0+1 -1 1 又∵f(-1)=-f(1),∴ =- , 2-b 2+b x ∴b=0,∴f(x)= 2 . x +1 ∴函数 f(x)在[-1,1]上为增函数. 证明如下: 任取-1≤x1<x2≤1, ∴x1-x2<0,-1<x1x2<1, ∴1-x1x2>0. x1 x2 ∴f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1+1 x2+1 2 2 x1x2+x1-x1x2-x2 = 2 ?x2 1+1??x2+1? x1x2?x2-x1?+?x1-x2? = 2 ?x2 1+1??x2+1? ?x1-x2??1-x1x2? = 2 <0, ?x1+1??x2 2+1? ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)为[-1,1]上的增函数. ?a≠0 ? 9 17.解 (1)要使 A 为空集,方程应无实根,应满足? ,解得 a>8. ? ?Δ<0 2 (2)当 a=0 时,方程为一次方程,有一解 x=3; 当 a≠0,方程为一元二次方程,使集合 A 只有一个元素的条件是 Δ=0,解得 9 a=8, 4 x=3. 2 9 4 ∴a=0 时,A={3};a=8时,A={3}. (3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况, 9 ∴a=0 或 a≥8.
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18.解

(1)f(x)=5x,15≤x≤40; 15≤x≤30 ?90, g(x)=? . ?30+2x, 30<x≤40 (2)①当 15≤x≤30 时,5x=90,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x); 当 x=18 时,f(x)=g(x); 当 18<x≤30 时,f(x)>g(x). ②当 30<x≤40 时,f(x)>g(x), ∴当 15≤x<18 时,选甲家比较合算; 当 x=18 时,两家一样合算; 当 18<x≤40 时,选乙家比较合算. 19.解 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(2),即 f(2)+f(-2)=0. (2)当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=a-x-1. 由 f(x)是奇函数,有 f(-x)=-f(x), ∵f(-x)=a-x-1, ∴f(x)=-a-x+1(x<0). x ?x≥0? ?a -1 ∴所求的解析式为 f(x)=? . -x ?-a +1 ?x<0? ?x-1<0 (3)不等式等价于? -x+1 +1<4 ?-1<-a ?x-1≥0 或? , x-1 ?-1<a -1<4 ?x-1<0 ?x-1≥0 即? 或? . -x+1 x-1 <2 ?-3<a ?0<a <5 ?x≥1 ?x<1 当 a>1 时,有? 或? ,注意此时 loga2>0,loga5>0, ?x>1-loga2 ?x<1+loga5 可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5). 同理可得,当 0<a<1 时,不等式的解集为 R. 综上所述,当 a>1 时, 不等式的解集为(1-loga2,1+loga5); 当 0<a<1 时,不等式的解集为 R. x x x 20.(1)证明 f(x)=f(2+2)=f2(2)≥0, 又∵f(x)≠0,∴f(x)>0. (2)证明 设 x1<x2,则 x1-x2<0, 又∵f(x)为非零函数, f?x1-x2?· f?x2? f?x1-x2+x2? ∴f(x1-x2)= = f?x2? f?x2? f?x1? = >1,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数. f?x2?

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(3)解

1 1 由 f(4)=f2(2)=16,f(x)>0,得 f(2)=4.

原不等式转化为 f(x2+x-3+5-x2)≤f(2),结合(2)得: x+2≥2,∴x≥0, 故不等式的解集为{x|x≥0}.

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