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河南省郑州市2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题


高中二年级
一、选择题

数学(文科)

参考答案

1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.C 二、填空题
n 13. 153.4; 14.1; 15 f (2 ) ?

8.D

9.C 10.D 11.A 12.B

n?2

n ?1 , 或f (2 n ?1 ) ? ; 2 2

16. (4 ? 1) 三、解答题

9a ; (4 ? 4) ? ? 2 cos ? ; (4 ? 5) 8

2.

17. 解:(Ⅰ)设 z=x ? yi (x、y ? R), z ? 2i ? x ? ? y ? 2? i 为实数,得 y ? ?2.

z x ? 2i 1 1 1 ? ? ( x ? 2i )(2 ? i) ? (2 x ? 2) ? ( x ? 4)i 为实数,得 x ? 4. 2?i 2?i 5 5 5

? z ? 4 ? 2i. ……….5 分
(Ⅱ)∵ ? z ? ai ? ? 12 ? 4a ? a
2

?

2

? ? 8 ? a ? 2 ? i,

?12 ? 4a ? a 2 ? 0, ∴? (t为参数), 解得 2<a<6.即实数 a 的取值范围是(2,6)………………10 分. ?8(a ? 2) ? 0,

18.(4-1)证明:由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA,故 A、B、C、D 四点共圆.….4 分 从而∠CAB=∠CDB.再由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA..….8 分 因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD..….12 分
? 3 x ? ?3 ? s, ? ? 2 ( s为参数) , ………………………..3 分 (4-4)解:直线的参数方程为 ? ? y ? 1 s, ? ? 2
1 ? x?t? , ? ? t 曲线 ? (t为参数) 可以化为 x2 ? y 2 ? 4 . ……………………6 分 1 ?y ? t ? ? t ?

将直线的参数方程代入上式,得 s 2 ? 6 3s ? 10 ? 0 .……………….9 分

s1、s2 ? 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2 ,∴

6 3 ? 68 ,s1 ? s2 ? 6 3, s1s2 ? 10. 2

AB ? s1 ? s2 ? (s1 ? s2 )2 ? 4s1s2 = 2 17 .…………………………..12 分 (4-5)(I)略 ………………. 6 分 (II)由条件得: f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 5 |? 6,
1 ? ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 5 ? 6, x ? ? 2 , ? 1 5 ? f ( x) ? g ( x) ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 5 ? 6, ? ? x ? , 2 2 ? 5 ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 5 ? 6, x ? 2 , ?

?

? 1 5? ? ? x ? ? x ? ? . …………………12 分 2 2? ?
5 5

19. (Ⅰ) x ? 70, y ? 66,

?x y
i i ?1

i

? 23190,

?
i ?1

xi2

? 24750

b?

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y ? 0.36 , ? nx
2

?x
i ?1

2

i

? ? 0.36 x ? 40.8. ?????6 分 a ? 40.8 ,回归直线方程为 y
(Ⅱ)

?(y
i ?1

n

i

? ? yi ) ? 0 ,所以为”优拟方程”. ???12 分

20. 解: 男同学 女同学 总计
2

几何类 16 8 24

代数类 6 12 18

总计 22 20 42 ………………..4 分

42×(16×12-8×6)2 252 ? 由表中数据得 K 的观测值 k ? ≈4.582>3.841. 55 24×18×20×22 所以,据此统计有 95%的把握认为选做“几何类”或“代数 类”与性别有关. 21. 解:(Ⅰ)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 2 2 sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1- sin30°=1- = . 2 4 4
(Ⅱ)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-a)= .
2 2

12 分

2分 3 4 5分

证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα )
2 2 2 2

3 2 3 1 3 1 2 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α 4 2 4 2 2

3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? . 4 4 4
22.(4-1)解:? ?ACB ? 30? , AB ? BC ,? ?CAB ? 30? . 又因 AB 是⊙O 的直径,所以 ?ADB ? 90? , ?ABD ? 60? . 又因 OB ? OD ,? AB ? 2OB ? 2OD ? 2 BD , AD ? DC ? 所以 AB ? 2 .? OB ? OD ? BD ? 1 . …………………………6 分

3.

? ?ACB ? 30? ,? ?CDE ? 60? , DE ?

3 . 2

? OA ? OD ,? ?ADO ? 30? ,? ?ODE ? 90? ,? OE ?
2 2 ,? ) 设圆心的极坐标为 ( ? ,? ) , 2 2

3 7 ?1 ? . ……12 分 4 2

(4-4) (1)圆心坐标为 (?

则 ? ? (?

2 2 2 2 ) ? (? ) ? 1, 2 2

所以圆心的极坐标为 (1, ? ). ………………4 分

5 4

(2)直线 l 的极坐标方程为 ? (

2 2 2 sin ? ? cos ? ) ? , 2 2 2

? 直线 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0. …………………8 分

圆上的点到直线 l 的距离 d ?

|?

2 2 ? r cos ? ? ? r sin ? ? 1| 2 2 . 2

| ? 2 ? 2r sin(? ? ) ? 1| 4 d ? . 即 2

?

? 圆上的点到直线 l 的最大距离为

2 ? 2r ? 1 ? 3. 2

r ? 2?

2 . ………….12 分 2

(4-5) 解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ?1 ? 0. 当 a ? 1 时,解集为 x ? 2 ,即 (??, 2)

(2, ??) ;

当 a ? 1 时,解集为全体实数 R ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1)

(3 ? a, ??) ??6 分

(Ⅱ) f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒 成立,即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立, 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,于是得 m ? 5 , 即 m 的取值范围是 (??,5) ????? 12 分


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