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b8中高一(上)自主学习数学试卷(3)


2011-2012 学年江苏省徐州一中高一(上)自主学习数学试卷(3)

一、填空题(本大题包括 14 小题;每小题 5 分,满分 70 分) 2 1. 分)已知 f(x)=x +ax+b,满足 f(1)=0,f(2)=0,则 f(﹣1)= _________ . (5 2. 分)已知函数 f(x)=2x+1,则函数 f(x +1)的值域为 _________

. (5 3. 分)函数 f(x)=x ﹣2ax,x∈[1,+∞)是增函数,则实数 a 的取值范围是 _________ . (5 4. 分)设 y=f(x)在 x∈[0,1]上的图象如图所示,且 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) (5 ,则 f(x) 在[1,2]上的解析式为 _________ .
2 2

5. 分)函数 f(x)=x ﹣4x,x∈[0,a]的值域是[﹣4,0],则 a 的取值范围为 (5
2

2

_________ .

6. 分)函数 y=x +ax+3(0<a<2)在[﹣1,1]的最大值是 _________ ,最小值是 _________ . (5 7. 分)已知 (5 ,则 f(x)= _________ .

8. 分)已知函数 f(x)= (5

若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范围为 _________ .

2

9. 分) (5 (2009?黄冈模拟)函数 y=ax ﹣2x 图象上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 1,则 a 的取值范围是 _________ . 10. 分)若函数 (5
2

2

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 _________ .

11. 分)函数 y=﹣x +4ax 在区间[2,4]上为单调函数,则实数 a 的取值范围是 _________ . (5 12. 分)函数 f(x)=ax +bx+3a+b(x∈[a﹣1,2a])的图象关于 y 轴对称,则 f(x)的值域为 (5 13. 分) (5 (2011?安徽模拟)规定符号“△ ”表示一种运算,即 (x)=k△ x 的值域 _________ .
2 + 2

_________ .

,其中 a、b∈R ;若 1△ k=3,则函数 f

14. 分) (5 (2008?浙江)已知 t 为常数,函数 y=|x ﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t= _________ . 二、解答题(本大题包括 3 小题;每小题 10 分,满分 30 分)解答时要有答题过程! 15. (10 分)用单调性定义证明:函数
2

在区间(0,1)内单调递减.

16. (10 分)已知函数 y=f(x)=x +ax+3 在区间[﹣1,1]上的最小值为﹣3,求实数 a 的值. 17. (10 分) (2013?嘉定区一模)已知 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|, (Ⅰ)当 a=2 时,写出函数 y=f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)当 a>2 时,求函数 y=f(x)在区间[1,2]上的最小值; (Ⅲ)设 a≠0,函数 f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范围(用 a 表示) .

2011-2012 学年江苏省徐州一中高一 (上) 自主学习 数学试卷(3)
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题包括 14 小题;每小题 5 分,满分 70 分) 2 1. 分)已知 f(x)=x +ax+b,满足 f(1)=0,f(2)=0,则 f(﹣1)= 6 (5 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 由题设可知
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,由此能求出 f(x)=x ﹣3x+2,进而能够求出 f(﹣1) .

2

解答: 解:∵f(x)=x2+ax+b,满足 f(1)=0,f(2)=0, ∴ ,

解得 a=﹣3,b=2. 2 ∴f(x)=x ﹣3x+2, ∴f(﹣1)=1+3+2=6. 故答案为:6. 点评: 本昰考查二次函数的性质和应用,解题时要认真审题,合理地建立方程组,先求出 f(x) ,再解 f(﹣1) . 2. 分)已知函数 f(x)=2x+1,则函数 f(x +1)的值域为 [3,+∞) . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的值域. 计算题. 2 根据已知函数先求出函数 f(x +1) ,再求出函数的值域即可. 解:因为函数 f(x)=2x+1 2 2 2 所以函数 f(x +1)=2(x +1)+1=2x +3 2 因为 x ≥0 2 2 所以 f(x +1)=2x +3≥3 2 所以函数 f(x +1)的值域为[3,+∞) 故答案为:[3,+∞) 点评: 本题以已知函数为载体,考查二次函数的值域,关键是确定函数的解析式,利用二次函数最值的求解方法求函 数的值域.
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3. 分)函数 f(x)=x ﹣2ax,x∈[1,+∞)是增函数,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,1] . (5 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: f(x)=x2﹣2ax 开口向上,对称轴方程 x=a,由 x∈[1,+∞)是增函数,可得到 a 所满足的不等式,从而求出实 数 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)=x2﹣2ax, ∴抛物线开口向上,对称轴方程 x=a, ∵x∈[1,+∞)是增函数, ∴a≤1. 故答案为: (﹣∞,1]. 点评: 本题考查二次函数的性质的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意对称轴和抛物线单调区间的关系的应用.
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2

4. 分)设 y=f(x)在 x∈[0,1]上的图象如图所示,且 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) (5 ,则 f(x) 在[1,2]上的解析式为 f(x)=x,x∈[1,2] .

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考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 从要求的结论 f(x)在[1,2]上的解析式不难知道:本题需要知道利用函数的对称性,恰好题中给出了条件 f (1﹣x)=f(1+x) ,因此可知函数的对称性,所以只需求出 f(x)在[0,1]上的解析式即可求解. 解答: 解:由图知,f(x)在[0,1]上的图象是过两点(1,1)(0,2)的线段, , 斜率为﹣1,在 y 轴上的截距为 2, 其解析式为:f(x)=﹣x+2,x∈[0,1]; ∵f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,可得 f(x)=f(﹣x+2) , 当 1≤x≤2 时,0≤﹣x+2≤1,∴f(﹣x+2)=﹣(﹣x+2)+2=x, ∴f(x)=x,x∈[1,2]; 故答案为:f(x)=x,x∈[1,2]. 点评: 本题是中档题.考查函数解析式的求解及常用方法、函数的对称性,是道综合题,其中探讨函数的对称性是难 点.
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5. 分)函数 f(x)=x ﹣4x,x∈[0,a]的值域是[﹣4,0],则 a 的取值范围为 (5
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2

[2,4] .

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: 由已知函数的解析式,我们可以判断出函数图象的形状,单调性及最值,根据函数 f(x)=x2﹣4x,x∈[0,a] 的值域是[﹣4,0],易结合二次函数的图象和性质得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=x2﹣4x 的图象是开口方向朝上,以直线 x=2 为对称轴的抛物线; 在区间[0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, 且 f(0)=f(4)=0,f(x)min=f(2)=﹣4, 若定义域为[0,a],值域为[﹣4,0], 则 2≤a≤4 故答案为:[2,4]. 点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据已知条件确定二次函数的图象和性质,是解答本题的关键. 6. 分)函数 y=x +ax+3(0<a<2)在[﹣1,1]的最大值是 4+a ,最小值是 (5
2



考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 函数 y=x2+ax+3 (0<a<2) 的对称轴为 x=﹣ ∈ (﹣1, , 0) 其图象开口向上, 故最大值为 y(1) 最小值为 ,
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解答: 解:函数 y=x2+ax+3(0<a<2)的对称轴为 x=﹣ ∈(﹣1,0) ,其图象开口向上, 故最大值在 x=1 时取到,其值为 4+a, 最小值在 x=﹣ 处取到,其值为 故答案为:4+a, 点评: 本题考点是函数的最值及其几何意义,考查由图象特征判断并求出函数的最大值与最小值,二次函数在闭区间 上的最值问题是高考的热点,做完本题后应认真总结本题的做题规律. ,

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7. 分)已知 (5

,则 f(x)= x +2x+2 .

2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 把式子分组,然后凑完全平方式,最后把原来的
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换为 x 即可. =

解答:

解:因为
2

=

所以 f(x)=x +2x+2. 2 故答案为:x +2x+2. 点评: 本题主要考查凑完全平方式,拼凑法求函数解析式.
2

8. 分)已知函数 f(x)= (5

若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范围为 (﹣2,1) .

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性,从而得到函数 f(x)的单调性,由此性质 转化求解不等式,解出参数范围即可. 2 解答: 解:函数 f(x) ,当 x≥0 时,f(x)=x +4x,由二次函数的性质知,它在[0,+∞)上是增函数, 2 当 x<0 时,f(x)=4x﹣x ,由二次函数的性质知,它在(﹣∞,0)上是增函数, 该函数连续,则函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数 2 ∵f(2﹣a )>f(a) , 2 ∴2﹣a >a 解得﹣2<a<1 实数 a 的取值范围是(﹣2,1) 故答案为: (﹣2,1) 点评: 本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型,利用单调性将不等式 f(2﹣a2)>f(a)转化为一元二次不 等式,求出实数 a 的取值范围,属于中档题.
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9. 分) (5 (2009?黄冈模拟)函数 y=ax ﹣2x 图象上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 1,则 a 的取值范围是 a>1 或 a=0 或 a<﹣1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 二次函数的图象. 数形结合;分类讨论. 将 a 分成 a=0,a>0,与 a<0 三种情形分别研究,再结合图象,把握解题的实质,建立关系式,解之即可. 解:当 a=0 时,函数 y=﹣2x 图象上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 1,满足条件
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2

当 a>0 时,使函数的最小值 当 a<0 时,使函数的最大值

即 a>1 ,即 a<﹣1

综上所述:a 的取值范围是 a>1 或 a=0 或 a<﹣1 故答案为:a>1 或 a=0 或 a<﹣1

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点评: 本题考查了二次函数的图象,通过讨论开口方向,数形结合有助于我们的解题,形象直观. 10. 分)若函数 (5 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 .

考点: 二次函数的性质;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 2 函数 的定义域为 R 等价于 mx ﹣6x+2≥0 的解集为 R,所以
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,由此能求出实

数 m 的取值范围. 解答: 解:当 m=0 时,不符合题意 当 m≠0 时,∵函数 ∴mx ﹣6x+2≥0 的解集为 R, ∴ 解得 m . ) . ,
2

的定义域为 R,

故答案为:[

点评: 本题考查函数的定义域的逆运算,解题时要认真审题,注意二次函数的性质和一元二次不等式的性质的灵活运 用. 11. 分)函数 y=﹣x +4ax 在区间[2,4]上为单调函数,则实数 a 的取值范围是 a≤1 或 a≥2 . (5 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数的解析式 y=﹣x2+4ax,根据二次函数的图象和性质,判断出函数 y=﹣x2+4ax 在区间(﹣∞,2a] 2 为增函数,在区间[2a,+∞)上为减函数,由函数 y=﹣x +4ax 在区间[2,4]上为单调函数,可得区间在对称轴 的同一侧,进而构造关于 a 的不等式,解不等式即可得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵函数 y=﹣x2+4ax 的图象是 开口方向朝下,且以 x=2a 为对称轴的抛物线 2 故函数 y=﹣x +4ax 在区间(﹣∞,2a]为增函数,在区间[2a,+∞)上为减函数 2 若函数 y=﹣x +4ax 在区间[2,4]上为单调函数, 则 2a≤2,或 2a≥4 解得 a≤1 或 a≥2 故答案为:a≤1 或 a≥2 点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据函数 y=﹣x2+4ax 在区间[2,4]上为单调函数,判断出区间在对 称轴的同一侧,进而构造关于 a 的不等式是解答本题的关键.
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2

12. 分)函数 f(x)=ax +bx+3a+b(x∈[a﹣1,2a])的图象关于 y 轴对称,则 f(x)的值域为 (5 考点: 二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题.

2



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分析: 由题意可知函数一定为二次函数即 a≠0,图象关于 y 轴对称可判断出 b=0,即函数解析式化简成 f(x)=ax2+3a, 由定义域[a﹣1,2a]关于 Y 轴对称,得出 a 的值,求 f(x)的值域. 解答: 解:由题意可知函数一定为二次函数即 a≠0, 而图象关于 y 轴对称可判断出 b=0, 2 即函数解析式化简成 f(x)=ax +3a. 由定义域[a﹣1,2a]关于 Y 轴对称, 故有 a﹣1+2a=0,得出 a= , 即函数解析式化简成 f(x)= x +1,x∈[﹣ , ] f(x)的值域为[1, 故答案为:[1, ]. ].
2

点评: 此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法,求解的关键是熟练掌握二次函数的性 质,本题理解对称性很关键. 13. 分) (5 (2011?安徽模拟)规定符号“△ ”表示一种运算,即 (x)=k△ x 的值域 [1,+∞) .
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,其中 a、b∈R ;若 1△ k=3,则函数 f

+

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 1△ k= ,求得 ,进而求得 k.把 k 代入 f(x)=k△ x 得出 f(x)= 函数 f(x)的定义域,再利用配方法求得函数 f(x)的值域. 解答: 解:1△ k= ,解得 =1, ∴k=1 ∴f(x)=k△ x= = +x+1 对于 需 x≥0, ∴对于 f(x)= +x+1=( + ) + ≥1
2

+x+1,进而可求得

故函数 f(x)的值域为[1,+∞) 故答案为:[1,+∞) 点评: 本题主要考查了函数的值域的问题,以及考查阅读题意的能力,属于创新题. 14. 分) (5 (2008?浙江)已知 t 为常数,函数 y=|x ﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t= 1 . 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 压轴题. 分析: 本题应先画出函数的大体图象,利用数形结合的方法寻找解题的思路.画出大体图象后不难发现函数的最大值 只能在 x=1 或 x=3 处取得,因此分情况讨论解决此题. 解答: 解:记 g(x)=x2﹣2x﹣t,x∈[0,3], 则 y=f(x)=|g(x)|,x∈[0,3] f(x)图象是把函数 g(x)图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方得到, 其对称轴为 x=1,则 f(x)最大值必定在 x=3 或 x=1 处取得 2 (1)当在 x=3 处取得最大值时 f(3)=|3 ﹣2×3﹣t|=2, 解得 t=1 或 5, 当 t=5 时,此时,f(0)=5>2 不符条件, 当 t=1 时,此时,f(0)=1,f(1)=2,符合条件. 2 (2)当最大值在 x=1 处取得时 f(1)=|1 ﹣2×1﹣t|=2, 解得 t=1 或﹣3, 当 t=﹣3 时,f(0)=3>2 不符条件, 当 t=1 此时,f(0)=1,f(1)=2,符合条件. 综上 t=1 时 故答案为:1. 点评: 本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化.
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2

二、解答题(本大题包括 3 小题;每小题 10 分,满分 30 分)解答时要有答题过程!
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15. (10 分)用单调性定义证明:函数

在区间(0,1)内单调递减.

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 证明题. 分析: 任取区间(0,1)内两个实数 x ,x ,且 x <x ,进而根据函数 1 2 1 2
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,作差 f(x1)﹣f(x2) ,分解

因式后,根据实数的性质,判断 f(x1)﹣f(x2)的符号,进而根据函数单调性的定义,即可得到结论. 解答: 证明:任取区间(0,1)内两个实数 x ,x ,且 x <x 则 x +x <2< 1 2 1 2 1 2 则 f(x1)﹣f(x2)=( 即 f(x1)>f(x2) 故函数 在区间(0,1)内单调递减 )﹣( )=(x1+x2﹣ ,即 x1+x2﹣ <0,x1﹣x2<0

) 1﹣x2)>0 (x

点评: 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明,其中对作差后的式子,进行因式分解,是利用定义法(作差法) 证明函数单调性的难点. 16. (10 分)已知函数 y=f(x)=x +ax+3 在区间[﹣1,1]上的最小值为﹣3,求实数 a 的值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 函数 f(x)=x2+ax+3 在区间[﹣1,1]上有最小值 3,对函数进行配方,对对称轴是否在区间内进行讨论,从而 可知函数在何处取得最小值,利用最小值为 3 建立方程,解出相应的 a 的值. 解答: 解: ,
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2

(1) (2)当 (3)当 ,即﹣2≤a≤2 时,

,解得:a=7 ,解得 (舍去)

,即 a<﹣2 时,ymin=f(1)=4+a=﹣3,解得:a=﹣7.

综合(1) (3)可得:a=±7. (2) 点评: 考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题,体现了分类讨论和运动变化的思想方法, 属中档题. 17. (10 分) (2013?嘉定区一模)已知 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|, (Ⅰ)当 a=2 时,写出函数 y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 a>2 时,求函数 y=f(x)在区间[1,2]上的最小值; (Ⅲ)设 a≠0,函数 f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范围(用 a 表示) . 考点: 函数的最值及其几何意义;函数的单调性及单调区间. 专题: 综合题;数形结合;转化思想;数形结合法;综合法. 分析: (I)将 a=2 代入函数的解析得出 f(x)=x|x﹣2|,将其变为分段函数,利用二次函数的图象与性质研究其单调 性即可 (Ⅱ)当 a>2 时,函数 y=f(x)在区间[1,2]上解析式是确定的,去掉绝对号后根据二次函数的性质确定其单 调性,再求最值. (Ⅲ)a≠0,函数 f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值说明在函数最值不在区间端点处取得,在这个区 间内必有两个极值,由函数的性质确定出极值,由于极值即为最值,故可借助函数的图象得 m、n 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x|x﹣2|=
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由二次函数的性质知,单调递增区间为(﹣∞,1],[2,+∞) (开区间不扣分) (Ⅱ)因为 a>2,x∈[1,2]时,所以 f(x)=x(a﹣x)=﹣x +ax= 当 1< ≤ ,即 2<a≤3 时,f(x)min=f(2)=2a﹣4
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2

当 ∴ (Ⅲ)

,即 a>3 时,f(x)min=f(1)=a﹣1

①当 a>0 时,图象如上图左所示 由 得





②当 a<0 时,图象如上图右所示 由 得





点评: 本题考点是函数的最值及其几何意义,综合考查了二次函数的图象,最值等知识以及配方法求最值的技巧.解 题时数形结合,转化灵活,综合性很强.

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