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3.2 简单的三角恒等变换(第二课时)


3.2

简单的三角恒等变换(第二课时)

-2-

一、[复习回顾,承上启下] 1.两角和与差公式

-3-

2.二倍角公式:

sin 2? =____________________

cos 2? =____________________
=_____________________ =_____________________

-4-

3. 两角和与差公式、二倍角公式的逆用: (1)降幂公式

2cos 2 ? ? ______________________ 2sin 2 ? ? ______________________
tan 2? ? ______________________
(2)辅助角公式
2 2 a ? b sin( x ? ? ) a sin x ? b cos x ? ___________________

-5-

二、[典例分析,性质应用]
例1. 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

?
3

的扇形,C 是扇形弧上的动点,

ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=?,求当角?取何值时,矩形 ABCD 的面积最大? 并求出这个最大面积. (1)找出 S 与 α 之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求 S 的最大值.

-6-

设矩形 ABCD 的面积为 S,则

3 3 2 S=AB·BC=(cosα ? sinα)sinα=sinαcosα ? sin α 3 3
=

1 1 3 3 1 3 3 sin2α+ cos2α= ( sin2α+ cos2α)2 2 6 6 6 3 2

=

1 3

sin(2α+

? 3 ). 6 6

由于 0<α<

1 ? ? ? ? 3 3 ,所以当 2α+ = ,即 α= 时,S 最大= = . 3 6 2 6 6 3 6

? 3 因此,当 α= 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 . 6 6

-7-

( ? 1? 例 2. 利用三角公式化简sin 50

3 tan10?) .

1 3 2( cos 10? ? sin 10?) 3 sin 10? 2 ? sin 50 ? ? 2 解: 原式 ? sin 50 ( ? 1? ) cos 10? cos10?
sin 40 ? sin 30? cos 10? ? cos 30? sin 10? ? 2 cos 40 ? ? ? 2 sin 50? ? cos 10 ? cos 10? sin 80? cos 10? ? ? ?1. cos 10? cos 10?

-8-

例 3.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x, (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈[0,

解:f(x)=cos x-2sinxcosx-sin x=(cos x+sin x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= 2 cos(2x+

? ],求 f(x)的最大、最小值. 2 4 4 2 2

2? =π. 2 ? ? ? 5? (2)因为 x∈[0, ],所以 2x+ ∈[ , ]. 4 2 4 4
所以,f(x)的最小正周期 T= 当 2x+ 当 2x+

? ), 4

? ? ? 2 = 时,cos(2x+ )取得最大值 , 4 4 4 2

? ? =π 时,cos(2x+ )取得最小值-1. 4 4 ? 所以,在[0, ]上的最大值为 1,最小值为- 2 . 2

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三、[变式演练,深化提高]

-10解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) 2 2 2 1 1 ? cos 2 x 1 cos ? ? cos ? 所以 f ( x) ? sin 2 x sin 2? ? 2 2 2 1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2 1 ? (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) 2 1 ? cos(2 x ? ? ). 2 ? 1 又函数图象过点 ( , ) 6 2 1 1 ? 所以 ? cos(2 ? ? ? ) 2 2 6
即 cos(

?

3

? ? ) ? 1,

又0 ?? ? ? 所以 ? ?

?
3

.

-11-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 横坐标缩短到原来的

1 ? cos(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的 2 2

1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,可知 2 1 ? g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ), 2 3

因为 x ? [0,

?

4

]

所以 4 x ? [0, ? ] 因此 4 x ? 故?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

]

1 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 2 3

1 1 所以 y ? g ( x)在[0, ] 上的最大值和最小值分别为 和 ? . 4 2 4

?

-12-

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解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ? 则 A ? 6;

A 3 A ?? ? cos2 x ? A sin 2 x ? cos2 x ? A sin? 2 x ? ? , 2 2 2 6? ?

? ? ? 个单位得到函数 y ? 6 sin[ 2( x ? ) ? ] 的图象, 12 12 6 1 ? 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? 6 sin( 4 x ? ) . 2 3 5? ? ? 7? ? 1 当 x ? [0, ] 时, 4 x ? ? [ , ], sin( 4 x ? ) ? [? ,1] , g ( x) ? [?3,6] . 24 3 3 6 3 2
(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移

? 5? ? 故函数 g(x)在 ?0, ? 上的值域为 [?3,6] . ? 24 ?

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另解:由 g ( x) ? 6 sin( 4 x ?

?
3

) 可得 g ?( x) ? 24 cos( 4 x ?

?
3

) ,令 g ?( x) ? 0 ,

? 5? ] ,则 x ? 则 4 x ? ? k? ? ( k ? Z ) ,而 x ? [0, , 24 3 2 24 ? ? ? 5? 7? ? ?3 , 于是 g (0) ? 6 sin ? 3 3 , g ( ) ? 6 sin ? 6, g ( ) ? 6 sin 3 24 2 24 6
? 5? ? 故 ? 3 ? g ( x) ? 6 ,即函数 g(x)在 ?0, 上的值域为 [?3,6] . ? ? 24 ?

?

?

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四、[反思小结,观点提炼]
1、 2、 本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如 y=asinx+bcosx 的函数转化为形如 y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能 顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学. 在学习中要切实掌握公式之间的内在联系,把握各个公式的结构特征,要善于变通,体现一个活字,明确各 个公式的适用范围; 3、 4、 5、 在解三角问题时,我们常常根据具体问题运用函数与方程的思想,构造相关的函数或方程来解题。 掌握各个公式的推导过程,是理解和运用公式的首要环节,熟练地运用公式进行“升幂”和“降幂”; 三角函数的化简与求值的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择,认真分析所求式子的 整体结构, 分析各个三角函数及角的相互关系式灵活选用公式的基础, 是恰当寻找解题思路起点的关键所在;

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五、[作业精选,巩固提高]

课本第147页复习参考题A组10,11,12,13题;B 组第6,7,8题.


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