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函数零点存在性定理


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函数零点存在性定理:

一般地,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a).f(b)<o,那么函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=O,这个 c 也就是 f(x)=0 的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定 f(x) 在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一. (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点, 例如,函数 f(x) =x2 -3x +2 有 f(0)·f(3)>0,但函数 f(x)在区间(0,3)上有两个零点. (3)若 f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则 fx)在(a,b)上有唯一的零点.

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函数零点个数的判断方法:

(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程 x2-2x +1 =0 在[0,2]上有两 个等根,而函数 f(x)=x2-2x +1 在[0,2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点. (2)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根.

例题 1:
若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,下列结论: (1)函数 f(x)在区间(0,1)内有零点; (2)函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点; (3)函数 f(x)在区间[2,16)内无零点; (4)函数 f(x)在区间(0,16)上单调递增或递减. 其中正确的有 ______(写出所有正确结论的序号).

答案

由题意可确定 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间[2,16)内无零点. (3)正确, (1)不能确定, (2)中零点可能为 1, (4)中单调性也不能确定. 故答案为:(3)

例题 2:
已知函数 答案: 有零点,则实数 的取值范围是( )

例题 3:

例题 4:
函数 f(x)=3ax-2a+1 在[-1,1]上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是( )

A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ;

C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ;

D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1

答案: 由题意可得 f(-1)×f(1)≤0,解得 ∴(5a-1)(a+1)≥0 ∴a≥ 1/5 故选 D 或 a≤-1



例题 5:
若函数 f(x)=x2+log2|x|-4 的零点 m∈(a,a+1),a∈Z,则所有满足条件的 a 的和为( 答案:-1 ) 。

例题 6:
已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,有如下的 x 与 f(x)的对应值表:

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x) 132.1 15.4 -2.31 8.72 -6.31 -125.1 12.6

那么,函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有

[ A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

]

答案:C


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