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3.1.2《利用二分法求方程近似解》


利用二分法 求方程近似解

知识回顾
零点概念: 等价关系
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

零点存在性定理: 如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上

r />连续不断、且f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上必有零点.

思考问题:
请同学们观察下面的两个方程,说一说你会 用什么方法来求解方程.

(1) x ? 2 x ? 6 ? 0
2

(2)ln x ? 2 x ? 6 ? 0
对于方程(1),可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于(2)的方程,我们却没有公式 可用来求解.那么我们怎样去求这个方程的根呢?

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研讨新知
我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内有零点;进一步的问题是,如何找到这个 零点呢?
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 可以得到零点的近似值.

看生活中的问题

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哦,找到 了啊!

通过这个小实验,你能想到什么 样的方法缩小零点所在的范围呢?

? 例1:求方程lnx=-2x+6的近似解(精确度为0.0 1)。
解 :设函数f(x)=lnx+2x-6,用计算器计算得: f(2)<0, f(3)>0 ? x1∈(2,3)

?? f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0, f(2.75)>0? x1∈(2.5,2.75)

f(2.5)<0, f(2.625)>0

? f(2.5)<0, f(2.5625)>0 ? x1∈(2.5,2.5625)

x1∈(2.5,2.625)

f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 ?x1∈(2.53125,2.5625)

f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 ? x1∈(2.53125,2.546875) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 ? x1∈(2.53125,2.5390625)

? 2.5390625 ? 2.53125 ? 0.0078125 ? 0.01
所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似 值,也即方程lnx=-2x+6的近似解x1≈2.53125。

y

二分法概念
0

a b x

对于在区间? a , b ? 上连续不断且 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函
数y

? f ? x ?,通过不断地把函数 f ? x ?的零点所在的区

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

思考:是否所有存在零点的函数都可以用 二分法求得零点?

练习
练习1: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求 其零点的是 (C ) y y y y

o
(A)

x

o
(B)

x

o
(C)

x

o
(D)

x

请思考:利用二分法求函数零点的关键条件是什么? 1.函数y=f (x)在[a,b]上连续不断.

2. y=f (x)满足 f (a) · f (b)<0,则在(a,b)内必有零点.

给定精确度,用二分法求函数零点x0的步骤:
? 1:确定初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0
a?b ? 2:求区间[a,b]的中点c= 2

? 3:计算:f(c)判断: ? (1)如果f(c)=0,则c就是f(x)的零点,计算终止; ? (2)如果f(a)f(c)<0,则零点x0∈(a,c)中 ? (3)如果f(a)f(c)>0,则零点x0∈(c,b)中 ? 4:判断是否达到精确度ε:若达到,则得到零点近似值 是(a,b)区间内的一点;否则重复2~4步骤。

口 诀

定区间,找中点,
同号去,异号算, 周而复始怎么办?

中值计算两边看.
零点落在异号间. 精确度上来判断.

例4:利用计算器求方程2 x+3x=7的近似解(精确度0.1)。

解:原方程即为2 x+3x-7=0,令f(x)= 2 x+3x-7。通过计算得下表
x f(x)=2x+3x-7 0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 8 142 273

可知f(1)· f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点x

f(1.5)=0.328427125>0

则x

因为︱1.375-1.4375 ︱ =0.0625<0.1 所以原方程的近似解可取1.4375

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练习:
B

B

1.375

例1:若函数

f ? x ? ? x ? 3x ?1求零点时,
3

第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一 个零点x0∈ ,第二次应计算 ,

以上横线上应填的内容为 A. (0 , 0.5)
C. (0.5 , 1)

(

A)

f(0.25)
f(0.75)

B. (0 , 1)

f(0.25)

D. (0 , 0.5) f(0.125)
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例2:若函数 f ? x ? ? x ? x ? 2x ? 2 的 一个正数零点附近的函数值用二分法计
3 2

算,其参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1. 5)=0. 625 f(1. 25)=-0.984 f(1.375)=-0.26 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0的一个近 似根(精确到0.1)为 (

C)

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4 D. 1.5
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