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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:21 不等式证明(教师版) ]


不等式证明 证明不等式的基本方法有:求差(商)比较法,综合法,分析法,有时用反证 法,数学归纳法。均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧。 不等式的证明往往与其它知识(如函数的性质)综合起来考查。 例 1:若 0 ? x ? 1 ,证明 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) , ( a ? 0 且 a ? 1) 。 分析 1: 用作差法来证明。 需分为 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况, 去掉绝对值符号, 然后比较法证明。 解法 1:当 a ? 1 时,因为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 , 所以 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x2 ) ? 0 。 当 0 ? a ? 1 时,因为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 , 所以 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x 2 ) ? 0 。 综上, loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) 。 分析 2:直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号。 解法 2:作差比较法。因为 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ?

lg(1 ? x) lg(1 ? x) ? lg a lg a

?

1 ?lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? ? 1 ?? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x)? ? ? 1 lg(1 ? x 2 ) ? 0 , lg a lg a lg a

所以 loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) 。 说明:解法 1 用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号; 解法 2 用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法 自然简捷、明快。 补充: (比较法)已知 a ? 2 ,求证: log?a?1? a ? loga ?a ? 1? 。 解法 1: log?a ?1? a ? loga ?a ? 1? ?

1 ? ?loga ?a ? 1?? ? ?loga ?a ? 1?? 1 ? loga ?a ? 1? ? 。 loga ?a ? 1? loga ?a ? 1?

因为 a ? 2 ,所以, loga ?a ? 1? ? 0, loga ?a ? 1? ? 0 ,所以,
loga ?loga ?a ? 1?? ? ?loga ?a ? 1?? ? ? ? ?
a

?a ? 1? ? loga ?a ? 1?? 2
2

?log ?a ?

?1

4

?? ? ?log
2

2

? ?

a

a2 4

?

2

?1

所以, log?a?1? a ? loga ?a ? 1? ? 0 ,命题得证。 解法 2:因为 a ? 2 ,所以, loga ?a ? 1? ? 0, loga ?a ? 1? ? 0 , 所以,

loga ?a ? 1?

log?a ?1? a

1 ?

loga ?a ? 1? 1 , ? loga ?a ? 1? ?loga ?a ? 1?? ? ?loga ?a ? 1??

由解法 1 可知:上式 ? 1 。故命题得证。 例 2:设 a ? b ? 0 ,求证: a a bb ? a bb a . 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难。考虑到两边都是正数,可以作 商,判断比值与 1 的大小关系,从而证明不等式。 证明:
a a a abb a ? a a ?b ? b b?a ? ( ) a ?b ,∵ a ? b ? 0 ,∴ ? 1, a ? b ? 0. ∴ ( ) a ?b ? 1 b a b b b a b



a abb ? 1 . 又∵ a bb a ? 0 ,∴ a a bb ? a bb a . 。 a bb a

说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法)。作商比较法证明 不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与 1 的大小。 例 3:对于任意实数 a 、 b ,求证
a 4 ? b4 a?b 4 ?( ) (当且仅当 a ? b 时取等号) 。 2 2

分析:这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中 有(
a?b 4 ) ,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式: a 2 ? b2 ? 2ab 出发, 2

再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a 2 ? b 2 时取等号)

两边同加 (a4 ? b4 ) : 2(a4 ? b4 ) ? (a2 ? b2 )2 ,即:

a 4 ? b4 a 2 ? b2 2 ?( ) (1) 2 2

又:∵ a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取等号) , 两边同加 (a2 ? b2 ) : 2(a2 ? b2 ) ? (a ? b)2 ∴
a 2 ? b2 a?b 2 a 2 ? b2 2 a?b 4 ?( ) ,∴ ( ) ?( ) (2) 2 2 2 2 a 4 ? b4 a?b 4 ?( ) (当且仅当 a ? b 时取等号) 。 2 2

由(1)和(2)可得

说明:此题参考用综合法证明不等式。综合法证明不等式主要是应用均值不等 式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后 可以考虑用综合法来解。
1 1 1 例 4:已知 a 、 b 、 c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证 ? ? ? 9. a b c 1 1 1 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 ? ? 通分,则会把不等式 a b c

变得较复杂而不易得到证明。由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为
b a 具有“倒数”特征的形式,比如 ? ,再利用“均值定理”就有可能找到正确的 a b

证明途径,这也常称为“凑倒数”的技巧。
1 1 1 a ?b?c a ?b?c a ?b?c ? ? 证明:∵ a ? b ? c ? 1 ∴ ? ? ? a b c a b c b c a c a b b a c a c b ? (1 ? ? ) ? ( ? 1 ? ) ? ( ? ? 1) ? 3 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a a b b c c a b a c b c

∵ ∴

c a c b b a b a ? ? 2 ? ? 2 ,同理: ? ? 2 , ? ? 2 。 a c b c a b a b

1 1 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9. a b c

说明:此题考查了变形应用综合法证明不等式。题目中用到了“凑倒数” ,这 种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以 期达到可以“凑倒数”的目的。

例 5:已知 a ? b ? c ,求证:

1 1 1 ? ? ? 0。 a ?b b?c c?a

分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以 用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程。 (分析法书写过程)证明 1:为了证明 只需要证明
1 1 1 ? ? a?b b?c a ? c

1 1 1 ? ? ?0 a ?b b?c c?a

1 1 1 ? , ?0 a?b a?c b?c 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ∴ 成立∴ ? ? 0 成立 a?b b?c a ? c a ?b b?c c?a

∵ a ? b ? c ∴ a ? c ? a ? b ? 0, b ? c ? 0 ∴

(综合法书写过程)证明 2:∵ a ? b ? c ∴ a ? c ? a ? b ? 0, b ? c ? 0 ∴
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? , 成立,∴ ? ? 0 ,∴ ? ?0 a?b a?c b?c a?b b?c a ? c a ?b b?c c?a

成立 说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起 应用,混合应用时,应用语言叙述清楚。 例 6:已知 a ? b ? 0 ,求证:
( a ? b) 2 a ? b ( a ? b) 2 ? ? ab ? 。 8a 2 8b

分析:欲证不等式看起来较为“复杂” ,宜将它化为较“简单”的形式,因而 用分析法证明较好。 证明:欲证 即要证 ? ? 即要证
( a ? b) 2 ( a ? b) 2 ( a ? b) 2 a ? b ( a ? b) 2 ? ? ab ? ? a ? b ? 2 ab ? ,只须证 。 8a 2 8b 4a 4b
2 2

? a ?b? ? a ?b? a?b a?b 2 ? a? b? 。 ? ? ? ? ( a ? b) ? ? ? ? ,即要证 2 a 2 b ?2 a? ?2 b?
a? b 2 a b a ?1? a? b 2 b a b

,即要证

a? b a

?2?

a? b b



即要证 1 ?

?2?

? 1 ,即

b a b a ?1? ,即要证 ? 1 ? (*) a b a b
( a ? b) 2 a ? b ( a ? b) 2 ? ? ab ? 8a 2 8b

∵ a ? b ? 0 ,∴(*)显然成立,故

说明:分析法证明不等式,实质上是寻求结论成立的一个充分条件。分析法通常

采用“欲证—只要证—即证—已知”的格式。 例 7:设 n 是正整数,求证 ?
1 1 1 ? ? ?? ? 1。 n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 分析:要求一个 n 项分式 的范围,它的和又求不出来,可 ? ??? n ?1 n ? 2 2n 1 2

以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围。
1 1 1 ? ? 。 2n n ? k n 1 1 1 1 1 1 当 k ? 1 时, ? ? ? ...... ? ;当 k ? 2 时, 2n n ? 2 n 2n n ? 1 n 1 1 1 1 n 1 1 1 n 当 k ? n 时, ? ? ,∴ ? ? ? ? ?? ? ?1。 2n n ? n n 2 2n n ? 1 n ? 2 2n n

证明:由 2n ? n ? k ? n (k ? 1,2, ?, n) ,得

说明 1 :用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境。例如证明
1 1 1 7 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 。由 2 ? ? ,如果从第 3 项开始放缩,正好可证明;如 2 4 k ?1 k 1 2 n k

果从第 2 项放缩,可得小于 2。当放缩方式不同,结果也在变化。 说明 2:放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子, 扩大分母,分式值缩小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求, 第一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩后 便于求和。 例 8:求证 1 ? 证明:∵
1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 。 2 2 3 n

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) , n 2 n n n(n ? 1) n ? 1 n

∴1 ?

1? 1 1 1 1 ? 1 ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 2 ? ?? 2 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2。 2 2 3 n n ?1 2 ? ? 2 3? ? n ?1 n ?

说明:此题证明过程并不复杂,但思路难寻。本题所采用的方法也是解不等式 时常用的一种方法,即放缩法。这类题目灵活多样,需要巧妙变形,问题才能化 隐为显,这里变形的这一步极为关键。 例 9:证明不等式: 1 ?
1 2 ? 1 3 ??? 1 n ? 2 n , ?n ? N ? 。

讲解:此题为与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法证明。 解法 1:①当 n ? 1 时命题成立。 ②假设 n ? k ?k ? N ? 时命题成立,即: 1 ?
1 2 1 2 1 3 ? 1 3 ??? 1 k 1 k ?2 k 。 1 k ?1
1 k ?1

则当 n ? k ? 1 时,不等式的左端 ? 1 ? 不等式的右端 ? 2 k ? 1 。

?

???

?

?2 k ?

? 1 1 ? ? 由于 2 k ? 1 ? ? ? ?2 k ? ? ? 2 k ?1 ? k ? k ?1 k ?1 ? ?
? 2 k ?1 ? k ?1
1 k ?1

?

?

2 k ?1 ? k

?

1 k ?1

?

1 k ?1

?0。

所以, 2 k ?

? 2 k ? 1 ,即 n ? k ? 1 时命题也成立。

由①②可知:原不等式得证。 从上述证法可以看出:其中用到了 k ? k ? 1 这一事实,从而达到了
2 k ?1 ? k



1 k ?1

之间的转化,也即 2 k ? 1 ? k 和

?

?

1 k ?1

之间的转化,这就

提示我们,本题是否可以直接利用这一关系进行放缩?观察原不等式,若直接证 明, 直接化简是不可能的, 但如果利用 则可以达到目的,由此得解 2。 解法 2:因为对于任意自然数 k ,都有
1? 1 2 ? 1 3 ??? 1 n

1 k

?

2 k ? k ?1

? 2 k ? k ? 1 进行放缩,

?

?

1 k

?

2 k ? k ?1

? 2 k ? k ? 1 ,所以,

?

?

? 2 1 ? 0 ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ? 2 ? ? ? 2 n ? n ? 1 ,从而不等式得证。 ?2 n

?

? ?

? ?

?

?

?


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