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山东大学卧龙东校区2013届高三竞赛(数学理)


卧龙东校区高三理科数学竞赛试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知实数集 R,集合 M ? {x | x ? 2 ? 2}, 集合 N ? {x | y ?

1 } ,则 x ?1

M ? ?C R N ?

=(

) C. {x |1 ? x ? 4} D. {x |1 ? x ? 4} )

A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1}

2. 直线 l1 :kx+(1-k)y-3=0 和 l2 :(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直,则 k=( A. -3 或-1 3. 函数 y ? sin x sin( A. B. 3 或1 C. -3 或1 ) D. 4π D. -1 或 3

?
2

? x) 的最小正周期是(

π 2

B.

?

C. 2π

4. 如图,正三棱柱 ABC- A1 B1C1 的各棱长均为 2,其正(主)视图如图所示,则此三棱柱 侧(左)视图的面积为( A. 2 2 C. B. 4 D. 2 3 )

3

5.设 ?、? 为两个不同的平面,m 、n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? ,有两个命题:

p :若 m // n ,则 ? / / ? ; q :若 m ? ? ,则 ? ? ? ;那么(
A.“ p 或 q ”是假命题 C.“非 p 或 q ” 是假命题 B.“ p 且 q ”是真命题 D.“非 p 且 q ”是真命题

)

6. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 ) C、 4 D、 2 5

1

7. 函数 y=lg

1 |的大致图象为( | x ? 1|

)

8. 设 p:|4x-3|≤1,q: x 2 -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非 p 是非 q 的必要而不充分条件,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ? 2 C. (-∞,0]∪ ? , ?? ? ?2 ? ) B. ? 0,

? 1? ? ? ?1 ?

? ?

1? ? 2? ?1 ? , ?? ? ?2 ?
S12 S10 =2,则 S 2 012 的值等 ? 12 10

D.(-∞,0)∪ ?

9. 在等差数列 an ? 中, a1 =-2 012 ,其前 n 项和为 S n ,若 于( ) B. -2 012 C. -2 010

?

A. -2 011

D. -2 013
x

? 1? 10. 偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1), 且在 x∈[0, 1]时,f(x)=x , 则关于 x 的方程 f(x)= ? ? , ? 10 ?
在 x∈[0,4]上解的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4 )

11. 已知实数 x,y 满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|,且 ? 1 ? y ? 1 ,则 z=2x+y 的最大值( A. 6 B. 5 C. 4 D. -3

12. 在△ABC 中,E、F 分别为 AB,AC 中点.P 为 EF 上任一点,实数 x,y 满足 PA +x PB + y PC =0.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为 S, S1 , S 2 , S3 ,记

??? ?

??? ?

??? ?

S S1 S ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则 ?2 ? ?3 取最大值时,2x+y 的值为( ) S S S 3 3 A. -1 B. 1 C. - D. 2 2
2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 13.已知直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 经过圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心,则 小值为 . .

1 1 ? 的最 a b

14.不等式 | x ? 3| ? | x ? 1|? a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为

x2 y 2 3 15.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线与 a b 2
椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为

16.对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 , … , in ) ( n 是不小于 3 的正整数) ,若对任意的

p, q ? {1, 2,3 … , n} ,当 p ? q 时有 i p ? iq ,则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中
所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于 2.若数组
(i1 , i2 , i3 , …, in ) 的逆序数为 n ,则数组 (in , in ?1 , …, i1 )的逆序数为

.

三、 解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos

? A 2 5 ??? ???? , AB ? AC =3. ? 2 5

(Ⅰ) 求△ABC 的面积; (Ⅱ) 若 c=1,求 a、sinB 的值.

18. (本题满分 12 分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, O 是 AC 与 BD 的交点,
SO ? 平面 ABCD , E 是侧棱 SC 的中点,异面直线 SA 和 BC 所成角的大小是 60 ? .

(Ⅰ)求证:直线 SA //平面 BDE ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 SBC 所成角的正弦值.

3

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP⊥AB,AB=BC=

1 AP=2,D 是 AP 的中点,E, 2

F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD.

(Ⅰ1) 求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (Ⅱ) 求二面角 G-EF-D 的大小;

20. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 5 且 an ? 2an ?1 ? 2 ? 1 ( n ? 2 且 n ? N * ).
n

(Ⅰ)证明:数列 ?

? an ? 1 ? ? 为等差数列; n ? 2 ?

(Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0) F2 (1,0) , ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点,且|PQ|=3, (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切圆的面积是否 存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程; 若不存在, 请说明理由.

22.(本题满分 14 分)

4

1 1 已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ). 2 2
(Ⅰ)若 x ?

1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2

1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数; 2 1 (Ⅲ)若对任意的 a?(1,2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求 .. .. 2
实数 m 的取范围.

卧龙东校区高三理科数学竞赛试题参考答案 一、 选择题 1. B 2 C 3 B 4 D 5 D 6 B 7 D 8 A 9 B 二、填空题:13. 4 14. ( ??, ?1? ? ?4, ?? ? 15.
2

10 D 11 B 16.

12 D

x2 y 2 ? ?1 20 5

n 2 ? 3n 2

?2 5? 3 三、 解答题 17. 解: (1) cosA=2×? ? -1= , ? 5 ? 5 ? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 3 而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | cosA= bc=3 , ∴bc=5 又 A∈ ( 0 , π ) , 5 4 1 1 4 ∴sinA= ∴S= bcsinA= × 5× =2. ………………………………………6 分 5 2 2 5
(2) ∵bc=5,而 c=1,∴b=5.∴ a 2 ? b 2 ? c 2 -2bccosA=20,a= 2 5 …………10 分

4 b sin A a b 5 ? 2 5 .……………12 分 ? 又 ,∴sinB= ? a 5 sin A sin B 2 5 5?
18.解: (Ⅰ)连结 OE , ? 四边形 ABCD 是正方形,? O 是 AC 的中 点,……………………………………2 分 又 ? E 是侧棱 SC 的中点,? OE // SA . ………………4 分 又 OE ? 平面 BDE , SA ? 平面 BDE ? 直线 SA //平面 BDE .…………………………5 分 (Ⅱ)建立如图空间坐标系,则 D(0, ?2 2,0), B(0,2 2,0), S (0,0,2 2), C( ?2 2,0,0).

??? ? ??? ? ??? ?BD ? (0, ?4 2,0), BC ? (?2 2, ?2 2,0), SB ? (0,2 2, ?2 2). ………7 分

5

? 设平面 SBC 的法向量 n ? ( x, y,1) ,则有

???? ? ?n?SB ? 0 ?2 2 y ? 2 2 ? 0 ? ? 即? ? ? ????? ?n?BC ? 0 ??2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ?

?y ?1 解得 ? ? x ? ?1

? ?n ? (?1,1,1). ………………………………………………9 分
直线 BD 与平面 SBC 所成角记为 ? ,
? ???? ? n?BD 4 2 3 sin ? ? ? ??? ? ? . ……………………………12 分 ? 3 3?4 2 n BD

19.解 (1) 证明:方法一: ∵PD⊥平面 ABCD∴PD⊥CD ∵CD⊥AD∴CD⊥平面 PAD ∵CD ? 平面 PCD∴平面 PCD⊥平面 PAD……………………………4 分 方法二:略(向量法) (2) 如图以 D 为原点,以 DA, DC , DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D-xyz. 则有关点及向量的坐标为: ………………………………5 分 G(1,2,0),E(0,1,1) ,F(0,0,1)

??? ???? ??? ? ?

???? ??? ? , EF =(0,-1,0) EG =(1,1,-1)……6
设平面 EFG 的法向量为 n =(x,y,z)



?

? ??? ? ?n ? EF ? 0 ?? y ? 0 ?x ? z ? ∴ ? ? ??? 第 19 题图 ?? ?? . ? n ? EG ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? y ? 0 ? ? ? ??? ? 取 n =(1,0,1) 平面 PCD 的一个法向量, DA =(1,0,0)…………………………………8 分
??? ? ? ??? ? ? DA ? n 2 2 ? ? ? ∴cos DA, n ? ??? ………………………………10 分 ? 2 | DA | ? | n | 2 2
结合图知二面角 G-EF-D 的大小为 45°……………………………12 分 20.解: (Ⅰ)设 bn ?

an ? 1 5 ?1 , b1 ? ? 2 ……………………………………………1 分 n 2 2

bn?1 ? bn ?

an?1 ? 1 an ? 1 1 ? n ? n?1 ?(an?1 ? 2an ) ? 1? = 1?1 ?(2n?1 ? 1) ? 1? ? 1 …………4 分 n ?1 ? 2 2 2 2n ?

? a ? 1? 所以数列 ? n n ? 为首项是 2 公差是 1 的等差数列.…………………………………5 分 ? 2 ?

6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

an ? 1 a1 ? 1 ? ? (n ? 1) ? 1, ?an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 …………7 分 2n 2

? Sn ? (2 ? 21 ? 1) ? (3 ? 22 ? 1) ? ? ? (n ? 2n?1 ? 1) ? [(n ? 1) ? 2n ? 1] ?Sn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ? n ……………………………………8 分

设 Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n
2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1.

① ②

②-①,得
Tn ? ?2 ? 21 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n?1 …………………………………11 分

所以 Sn ? n ? 2n?1 ? n ? n ? (2n?1 ? 1) ………………………………………………………12 分

21. 解: (1) 设椭圆方程为

x2 y 2 =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1 ? a 2 b2

2b 2 x2 y 2 由|PQ|=3,可得 =3, 解得 a=2,b= 3 ,故椭圆方程为 ? =1…………4 分 a 4 3
(2) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,不妨 y1 >0, y2 <0,设△ F1 MN 的内切圆的径 R,

1 (MN+ F1 M+ F1 N)R=4R 2 1 因此 S ?F1MN 最大,R 就最大, S ?AMN ? F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 , 2
则△ F1 MN 的周长=4a=8, S? F1MN ?

? x ? my ? 1 ? 由 题 知 , 直 线 l 的 斜 率 不 为 零 , 可 设 直 线 l 的 方 程 为 x=my+1 , 由 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 3 ?4

(3m 2 ? 4) y 2 +6my-9=0,
得 y1 ?

?3m ? 6 m 2 ? 1 , 3m 2 ? 4

y2 ?

?3m ? 6 m 2 ? 1 3m 2 ? 4

7

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, 则 S ?AMN ?

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12 m 2 ? 1 1 2 AB( y1 ? y2 )= y1 ? y2 = , 令 t= m ? 1 ,则 t≥1, 2 3m ? 4 2

则 S ?AMN ?

12 m 2 ? 1 12t 12 1 1 ? 2 ? , 令 f(t)=3t+ ,则 f′(t) =3- 2 , 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t t t

当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,

12 =3, 3 12 3 9 即当 t=1,m=0 时, S ?AMN ≤ =3, S ?AMN =4R,∴ Rmax = ,这时所求内切圆面积的最大值为 π.故直线 3 4 16 9 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 π………………12 分 16
有 f(t)≥f(1)=4, S ?AMN ≤

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a ,( x ? ? 1 ) ………………………1 分 22.解: f ?( x ) ? 2 ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax a ? ax 2 2

a2 ? 2 1 1 ( Ⅰ ) 由 已 知 , 得 f ?( ) ? 0 即 ? , ?a 2 ? a ? 2 ? 0,? a ? 0,?a ? 2. 经 检 验 , a ? 2 满 足 条 2 2a 2
件.………………4 分 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?

a2 ? 2 1 a2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) ? ? ? ? 0, 2a 2 2a 2a

?

a2 ? 2 1 ? , ……………………………………………………………5 分 2a 2

2ax a2 ? 2 1 时, x ? ? 0, ? 0 .又 1 ? ax 2 2a ?1 ? f ?( x ) ? 0, 故 f ( x ) 在 ? , ?? ) 上是增函数………………………6 分 ?2

?当 x ?

1 1 1 (Ⅲ)当 a ? (1,2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( ? a) ? 1 ? a, 2 2 2 1 1 于是问题等价于:对任意的 a ? (1,2) ,不等式 ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立.…8 分 2 2 1 1 记 g (a) ? ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1),(1 ? a ? 2) 则 2 2 g ?(a) ? 1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)], ………………9 分 1? a 1? a a (1, 上递减, g (1) ? 0 , 2) 且 ? 0 ? g ) 在区间 , ( a 1? a

当 m ? 0 时, 2ma ? (1 ? 2m) ? 2m(a ? 1) ? 1 ? 0 , 有 且

则 m ? 0 不可能使 g (a ) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0. …………11 分 当 m ? 0 ,且 g ?(a) ?
第 8 页(共 9 页)

2ma 1 [a ? ( ? 1)]. 1? a 2m
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1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a ) 在区间 D ? (1,min{2, ? 1}) 上递减,在此区间 D 上有 g ( a ) ? g (1)? 0,与 2m 2m 1 ? 1 ? 1 ,这时 g ?(a ) ? 0 ,即 g (a ) 在(1,2)上递增,恒有 g (a ) ? g (1) ? 0 满足 2m

g (a ) ? 0 恒成立矛盾,故

题设要求.

?m ? 0 1 ? ,即 m ? ,……………………………………………………………13 分 ?? 1 4 ? 2m ? 1 ? 1 ?

1 所以实数 m 的取值范围为 [ , ??) .…………………………………………………14 分 4

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