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专题09 指数函数(解析版)


专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数幂的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查

例 1、求下列函数的定义域和值域. 2?-|x+1| 2x (1)

y=? ; (2) y = ;(3)y= ?3? 2x+1 .

【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时,注意构造函数利用单调性去比较,有时需要借助于中间量如 0,1 判断. (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题,要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用. 【举一反三】 已知函数 f(x)= .

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

【热点题型】 题型二 指数函数的图象及应用

例 2、(1)已知函数 f(x)=(x-a)· (x-b)(其中 a>b),若 f(x)的图象如图所示,则函数 g(x)= ax+b 的图象是( )

(2)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________.

【答案】

(1)A (2)[-1,1]

【提分秘籍】 1.与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、 对称变换得到其图象. 2.y=ax,y=|ax|,y=a|x|(a>0 且 a≠1)三者之间的关系: y=ax 与 y=|ax|是同一函数的不同表现形式. 函数 y=a|x|与 y=ax 不同,前者是一个偶函数,其图象关于 y 轴对称,当 x≥0 时两函数图 象相同. 【举一反三】 当 a≠0 时,函数 y=ax+b 和 y=bax 的图象只可能是下图中的( )

【热点题型】 题型三 分类讨论思想在指数函数中的应用

例 3、设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

【提分秘籍】 分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题,一般情况下,当指数函数的底数不 明确时,要分 a>1 或 0<a<1 两种情况讨论. 本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性,解题时,换元后由于底数 a 取值不定故要分两种情况进行讨论. 【举一反三】 若指数函数 y=ax 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a=________.

【高考风向标】 1. (2014· 福建卷)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 11 所示,则下列函数图像正 确的是( )

图 11

A

B

C

D

2. (2014· 江西卷)已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若 f[g(1)]=1,则 a=( A.1 B.2 C.3 D.-1

)

【答案】A 【解析】g(1)=a-1,由 f[g(1)]=1,得 5|a 1|=1,所以|a-1|=0,故 a=1.


1 1 11 3. (2014· 辽宁卷)已知 a=2- ,b=log2 ,c=log ,则 ( 3 3 23 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【答案】C

)

1 1 11 11 【解析】因为 0<a=2- <1,b=log2 <0,c=log >log =1,所以 c>a>b. 3 3 23 22 4. (2014· 山东卷)设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 【答案】C 【解析】根据已知得,集合 A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以 A∩B={x|1≤x<3}. 故 选 C. 5. (2014· 山东卷)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > 2 x +1 y +1
2

)

)

B. ln(x2+1)>ln(y2+1) D. x3>y3

C. sin x>sin y

6. (2014· 陕西卷)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)· f(y)”的单调递增函数是( 1 A.f(x)=x 2 B.f(x)=x3

)

1?x x C.f(x)=? ?2? D.f(x)=3

7. (2014· 陕西卷)已知 4a=2,lg x=a,则 x=________. 【答案】 10 1 1 1 【解析】由 4a=2,得 a= ,代入 lg x=a,得 lg x= ,那么 x=10 = 10. 2 2 2

8. (2013· 安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 x 的解集为( )

? 1 ?)x<-1 或 x>2,则 f(10x)>0 ?

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2} 【答案】D 1 1 【解析】根据已知可得不等式 f(x)>0 的解是-1<x< ,故-1<10x< ,解得 x<-lg 2. 2 2 9. (2013· 湖南卷)设函数 f(x)=ax+bx-cx,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b, c)∈M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为________; (2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是________.(写出所有正确结论 的序号) ① ② ∈(-∞,1),f(x)>0; ∈R,使 ax,bx,cx 不能构成一个三角形的三条边长; ∈(1,2),使 f(x)=0.

③若△ABC 为钝角三角形,则

10. (2013· 浙江卷)已知 x,y 为正实数,则( A.2lg x
+lg

)

y

=2lg x+2lg y B.2lg(x

+y)

=2lg x· 2lg y

lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y

【答案】D 【解析】∵lg(xy)=lg x+lg y,∴2lg(xy)=2lg x 【随堂巩固】 4 1 1.已知 a< ,则化简 a- 2的结果是( 4 A. 4a-1 C. 1-4a 【答案】C 1 2 B.- 4a-1 D.- 1-4a )
+lg

y

=2lgx2lgy,故选择 D.

【解析】

4

a- 2=
-|x|

4

-4a2=(1-4a)

= 1-4a. )

2.设函数 f(x)=a A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2)

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则( B.f(-1)>f(-2)

D.f(-2)>f(2)

aπ 3.若点(a,9)在函数 y=3x 的图像上,则 tan 的值为( 6 A.0 C. 1 B. D. 3 3 3

)

4.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是(

)

5.给出下列结论: 3 2

①当 a<0 时,(a2)

=a3;

n ② an=|a|(n>1,n∈N+,n 为偶数); 1 2 7 -(3x-7)0 的定义域是{x|x≥2 且 x≠ }; 3

③函数 f(x)=(x-2)

1 ④若 2x=16,3y= ,则 x+y=7. 27 其中正确的是( )

A.①② C.③④

B.②③ D.②④

6.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( 1 A. 2 C .4 B.2 1 D. 4

)

7. 设 a>0 且 a≠1, 则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数” 的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.若 x>0,则(2x 【答案】-23

1 4

+3

3 2

)(2x

1 4

-3

3 2

1 - 2 )-4x

(x-x

1 2

)=________.

【解析】原式=(2x

1 4

)2-(3

3 2

1 1 1 1 1 1- - + 2 2 2 2 2 )2-4x +4x =4x -33-4x +4=-23.

9.若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则 a=________.

10.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________.

1?x-2 + -x x 11.已知 2x2 x≤? ?4? ,则函数 y=2 -2 的值域是________.

-2x+b 12.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

13.已知 f(x)=3x,并且 f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x 的定义域为[-1,1]. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)判断 g(x)的单调性; (3)若方程 g(x)=m 有解,求 m 的取值范围.


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