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高一数学必修一经典高难度测试题含答案


高中数学必修 1 复习测试题(难题版)
?1? 1.设 a ? log1 5 , b ? 3 5 , c ? ? ? ,则有( ) 5 ? ? 3 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b
1

0.3

D. a ? c ? b

2.已知定义域为 R 的函数 f

( x) 在 (4, ? ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? 4 ,则( A. f (2) ? f (3) B. f (2) ? f (5) C. f (3) ? f (5) D. f (3) ? f (6)



3.函数 y ? lg x 的图象是(



1

4.下列等式能够成立的是( A. 6 (3 ? ? ) 6 ? 3 ? ?

) B.12 (?2) 4 ? 3 ?2 C.
3

9 ?33

D. 4 x3 ? y3 ? ( x ? y) 4

3

5.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( 3 3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) B. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2 2 3 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) D. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 2



2

6.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 y ? f ( x) 在 R 上的解析式为 A. f ( x) ? ? x( x ? 2) B. f ( x) ?| x | ( x ? 2) C. f ( x) ? x(| x | ?2) D. f ( x) ?| x | (| x | ?2)

7.已知函数 y ? log a (2 ? ax) 在区间 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (1, 2) C. (0, 2) D. (2, ??)



解析: 本题的关键是要注意到真数与底数中两个参量 a 是一样的,可知 a>0 且 a≠1,然后根据复合函数的单调性即可解决. 3

解: 先求函数定义域: 由 2-ax>0,得 ax<2, 又 a 是对数的底数,

∴a>0 且 a≠1.∴x<

.

由递减区间[0,1]应在定义域内,

可得

>1,∴a<2.

又 2-ax 在 x∈[0,1]上是减函数



在区间[0,1]上也是减函数

由复合函数单调性可知 a>1, ∴1<a<2.

8.已知 A

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log a x, x ? 1 ?
(0,1)

( )

B

1 (0, ) 3

C

1 1 [ , ) 7 3

D

1 [ ,1) 7

9.定义在 R 上的偶函数

f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? [?1,0] 时 f ( x) ? ? ?
4

?1? , ?2?

x

则 f (log 2 8) 等于 ( A.
3


1 8

B.

C. ?2

D. 2

10.函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 g ( x) ? 2? x ?1 在同一直角坐标系下的图象大致是(



? x 2 ? 1( x ? 0) 11.已知 f(x)= ? 若 f ( x) ? 10 ,则 x ? ? 2 x( x ? 0)



5

12.若 x ?

1 ,则 x 的取值范围是____________ x

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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?5? ?7? 13. 设 函 数 f ?x ? 在 (0,2) 上 是 增 函 数 , 函 数 f ?x ? 2? 是 偶 函 数 , 则 f ?1? 、 f ? ? 、 f ? ? 的 大 小 关 系 是 ?2? ?2? __________ _.

6

14.若 f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3 是偶函数,则函数 f(x)的增区间是



∵函数 f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3 是偶函数, ∴a-1=0 ∴f(x)=-x2+3,其图象是开口方向朝下,以 y 轴为对称轴的抛物线 故 f(x)的增区间(-∞,0] 故答案为:(-∞,0]

15.已知函数 f(x)=2|x+1|+ax(x∈R). (1)证明:当 a>2 时,f(x)在 R 上是增函数. (2)若函数 f(x)存在两个零点,求 a 的取值范围.
7

(a+2)x+2,x ≥-1 ? 15.(1)证明:化简 f(x)= ? (a-2)x-2,x<-1 ?

因为 a>2,所以,y1=(a+2)x+2 (x≥-1)是增函数,且

y1≥f(-1)=-a;另外,y2=(a-2)x-2 (x<-1)也是增函数,且 y2<f(-1)=-a. 所以,当 a>2 时,函数 f(x)在 R 上是增函数. (2)若函数 f(x)存在两个零点,则函数 f(x)在 R 上不单调,且点(-1,-a)在 x 轴下方,所以 a 的取值应满足
(a+2)(a-2)<0 ? 解得 a 的取值范围是(0,2). ? ?-a<0

16.试用定义讨论并证明函数 f ( x) ?

ax ? 1

1 (a ? ) 在 ? ??, ?2 ? 上的单调性 x?2 2

8

17.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 2 x ?1 ? a

是奇函数。

(1)求 a , b 的值; (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围;

9

解:(1)因为

是奇函数,所以

,即

,解得

从而有



又由



,解得

(2)解法一:由(1)知



由上式易知



上为减函数,

又因

是奇函数,从而不等式

等价于





是减函数,由上式推得



即对一切





从而

,解得

10

解法二:由(1)知

,又由题设条件得



整理得

,因底数

,故

上式对一切

均成立,从而判别式

,解得



18.已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 4 ? 2 x ? 1 , ,求函数 f ( x) 的定义域与值域.

11

x 18.解:由 4 ? 2 ? 0 ,得 2 ? 4 .
x

解得 x ? 2 ? 定义域为 x x ? 2 则 y ? 4 ? t 2 ? 2t ? 1 ? ?(t ? 1) 2 ? 4 .

?

?

令 4 ? 2x ? t , 9 分

∵ 0 ? t ? 2 ,∴ ? 5 ? y ? 3 ,∴值域为 (?5,3] .

19.设 f ( x) ? 4x 2 ? 4(a ? 1) x ? 3a ? 3(a ? R) ,若 f ( x) =0 有两个均小于 2 的不同的实数根,则此时关于 x 的不等式 (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 是否对一切实数 x 都成立?请说明理由。

12

?? ? 16(a ? 1) 2 ? 16(3a ? 3) ? 0 ? ?a ?1 ?2 19.解:由题意得 ? ? 2 ? ? f (2) ? 16 ? 8(a ? 1) ? 3a ? 3 ? 0

得 2? a ?

11 或 a ? ?1 ; 5

若 (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 对任意实数 x 都成立,则有: (1)若 a ? 1 =0,即 a ? ?1 ,则不等式化为 x ? 2 ? 0 不合题意 (2)若 a ? 1 ? 0,则有 ?

?a ? 1 ? 0
2 ?a ? 4(a ? 1)(a ? 1) ? 0

得a ? ?

2 3 , 3

综上可知,只有在 a ? ?

2 3 时, (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 才对任意实数 x 都成立。 3

∴这时 (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 不对任意实数 x 都成立

20.已知函数 f ( x) ? log m

x?3 x?3 (1)若 f ( x) 的定义域为[ ? , ? ]( ? ? ? ? 0 ),判断 f ( x) 在定义域上的增减性,并加以证明. (2)若 0 ? m ? 1 ,使 f ( x) 的值域为[ logm m(? ? 1), logm m(? ? 1) ]的定义域区间[ ? , ? ]( ? ? ? ? 0 )

是否存在?若存在,求出[ ? , ? ],若不存在,请说明理由.

13

20. 解: (1)? f ( x) 的定义域为[ ? , ? ]( ? ? ? ? 0 ),则[ ? , ? ] ? (3,??) 。设 x1 , x2 ? [ ? , ? ],则 x1 ? x2 , 且 x1 , x2 ? 3 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? logm

x1 ? 3 x ?3 ( x ? 3)(x2 ? 3) = logm 1 ? logm 2 x1 ? 3 x2 ? 3 ( x1 ? 3)(x2 ? 3)


? ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? 6( x1 ? x2 ) ? 0

? ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? ( x1 ? 3)(x2 ? 3)



( x1 ? 3)(x2 ? 3) ?1 , ( x1 ? 3)(x2 ? 3)

∴当 0 ? m ?1 时, lo g m

( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 当 m ? 1 时 , ( x1 ? 3)(x2 ? 3)

lo g m

( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故当 0 ? m ? 1 时, f ( x) 为减函数; m ? 1 时, f ( x) 为增函数。 ( x1 ? 3)(x2 ? 3)

(2)由(1)得,当 0 ? m ? 1 时, f ( x) 在[ ? , ? ]为递减函数,∴若存在定义域[ ? , ? ]( ? ? ? ? 0 ),使值域为

? ?3 ? lo gm ? lo gm m(? ? 1) ? ? ?3 ? [ logm m(? ? 1), logm m(? ? 1) ] ,则有 ? ?lo gm ? ? 3 ? lo gm m( ? ? 1) ? ? ?3 ?
x?3 ? m( x ? 1) 的两个解 x?3
解得当 0 ? m ?

?? ? 3 ? m(? ? 1) ? ?? ? 3 ∴? ? ? ? 3 ? m( ? ? 1) ? ?? ? 3

∴ ? , ? 是方程

?1 ? 2m ? 16m 2 ? 16m ? 1 1 ? 2m ? 16m 2 ? 16m ? 1 ? 2? 3 , 时,[ ? , ? ]= ? ?, 2 m 2 m 4 ? ? ? ?



2? 3 ? m ? 1 时,方程组无解,即[ ? , ? ]不存在。 4

14


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