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【锁定高考】2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第4节 三角函数的图像与性质 文


【锁定高考】 (新课标版)2015 届高考数学一轮总复习(基础达标+ 提优演练)第 3 章 第 4 节 三角函数的图像与性质 文
A 组 基础达标 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,8, 9 一、 选择题(每小题 5 分,共 25 分) π? ? 1.(2014·天津一中模拟)设函数 f(x)=sin?2x- ?,x∈R,则 f(x)是(B) 2? ? A. 最小正周期为 π 的奇函数 B. 最小正周期为 π 的偶函数 π C. 最小正周期为 的奇函数 2 π D. 最小正周期为 的偶函数 2 π? 2π ? 解析: ∵f(x)=sin?2x- ?=-cos 2x,∴T= =π ,且 f(x)为偶函数. 2 2 ? ? 2. (2013·潍坊模拟)函数 y= 1 cos x- 的定义域为(C) 2

? π π? A. ?- , ? ? 3 3?
π π? ? B. ?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 3 3? ? π π? ? C. ?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 3 3? ? D. R 1 1 π π 解析: ∵cos x- ≥0,即 cos x≥ ,∴2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 2 2 3 3 π? ? 3.(2014·日照模拟)已知函数 f(x)=sin?2ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 π , 3? ? 则函数 f(x)的图像的一条对称轴方程是(C) π π A. x= B. x= 12 6 5π C. x= 12 π D. x= 3

π? 2π π ? 解析: 由 T=π = 得 ω =1,∴f(x)=sin?2x- ?,则 f(x)的对称轴为 2x- 3? 2ω 3 ? π 5π kπ 5π = +kπ (k∈Z) ,解得 x= + (k∈Z) ,∴x= 为 f(x)的一条对称轴. 2 12 2 12

? 2π ? 4.若函数 y=2cos ω x 在区间?0, ?上递减, 且有最小值 1, 则 ω 的值可以是(B) 3 ? ?
A. 2 B. 1 2 C. 3 D. 1 3

? 2π ? ? 2π ? 解析: 由 y=2cos ω x 在?0, ?上是递减的,且有最小值为 1,则有 f? ?=1, 3 ? ? ? 3 ?
1

2π ? 2π 1 ? 即 2×cos?ω × ?=1? cos ω = .检验各数据,得出 B 项符合. 3 ? 3 2 ? 5. (2014·遵义模拟)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1, 则它的图像的一个对称中心为(C)

? π ? ? 1 ? ?1 ? A. ?- ,0? B. (0,0) C. ?- ,0? D. ? ,0? ? 8 ? ? 8 ? ?8 ?
π? 2π ? 解析: 由条件得 f(x)= 2sin?ax+ ?,又函数的最小正周期为 1,故 =1,∴a 4 a ? ? π? π ? =2π ,故 f(x)= 2sin?2π x+ ?.f(x)的对称中心为 2π x+ =kπ ,k∈Z.解得 x 4? 4 ? 1 k =- + ,k∈Z,将各数据代入得 C 项符合. 8 2 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分)

?π ? 6. ( 2013· 北 京 朝 阳 月 考 ) 函 数 y = cos ? -2x? 的 单 调 递 减 区 间 为 ?4 ? ?kπ +π ,kπ +5π ?(k∈Z) W. ? ? 8 8 ? ?
π? π ?π ? ? 解析: 由 y=cos? -2x?=cos?2x- ?得 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z) , 4? 4 ?4 ? ? π 5π 故 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 π 5π ? ? ∴函数的单调递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ? 7. (2014·南京模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)

? π? ?5π ? 的最小正周期是 π ,且当 x∈?0, ?时, f(x)=sin x,则 f? ?的值为 2? ? ? 3 ?
解析: f?

3 2

W.

?5π ?=f?2π ?=f?-π ?=f?π ?=sin π = 3. ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ?3?
x(0≤x<2π )取得最大值时,x= 5π 6 W.

8. 当函数 y=sin x- 3cos

3 ?1 ? ? π? 解析: y=sin x- 3cos x=2? sin x- cos x?=2sin?x- ?. 3? ? 2 2 ? ? π π 5π 当 y 取最大值时,x- =2kπ + (k∈Z) ,∴x=2kπ + (k∈Z). 3 2 6 5π 又 0≤x<2π ,∴x= . 6 三、 解答题(共 10 分) π? ? ? π? ? π? 9. (2013·东营模拟)已知函数 f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?sin?x+ ?. 3 4? 4? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图像的对称轴;

? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的值域. ? 12 2 ?
π? ? ? π? ? π? 解析:(1)f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?sin?x+ ? 3? 4? ? 4? ? ?
2

1 3 = cos 2x+ sin 2 2 1 3 = cos 2x+ sin 2 2 1 3 = cos 2x+ sin 2 2

2x+(sin x-cos x) (sin x+cos x) 2x+sin x-cos x π? ? 2x-cos 2x=sin?2x- ?.(4 分) 6? ?
2 2

2π ∴最小正周期 T= =π , 2 π π kπ π 由 2x- =kπ + (k∈Z) ,得 x= + (k∈Z). 6 2 2 3 ∴函数图像的对称轴为 x= kπ π + (k∈Z).(6 分) 2 3

π ? π 5π ? ? π π? (2)∵x∈?- , ?,∴2x- ∈?- , ?, 6 ? 6 ? 3 ? 12 2 ? ∴- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1.(8 分) 6? 2 ? 3 ? ? ? π π? 即函数 f(x)在区间?- , ?上的值域为?- ,1?.(10 分) 12 2 ? ? ? 2 ? B 组 提优演练 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 4,7,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2014·乐陵一中模拟)已知函数 f ( x )= sin ( x + θ )+ 3cos ( x + θ ) ?θ ∈?-π ,π ??是偶函数,则 θ 的值为(B) ? ? 2 2 ?? ? ? ??

A. 0 B.

π 6

C.

π 4

D.

π 3

π? π ? 解析: 据已知可得 f(x)=2sin?x+θ + ?,若函数为偶函数,则必有 θ + =kπ 3? 3 ? π π π π ? π π? + (k∈Z) ,又由于 θ ∈?- , ?,故有 θ + = ,解得 θ = ,经代入检验符合 2 3 2 6 ? 2 2? 题意. 2. (2012·全国高考)已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= (ω x+φ )图像的两条相邻的对称轴,则 φ 等于(A) A. π 4 B. π 3 C. π 2 D. 3π 4 π 5π 和 x= 是函数 f(x)=sin 4 4

π 5π 解析:由于直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的对 4 4 π π 称轴, ∴函数 f (x) 的最小正周期 T=2π , ∴ω =1, ∴ +φ =kπ + (k∈Z) , 又 0<φ <π , 4 2

3

π ∴φ = . 4 π? ?π 3. (2013·山师大附中模拟)函数 y=2sin? x- ?(0≤x≤9)的最大值与最小值 3? ?6 之和为(A) A. 2- 3 B. 0 C. -1 D. -1- 3 π? π π π 7π 3 ?π ≤ x- ≤ ,∴- ≤sin ? x- ? ≤1,∴- 3 3? 3 6 3 6 2 ?6

解析: ∵0≤x≤9,∴- ≤2sin?

?π x-π ?≤2.∴函数 y=2sin?π x-π (0≤x≤9) ? 的最大值与最小值之和为 2- 3. ?6 3? 3? ?6 ? ? ?

? ?π ?? 4. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ ) ,其中 φ 为实数.若 f(x)≤?f? ??对 x∈R 恒成 ? ? 6 ?? ?π ? 立,且 f? ?>f(π ) ,则 f(x)的单调递增区间是(C) ?2?
π π? ? A. ?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 3 6? ? π 2π ? ? C. ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π? ? B. ?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ? π ? ? D. ?kπ - ,kπ ?(k∈Z) 2 ? ?

? ?π ?? ?π ? 解析: 由 f(x)=sin(2x+φ ) ,且 f(x)≤?f? ??对 x∈R 恒成立,∴f? ?=±1, ? ? 6 ?? ?6? ? π 即 sin?2× +φ 6 ? ?=±1.∴π +φ =kπ +π (k∈Z).∴φ =kπ +π (k∈Z).又 f?π ?>f ? ?2? 3 2 6 ? ? ?

(π ) ,即 sin(π +φ )>sin(2π +φ ) , π ∴-sin φ >sin φ .∴sin φ <0.∴对于 φ =kπ + (k∈Z) ,k 为奇数. 6 π? π? ? ? ∴f(x)=sin(2x+φ )=sin?2x+kπ + ?=-sin?2x+ ?(k∈Z). 6 6? ? ? ? π π 3π π 2π ∴由 2mπ + ≤2x+ ≤2mπ + (m∈Z) ,得 mπ + ≤x≤mπ + (m∈Z) , 2 6 2 6 3 π 2π ? ? ∴f(x)的单调递增区间是?mπ + ,mπ + ?(m∈Z). 6 3 ? ? 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 函数 y=f(cos π 2π ? ? x)的定义域为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) ,则函数 y=f(x) 6 3 ? ?

? 1 ? 的定义域为 ?- ,1? W. ? 2 ?
π 2π 解析: 由 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z) , 6 3 1 ? 1 ? 得- ≤cos x≤1.故所求函数的定义域为?- ,1?. 2 ? 2 ? 5π ? 2π ? 6. (2013·咸阳模拟) 设f (x) 是定义在 R 上且最小正周期为 的函数, 在?- ,π ? 3 ? 3 ?

4

2π ? ? ?sin x,x∈? ?- 3 ,0?, ? ? 上 f(x)=? ? ?cos x,x∈[0,π ).

? 16π 则 f?- 3 ?

?的值为 - 3 W. ? 2 ?

? 16π ?=f?-15π -π ?=f?-π ?=sin?-π ?=- 3. 解析: 由题意得 f?- ? ? ? ? 3? 3 ? 3 3? 2 ? ? ? ? ? 3? ? ?
1 7. (2014·北京四中模拟)关于函数 f(x)=sin x(cos x-sin x)+ 给出下 2 π ? π 5π ? 列四个命题:①函数 f(x)在区间? , ?上是减函数;②直线 x= 是函数 f(x)图像 8 ? 8 ?2 的一条对称轴;③函数 f(x)的图像可以由函数 y= 2 π sin 2x 的图像向左平移 个单位而 2 4

得到;④函数的最小正周期为 π .其中正确命题的序号是 ①②④ W.(将你认为正确命 题的序号都填上) 解析: 由题意知 f ( x )= sin xcos 1 1 2 x - sin x + = sin 2 2 1 2x + cos 2 2x = 2 2

π? π ?5π 3π ? ? ?π 5π ? sin?2x+ ?,对于命题①,∵x∈? , ?,∴2x+ ∈? , ?,∴y=f(x)为减函 4? 8 ? 2 ? 4 ? 4 ? ?2 π 2 2 π ?π ? ?π π ? 时, f? ?= sin? + ?= ,∴x= 是函数 8 8 ?8? 2 ?4 4? 2 π f(x)图像的对称轴,故②正确;对于命题③,应向左平移 个单位,故③不正确;对于④, 8 数,即①正确;对于命题②,当 x= 2π 函数的最小正周期为 T= =π ,故④正确.故正确的命题为①②④. 2 三、 解答题(共 15 分) 8. (7 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ ) (-π <φ <0) ,y=f(x)的图像的一条对称 π 轴是直线 x= . 8 (1)求 φ 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间. π 解析: (1)∵x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴, 8

? π ? ∴sin?2× +φ ?=±1. 8 ? ?
∴ π π π +φ =kπ + ,k∈Z.∴φ =kπ + ,k∈Z. 4 2 4

3π 又-π <φ <0,∴φ =- .(3 分) 4 3π ? ? (2)由(1)知 y=sin?2x- ?, 4 ? ? π 3π π 由题意得 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2

5

π 5π ∴kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z.(5 分) 8 8 3π ? ? ∴函数 y=sin?2x- ?的单调递增区间为 4 ? ?

?kπ +π ,kπ +5π ?,k∈Z.(7 分) ? 8 8 ? ? ?
π? ? 9. (8 分) (2014·瑞安质检)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 6? ?

? π? x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 2? ?
(1)求常数 a,b 的值;

? π? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ?π 7π ? ? π? 解析: (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 2? 6 ? 6 ?6 ? π? ? 1 ? π? ? ? ∴sin ?2x+ ?∈?- ,1?,∴-2asin ?2x+ ?∈[-2a,a]. 6 2 6? ? ? ? ? ? ∴f(x)∈[b,3a+b].(3 分) 又-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,∴a=2,b=-5.(4 分) (2)由(1)得 a=2,b=-5, π? ? ∴f(x)=-4sin ?2x+ ?-1, 6? ? 7π ? π? ? π? ? ? g(x)=f?x+ ?=-4sin ?2x+ ?-1=4sin ?2x+ ?-1, 2? 6 ? 6? ? ? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, π? ? ∴4sin ?2x+ ?-1>1, 6? ? π? 1 ? ∴sin ?2x+ ?> , 6? 2 ? π π 5π ∴2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z, (6 分) 6 6 6 π π π π 其中当 2kπ + <2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,g(x)单调递增,即 kπ <x≤kπ + ,k 6 6 2 6 ∈Z, π? ? ∴g(x)的单调递增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 6? ? π π 5π π π 又当 2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ + <x<kπ + , 2 6 6 6 3 k∈Z. π π ∴g(x)的单调递减区间为(kπ + , kπ + )k∈Z. 6 3

6



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