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高中数学竞赛讲义


二次函数与命题 一、基础知识 1.二次函数:当 a ? 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对称轴 为直线 x=- b b ,另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=,下同。 2a 2a 2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大 函

数值减小(简称递减) ,在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增) 。当 a<0 时, 情况相反。 3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0?③与 函数 f(x)的关系如下(记△=b2-4ac) 。 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是 {x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= ? {x|x ? ? b ,不等式②和不等式③的解集分别是 2a 3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公 共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。 4. 二次函数的最值: 若 a>0, 当 x=x0 时, f(x)取最小值 f(x0)= b }和空集 ? ,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 2a b 4ac ? b 2 ,若 a<0, 则当 x=x0= ? 2a 4a 4ac ? b 2 时,f(x)取最大值 f(x0)= .对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 4a x0∈ [m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出) 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题, “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联 结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题; “p 且 q”复合命 题只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论) ;逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q; 逆否命题:若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p ? q 否则记作 p ? q.在命题“若 p 则 q”中, 如果已知 p ? q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q ? p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p ? q 但 q 不 ? p,则称 p 是 q 的充分非必要条件;如果 p 不 ? q 但 p ? q,则 p 称为 q 的必要非充 分条件;若 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1.待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0

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