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必修一综合能力测试题五


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必修 5 综合能力测试题五 一.选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1.设集合 A ? ?x ? Q x ? ? 1? ,则( A. ? ? A 2.函数 f ( x ) ?
x ?1 x?2

/>
) C. 2 ? A ) C. ?1 , 2 ? D. ?1 , ? ? ? ) D.{y|-1 ? y ? 1 } D.

B. 2 ? A 的定义域为( B. ?1 , ?? ?

? 2? ?

A

A. ?1 , 2 ? ? ? 2 , ?? ?

3.若f(x)=x-1,x ? {0,1,2},则函数 f(x)的 值域是( A. {0,1,2} B.{y|0﹤y﹤2} C.{-1,0,1 }

4.下表表示一球自一斜面滚下 t 秒内所行的距离 s 的呎数(注:呎是一种英制长度单位) .

t s

0 0

1 10


2 40

3 90

4 160

5 250

当 t ? 2 . 5 时,距离 s 为 ( A.45 5.设集合 M
? {x | x ?

B.62.5
k 2 ? 1 4

C.70
k 4 ? 1 2

D.75
, k ? Z } ,则(

,k ? Z},N ? {x | x ?



N M A. M ? N B. M C. N 6.下列各组函数中,为同一函数的一组是( )

D. M ? N ? ?
?t ? 3 ?3 ? t ( t ? 3) ( t ? 3)

A. f ( x ) ? x 与 g ( x ) ? 2

lo g 2 x

B. f ( x ) ? 3 ? x 与 g ( t ) ? ?

C. f ( x ) ?

x ?9
2

x?3

与 g (x) ? x ? 3
1

D. f ( x ) ? lo g 3 x 与 g ( x ) ? 2 lo g 3 x
2

x 7.在同一坐标系中,函数 y ? ( ) 与 y ? lo g a ( ? x ) (其中 a ? 0 且 a ? 1 )的图象只可能是

a

y 1 o 1 A

y 1 o 1 B

y 1 x -1 o x C

y 1 o D ) -1 x

x

8.设 f ( x ) ? lo g a x (a>0,a≠1) ,对于任意的正实数 x,y,都有( A.f(xy)=f(x)f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y)
2

B.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)

9.若函 数 y ? x ? 4 x ? 2 的定义域为 ?0 , m ? ,值域为 ?? 6 , ? 2 ? ,则 m 的取值范围是( )
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A. ? 0 , 4 ?
2

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C. ? 0 , 2 ? D. ? 2 , 4 ? )

B. ?2 , 4 ?
x

10.已知 f(x)= x ? 2 ,则在下列区间中,y=f(x)一定有零点的是( A.(-3,-2) 11. 若函数 f ( x ) ? A. 2 B.(-1,0)
? 3x ? 1 x?2

C.(2, 3)

D.(4,5) )

( x ? 2 ) 的值域为集合 P , 则下列元素中不属于 P 的是 (

B. ? 2

C. ? 1

D. ? 3

12. 已知函数 f ? x ? 是 R 上的增函数, A ? 0 , ? 1 ? ,B ? 3 ,1 ? 是其图像上的两点, 那么 f ? x ? ? 1 的解集是( )

A. ? ? 3, 0 ? B. ? 0, 3 ? C. ? ? ? , ? 1 ? ? ? 3, ? ? ? D. ? ? ? , 0 ? ? ?1, ? ? ? 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13. 若 lo g 6 2 ? m , lo g 6 5 ? n , 则 l o g 2 5 用 m , n 表示为
1

. 的大小关系

14 . 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x ) ? x , g ( x ) ? x 2 , h ( x ) ? x
2

?2



. (用符号“ ? ”连接)

15. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ;则奇函数
f ( x ) 的值域是



16. 若函数 f ( x ) 满足下列性质: (1)定义域为 R ,值域为 ?1, ?? ? ; (2)图象关于 x ? 2 对称; (3)对任意 x 1 , x 2 ? ( ?? , 0 ) ,且 x 1 ? x 2 ,都有 请写出函数 f ( x ) 的一个解析式
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

<0 ,

(只要写出一个即可) .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. ) 17.已知: 函数 f ( x ) ?
1 4?x
2

的定义域是 A, 函数 g ( x ) ? 2

( x ? 1)( x ? 3 )

( x ? 定义域 B)

的值域是 (1, ?? ) . (1)若不等式 2 x ? m x ? n ? 0 的解集是 A,求 m , n 的值.
2

(2)求集合 A ? ( ?R B ) (R 是实数集) . 18.计算下列各式: (1) 0 .0 0 1
??? 1 3

? ( ) ? 16 4 ? ( 2 ? 8
0

7

3 3

3 ) ;(2) (log

6

4

3 ? log

8

3 )(log

3

2 ? log

9

2) .

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a - 19.已知函数 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0 且 a≠1)是 R 上的增函数,求 a 的取值范围. a -2 20.设 0≤x≤2,求函数 y=4
x? 1 2

a2 -a·x+ +1 的最大值和最小值. 2 2

21.定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? ,对任意的 a , b ? R ,满足 f ? a ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ,当
x ? 0 时,有 f ? x ? ? 1 ,其中 f ?1 ? ? 2 .

(1) 求 f ? 0 ? 的值; (2) 求 f ? ? 1 ? 的值并判断该函数的奇偶性; 22.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐 到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的
2 2

1 4



已知到今年为止,森林剩余面积为原来的

, (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年

为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年? 备选题 一.选择题 1.若集合{1,a, A.0
b a

}={0,a2,a+b},则 a2010+b2011 的值为 C.-1 D.±1 )





B.1

2.下列幂函数中过点 ( 0 , 0 ) , (1,1) 的偶函数是(
1

1

A. y ? x 2 二.填空题

B. y ? x

4

C. y ? x

?2

D. y ? x 3

3. 若不等式 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) 成立,则 x 的取值范围是
8 ? , x? 0 ? 4.函数 f ( x ) ? ? x ? 1 ,则 f [ f ( ? 2 )] =________. ? x ( ? x ? 2 ), x ? 0 ?

,a 的取值范围是



三.解答题 5. 已知 f ( x ) ? a 3 x ? 5 ,且 f (lg a ) ? 100 ,求 a 的值. 6. 已知函数 f ( x ) ? x ?
1 x



(I)判断函数的奇偶性,并加以证明; (II)用定义证明 f ( x ) 在 ? 0 ,1 ? 上是减函数;

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(III)函数 f ( x ) 在 ? ? 1, 0 ? 上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案, 不要求写证明 过程). 必修 5 综合能力测试题五答案及提示 一.选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1.B. 2.A.提示:由 ? 3.C. 4.B.提示:容易发现 s=10 t . 5.B.提示:∵ M
? {x | x ? 2k ? 1 4 , k ? Z } , N ? {x | x ?
2

? x ?1 ? 0 ?x ? 2 ? 0

,得 x ? ?1, 2 ? ? ? 2, ? ? ?

k ?2 4

, k ? Z } ,∴ M

N .

6. B. 提示:A、 C、 D 定义域不一样. 7.C.提示:抓住函数 y ? lo g a ( ? x ) 的定义域为 ? ? ? , 0 ? . 8.B.提示:抓住对数函数的运算性质. 9.B.提示:结合图象,当 x=0 或 4 时,y=-2;当 x=2 时,y=-6. 10. B. 提示:因为 f(-1) f(0) <0.
?3x ? 1 x?2 1? ? ?3 ? x ? ? 3? ? x?2 ?3 ? 5? ? x ? 2? ? ?? ? 3? ? x?2

11.D.提示:∵ f ( x ) ? ∴选 D.

?

? ?3 ?

5 3?x ? 2?

? ?3 ,

12.B.提示:∵ ? 1 ? f ? x ? ? 1 ,而 f ? 0 ? ? ? 1, f ? 3 ? ? 1 ,∴ f ? 0 ? ? f ? x ? ? f ? 3 ? ,∴
0? x?3.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13.
n m

.提示: l o g 2 5 ?

lo g6 5 lo g6 2

?

n m


1

14. f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ) .提示:作出 f ( x ) ? x , g ( x ) ? x 2 , h ( x ) ? x
2

?2

在第一象限的图象,如图所示:由图可知,当 0 ? x ? 1 时时,幂指数大 的函数值小,所以 15. {-2,0,2 }. 提示: 因为 f (0 ) ? 0 ;x ? 0 时,f ( x ) ? ? 2 , 所以 f ( x ) 的值域是{-2,0,2 }.

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2

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f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

16. f ( x ) ? ( x ? 2 ) ? 1 .提示:对任意 x 1 , x 2 ? ( ?? , 0 ) ,且 x 1 ? x 2 ,都有 < 0 ,即 x 1 , x 2 ? ( ?? , 0 ) 时,函数 f ( x ) 为减函数.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. ) 17. (1) 解:
4 ? x ? 0 解得: ? 2 ? x ? 2 , ∴ A ? ( ? 2, 2) . 因为不等式 2 x ? m x ? n ? 0
2 2

? m ? ?0 ? 2 ? 2 的解集是 A ? ( ? 2, 2) ,所以方程 2 x ? m x ? n ? 0 的解是 ? 2 , 2 .∴ ? . n ? ? ?4 ? 2 ?
?m ? 0 ?n ? ?8

∴?



(2) ? 2

( x ? 1)( x ? 3 )

? 1, ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0

∴ x ? 1 或 x ? ?3

∴ B ? (1, ? ? ) ? ( ? ? , ? 3) ,∴ ?R B ? [ ? 3,1] ,∴ A ? ( ?R B ) ? ( ? 2,1] . 18.解:(1) 原式=
(0 .1 )
1
3 ??? 1 3 4 3 1 6 1 6

? 1 ? ( 2 ) 4 ? ( 2 2 ) ? (3 3 ) =89.
1 3 lo g 2 3)(lo g 3 2 ? 5 4 1 2 lo g 3 2 )

(2) 原式= ( lo g 2 3 ?
2

=

5 6

lo g 2 3 ?

3 2

lo g 3 2 ?



19.解:f(x)的定义域为 R,设 x1、x2∈R,且 x1<x2 则 f(x2)-f(x1)= =
2
2

a (a x -a ? x -a x +a ? x ) a2-2
2 2 1 1 1
1 2

a 1 (a x -a x )(1+ x ) x a -2 a ?a
1 a
x1

由于 a>0,且 a≠1,∴1+

a
2

x2

>0
1

∵f(x)为增函数,则(a2-2)( a x -a x )>0
?a 2 ? 2 ? 0 ?a 2 ? 2 ? 0 ? ? 或? 于是有 ? x , x1 x x 2 ?a ? a ? 0 ?a 2 ? a 1 ? 0 ? ?

解得 a> 2 或 0<a<1. 1 2 20.解:设 2x=t,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4,原式化为:y= (t-a) +1 2 当 a≤1 时,t=1 时,ymin= a2 3 a2 -a+ ;t=4 时,ymax= -4a+9; 2 2 2

5 a2 当 1<a≤ 时,t=a 时,ymin=1;t=4 时,ymax= -4a+9; 2 2
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5 a2 3 <a≤4 时,t=a 时,ymin=1;t=1 时,ymax= -a+ ; 2 2 2 a2 a2 3 -4a+9;t=1 时,ymax= -a+ . 2 2 2

当 a≥4 时,t=4 时,ymin=

21.解: (1)因为对任意的 a , b ? R ,满足 f ? a ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? , 所以令 b ? 0 ,则 f ? a ? ? f ? a ? ? f ? 0 ? , 当 a ? 0 时,有 f ? a ? ? 1 ,所以 f ? 0 ? ? 1 . 1 (2)令 a=1,b=-1,则 f ? 0 ? ? f ? 1 ? ? f ? ? 1 ? ,∴f(-1)= ,f(1)=2,所以原函数既不是 2 奇函数,也不是偶函数. 22.解: (1)设每年降低的百分比为 x ( 0<x<1). 则 a (1 ? x )
1
1

10

?

1 2

a ,即 (1 ? x )

10

?

1 2



解得 x ? 1 ? ( ) 10
2

(2)设经过 m 年剩余面积为原来的
m 10 ? 1 2

2 2

,则 a (1 ? x )

m

?

2 2

a , 即( ) 2

1

m 10

? ( )2 , 2

1

1

,解得 m ? 5 ,故到今年为止,已砍伐了 5 年.
2 2 2 2
1 4

(3)设从今年开始,以后砍了 n 年,则 n 年后剩余面积为

a (1 ? x )

n



a (1 ? x ) ≥
n

a ,即 (1 ? x ) ≥
n

2 4

,( )
2

1

n 10

≥( ) 2 ,
2

1

3

n 10



3 2

,解得 n ≤ 15

故今后最多还能砍伐 15 年. 备选题 一.选择题 1.B.提示:b=0 . 2.B. 二.填空题 3. x ? 2, 0 ? a ? 1 . 提示: ∵
?x ? 3 ? 0 ,得 x ? 2 . ? ?x ? 2 ? 0
x ? 3 ? x ? 2, 且 log a ( x ? 3) ? log a ( x ? 2) , ∴

0<a<1. 由

4.8. 三.解答题 5. 解:因为 f (lg a ) ? a 3 lg a ? 5 ? 100 ,两边取对数,得 lg a (3 lg a ? 5) ? 2 ,
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1 3

所以 3(lg a ) 2 ? 5 lg a ? 2 ? 0 ,解得 lg a ? ? 或 lg a ? 2 , 即 a ? 10
? 1 3

或 a ? 100 .

6. 证明:(I)函数为奇函数 f ( ? x ) ? ? x ? (II)设 x 1 , x 2 ? ?0 ,1 ? 且 x1 ? x 2
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? 1 x2 ? x1 ?

1

1? ? ? ? ? x ? ? ? ? f (x) x x? ?

? 1 ? ( x 2 ? x1 )( x1 x 2 ? 1) ? ? x 2 ? x1 ? ? 1 ? ? ? x1 x1 x 2 ? x1 x 2 ? 1

.? 0 ? x 1 ? x 2 ? 1,? x 1 x 2 ? 1, x 1 x 2 ? 1 ? 0
? x 2 ? x1 ? x 2 ? x 1 ? 0 .
? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? 0 , f ? x 2 ? ? f ? x1 ?

因此函数 f ( x ) 在 ? 0 ,1 ? 上是减函数 (III)
f ( x ) 在 ? ? 1, 0 ? 上是减函数.

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