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复数的乘除运算教案


课 时

题 §3.2.2 复数代数形式的乘除运算 间 2013-3-21 上午第 2 节 地 点

教 研 组
高二(4)班

高二数学备课组

授课教师

高伟平

教学目标

1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则; 2.理解除法运算是乘法运算的逆运算 及共轭复数的概念。 3.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

教学重点 复数代数形式的除法运算以 及共轭复数的概念。 教学难点 对复数除法法则的运用。
王新敞
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复数的乘法法则是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

知识结构

复数的除法法则是:

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i(c+di≠0). c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

教 学 过 程 设

一、新课导入: 二、温故知新: 复数代数形式的加减运算。 三、问题探究: 探究一、复数的乘法运算 引导 1:复数乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi , z2=c+di(a 、 b 、 c 、 d ∈ R) 是任意两个复数,那么它们的 积 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 点拨:其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中 2 把 i 换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导 2、复数乘法运算律: 试试:计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 结论:① z1 ? z 2 ? z 2 ? z1 ; ③ z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 ② ( z1 ? z 2 ) ? z3 ? z1 ? ( z 2 ? z3 ) ;

教 师 手 记



动手练一练: 【例 1】计算:(1-2i)(3+4i)(-2+i) 【例 2】计算:①(3+4i) (3-4i) ;②(1+ i)2. 探究二、共轭复数: 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复 数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
王新敞
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通常记复数 z 的共轭复数为 z 。设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z ? a ? bi 且① z ? z ;② z ? z ? 2a ;③ z ? z ? 2bi ;④ z ? z ? a ? b
2 2

探究三、复数的除法运算 引导 1、复数除法定义: 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数
第 1 页

c+di 的商,记为:(a+bi) ? (c+di)或者 引导 2、复数除法运算规则: 类比

a ? bi c ? di

1? 2 2? 3

?

(1 ? 2)(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,试写出复数的除法法则。

教 学 过 程 设 计

(a+bi)÷(c+di)=

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? i. = c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

点拨:利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法, 而 复 数 c ? di 与 复 数 c ? di , 相 当 于 我 们 初 中 学 习 的

3 ? 2 的对偶式

3 ? 2 ,它们之积为 1 是有理数,而 ?c ? di??c ? di? ? c 2 ? d 2 是正实数.所以
可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
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(c+di)·(c-di)=c2+d2 是正实数。所以可以分母实数化.。把这种方法叫做 分母实数化法
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【例 3】计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

王新敞
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解: (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ?

1 ? 2i 3 ? 4i

?

(1 ? 2i)(3 ? 4i) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ?5 ? 10i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 3 ?4 25 5 5

步骤总结:1 先写成分式形式;2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同 时乘以分母的共轭复数);3 化简成代数形式就得结果 探究四、i 的周期性及几个常见的结论 即: i 4 n ? 1 ; i 4 n ?1 ? i ; i 4 n ? 2 ? i 2 ? ?1 ; i 4 n ?3 ? ?i ; 例 4:计算:i+i2+i3+…+i2103 四、目标训练(历年高考训练试题) 10i 1.(2012.北京)在复平面内,复数 对应的点的坐标为____ . 3?i

2.(2012.重庆)若(1 ? i )(2 ? i ) ? a ? bi, 其中a, b ? R, 则a ? b ? _________ .
3 ( . 2010.辽宁)设a, b为实数,若复数 1 ? 2i ? 1 ? i, 则( a ? bi 3 1 1 3 A.a ? , b ? .B.a ? 3, b ? 1.C.a ? , b ? .D.a ? 1, b ? 3. 2 2 2 2 )

4.(2010, 全国)已知复数z ? A. 1 4 1 B . 2 C.1

3 ?i , 则z ? z ? ( (1 ? 3i ) 2

)

D.2
第 2 页

5.( 2012.新课标)复数 z ? A.2 ? i

?3?i 的共轭复数是( 2?i B.2 ? i C. ? 1 ? i

) D. ? 1 ? i
)

1 1 1 1 6.(2011辽宁文)i为虚数单位, ? 3 ? 5 ? 7 ? ( i i i i A.0 B.2i C. ? 2i D.4i

7.(2010福建文)i是虚数单位,( A.i B. ? i C.1

1? i 4 )等于( 1? i D. ? 1



8.(2012上海文)若1 ? 2i是关于x的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0的一个复数根,则 ( A.b ? 2, c ? 3 C.b ? ?2, c ? ?1 B.b ? ?2, c ? 3 D.b ? 2, c ? ?1 )

五、课堂小结: 1、复数的代数形式的乘法与除法运算法则。 2.共轭复数的概念。 3.i 的周期性及几个常见的结论。

课后作业

同步作业本及同步配套练习(2012 年高考有关复数习题) §3.2.2 复数代数形式的乘除运算 1、复数乘法 例1 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 例2 2、共轭复数 a+bi 与 a-bi 互为共轭复数 性质: 例3 3、复数除法
(a ? bi) ? (c ? di) ?
?

练习 板演

板 书 设 计

作业

a ? bi c ? di

ac ? bd bc ? ad ? i c2 ? d 2 c2 ? d 2

例4

4、i 的周期性及几个常见的结论。

i 4n ? 1,  i 4n?1 ? i,  i 4n?2 ? ?1,  i 4n?3 ? ?i

i 4 n ? i 4 n ?1 ? i 4 n ? 2 ? i 4 n ? 3 ? 0 ( n ? N )

教 学 反 思
谢 谢 指 导 !

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