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2.教师版:直线和圆的位置关系


直线和圆及圆和圆的位置关系(教师版) 一、知识点归纳: 1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 和圆 C:(x-a) +(y-b) =r ,则 d ?
2 2 2

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

代数法与几何法:

(1)相交 ? 直线与圆的方程组成的方程有两解, ? ? 0或d ? r ; (2)相切 ? 直线与圆的方程组成的方程有一组解, ? ? 0或d ? r ; (3)相离 ? 直线与圆的方程组成的方程无解, ? ? 0或d ? r . 2.圆与圆的位置关系 已知两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r1、r2,则 (1)两圆外切 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (3)两圆相交 ?| r1 ? r2 |?| O1O2 |? r1 ? r2 (5)两圆内含 ?| O1O2 |?| r1 ? r2 |; (2)两圆内切 ?| O1O2 |?| r1 ? r2 |; (4)两圆外离 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ;

3.圆系方程:

(1)设圆 C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0. 若两圆相交,则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ 为参数,圆系中不包括 圆 C2,λ =-1 为两圆的公共弦所在直线方程). ( 2 )设圆 C ∶ x2+y2+Dx+Ey+F=0 与直线 l : Ax+By+C=0 ,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0(λ 为参数). 二、例题分析: 例 1 若直线 ax ? by ? r 与圆 x ? y ? r 相交,判断点 ( a, b) 与圆 x ? y ? r 的位置关系。
2 2 2 2 2 2 2

【答案】直线与圆相交,则圆心到直线距离小于半径 , 即

r2 a 2 ? b2

? r , 整理得
2

,即点

到圆心的距离大于半径 ,∴ 点

在圆

外。

例 2 求过点 M (2,4) 向圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1所引切线的方程.
2

【答案】点 M (2,4) 在圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1外
2 2

①直线

显然与圆 C 相切.

1

②设所求切线方程为 又圆心 (1,?3) 到切线的距离

, 即 ,即

……(*)

| k ? (?3) ? 2k ? 4 | k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?


24 . 7


代入方程(*)得

.故所求切线方程为 A 组练习

一、选择题: 1.直线 2x-y-5=0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 2 ? 0 之间的关系是( D ) (A)相离 (B)相切 (C)相交且直线不过圆心(D)相交且直线过圆心
2 2

2.若直线 3x+4y+k=0 与圆 x +y -6x+5=0 相切,则 k 的值等于( A ) A、1 或-19 B、10 或-1 C、-1 或-19 D、-1 或 19 )

3.若圆 C1 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 , C2 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 16,则 C1 和 C 2 的位置关系( D (A)外离 (B)相交 (C)内切 (D)外切

4.(重庆卷)以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( C ) (A) ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 3 (C) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2 2 2

(B) ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 3 (D) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2
2 2

5.两圆 x ? y ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 和 x ? y ? 6x ? 12 y ?19 ? 0 的位置关系是

( A



( A) 外切
2 2

( B ) 内切
2 2

(C ) 相交
2

( D) 相离
2

6.两圆 x ? y ? r 与 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0) 外切,则 r 的值是

( D )

( A) 10

(B) 5

(C ) 5

( D)

10 2
( A )

7.(重庆卷)圆(x?2)2?y2?5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为 (A) (x?2)2?y2?5; (B) x2?(y?2)2?5; (C) (x?2)2?(y?2)2?5; (D) x2?(y?2)2?5

( ? 2, 0) 8. (全国卷 I)已知直线 l 过点 ,当直线 l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( B )
2 2

(? 2 2, 2 2) (A)

(? 2,2) (C) (B) (?

2 2 , ) 4 4
)

( ? ,) (D)

1 1 8 8

9.(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.±2 B.±2 2

D.±4

【答案】 B 【解析】设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,设直线方程为 y ? x ? a ,圆心(0,
2

0)道直线的距离等于半径 2 ,∴

|a| 2,选 B. ? 2 ,∴ a 的值± 2

10.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有 ( B ) A.1 条 二、填空题: 1.已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 ,则直线和圆的位置关系为 2.过点 P(1,6)与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 相切的直线方程为__________3x+4y-27=0 3.圆 上的点到直线 的距离的最大值是 。 2+
3 2 2

B.2 条

C.3 条

D .4 条

.相交

4.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂直,且与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相切的直线方程是___ 【答案】 4 x ? 3 y ? 8 ? 0或4 x ? 3 y ? 12 ? 0 5.圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 截直线 x ? y ? 5 ? 0 所得的弦长为
2 2

。 6 。 2 2 ?1

6.直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的最近距离是 7.(05 年上海)将参数方程 ?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数)化为普通方程,所得方程是_ _____ (x-1)2+y2=4 ? y ? 2 sin ?

8. x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的圆心坐标是__(0,-1)___,若直线 x ? y ? a ? 0 与该圆有公共点,则实数 a 的取值 范围是____- 2 +1 ? a ?

2 +1
.

9. (湖北卷)若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是

【解析】由直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交, 故圆心到 直线的距离小于圆的半径,即

| 2k ? 3 ? 2 | 1? k 2

?1,解得 k?(0,

4 ) 3

10.圆 O: x ? y ? 9 与圆 C:x2+y2-2x+8y-1=0 的位置关系是_ ___ ___相交
2 2

三、解答题: 1.求与直线 4x+y=0 垂直的圆 x ? y ? 4x ? 6 y ? 4 ? 0 的切线方程。
2 2

2. 已知圆 C1:x2+y2+2x+2y-8=0 与圆 C2:x2+y2-2x+10y-24=0 相交于 A、B 两点, (1)求公共弦 AB 所在的直线方程;(2)求圆心在直线 y=-x 上,且经过 A、B 两点的圆的方程. 2 2 ? ?x +y +2x+2y-8=0 解:(1)? 2 2 ?x-2y+4=0. ?x +y -2x+10y-24=0 ?
3

(2)由(1)得 x=2y-4,代入 x2+y2+2x+2y-8=0 中得:y2-2y=0. ? ? ?x=-4 ?x=0 ∴? 或? ,即 A(-4,0),B(0,2), ?y=0 ?y=2 ? ?

又圆心在直线 y=-x 上,设圆心为 M(x,-x),则|MA|=|MB|,解得 M(-3,3), ∴⊙M:(x+3)2+(y-3)2=10.

B 组练习 一、选择题: 1.两圆 A. 内切 2. 4.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( C ) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 ) 与 B. 外切 的位置关系是( B ) C. 相离 D. 内含

5.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+4y+4=0 相切,则圆的方程是( A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0

D.x2+y2-4x=0

【答案】 D 【解析】设圆心坐标为(a,0)(a>0),由直线 3x+4y+4=0 与圆相切,可得圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d= |3a+4| 3 +4
2 2=

|3a+4| 14 =2,解得 a=2 或 a=- (舍去),故所求的圆的方程为(x-2)2+y2=4, 5 3

即 x2+y2-4x=0. 6. 7.圆 x2+y2-2x-8=0 和圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的公共弦所在的直线方程是 ( C A.x+y+1=0 B. x+y-3=0 C. x-y+1=0 D. x-y-3=0 ) D.0 ( C )



8.若直线 ax ? y ? 1 ? 0与圆x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( D A.1,-1 B.2,-2 C.-1

9.圆 x2+y2+2x+6y+9=0 与圆 x2+y2-6x+2y+1=0 的位置关系是 A.相交 10. 11.直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x ? y ? 1的位置关系是(
2 2

B.相外切

C.相离

D.相内切

) D.不确定

A.相离

B.相交

C.相切

4

【解析】圆心(0,0)到直线的距离 d ?

a ? 0 ? 0 ? 2a a ?1
2

?

2a a2 ? 1

? 1 ,圆的半径为 1,可能相切或相交。故选 D。
( A )

12.直线 ax ? by ? b ? a ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? x ? 3 ? 0 的位置关系是

A.相交

B.相离

C.相切

D.与 a 、 b 的取值有关

13.直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是( A. (0, 2 ?1) B. ( 2 ?1, 2 ? 1) C. (? 2 ?1, 2 ?1) D. (0, 2 ? 1)



【答案】 A 【解析】由圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,且 a ? 0 ,选 A

14.把直线 x ? 2 y ? ? ? 0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位后,所得直线正好与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切, 则实数 ? 的值为( A、3 或 13 ) B、-3 或 13 C、3 或-13 D、-3 或-13

【解析】平移后直线 x ? 2 y ? ? ? 3 ? 0 ,由题意

?1? 2 ? 2 ? ? ? 3 5

? 5 ,所以 ? ? 3 或 13

20.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是( B A、在圆上 二、填空题: B、在圆外 C、在圆内

) D、都有可能

1.(08·天津)已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称.直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为__________. 【答案】 x2 ? ( y ? 1)2 ? 18 .【解析】圆 C 的圆心与 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称的圆心为(0,-1),设该圆的 方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 . 设 AB 中点为 M,连结 CM、CA,在三角形 CMA 中
CM ? 3 ? 0 ? 4 ? (?1) ? 11 5 ? 3, 又 | AM |? 3,? R2 ? CM ? MA ? 32 ? 32 ? 18,
2 2

2.(05 年湖南卷)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A、B 两点,且|AB|= 3 ,则 OA ? OB = . ?

1 2

| OA || OB | cos? (? ? 1200 )
10 , 直线 MN 的方程为 ;

3.若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,求 x-2y 的最大值是___________。
2 2

4.过点 M (3, 2) 向圆 C: ( x ? 1) ? y ? 1引切线, 切点为 M、N , 则 | MN | = 【答案】: ,
5

5.自点 A(?3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射线所在的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切, 则光线 l 所在直线的方程是__________. 【答案】 4 x-3 y ? 3 ? 0, 或者3x-4 y ? 3 ? 0 6.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是________. 1 【答案】(-∞, ] 【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,由题意知圆心(-1,2)在直线 2ax-by+2=0 4 1 1 上,因此-2a-2b+2=0,即 a+b=1,(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab,∴4ab≤1,即 ab≤ .当且仅当 a=b= 时 4 2 等号成立.
?x-2y≥0 ? 7.(2010 年广东汕头调研)已知 D 是由不等式组? ,所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4 在区域 D 内的 ?2x+y≥0 ?

弧长为________.π 三、解答题: 1.已知圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上的圆 C 与 y 轴相切,且在直线 y=x 上截得的弦长为 2 7 ,求此圆的方程。 解 : b ? ?1

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9

2.已知实数 x, y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立的实数 m 的取值范围. 【答案】 m ?

2 ? 1 .【解析】利用参数方程法即可求解,根据三角函数的最值求解。

4.已知 P(5,0)和圆 x 2 ? y 2 ? 16 ,过 P 作直线 l 与圆相交于 A、B,求弦 AB 中点的轨迹方程。 解:方法一:设 AB 中点 M ( x, y ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).





∴ ∴



∴ M:





,∴

代入

中,∴

方法二:设 A( ∴



)B(







6

, ∴ (在已知圆内部分) ,∴

方法三:点 M 在以 OP 为直径的圆上∴ 注:以 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). 为直径的圆的方程是: C 组练习 一、选择题:

1.(2010· 黄冈质检)已知向量 a=(2cosα,2sinα),b=(3cos β,3sin β),若 a 与 b 的夹角为 60° ,则直线 2xcosα- 2ysinα+1=0 与圆(x-cos β)2+(y+sinβ)2=1 的位置关系是 ( A.相交但不过圆心 B.相交且过圆心 ) C.相切 D.相离

1 【答案】 C 【解析】依题意得 a· b=6cos(β-α)=2×3cos60° ,因此 cos(β-α)= ,已知圆的圆心到直线 2xcosα 2 |2cosβcosα+2sinβsinα+1| |2cos(α-β)+1| -2ysinα+1=0 的距离 d= = =1,于是可知该直线与圆相切,选 C. 2 2
2 2 2.圆 2 x ? 2 y ? 1与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? k ,? ?

?
2

? k? , k ? z ) 的位置关系为( C )

A、相交

B、相切

C、相离

D、与θ 有关

2 3.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且只有一个交点,则 b 的取值范围是

( B )

A、 b ?

2

B、 ? 1 ? b ? 1 且 b ? ? 2

C、 ? 1 ? b ? 1

D、非 A、B、C 的结论

4.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 A.1 B.5 C. 4 2 D. 3 ? 2 2

1 2 ? 的最小值为( a b



【答案】 D 【解析】已知直线过已知圆的圆心(2,1) ,即 a ? b ? 1 . 所以

1 2 1 2 b 2a ? ? ( ? )(a ? b) ? 3 ? ? ? 3? 2 2 a b a b a b

2 2 5. 直 线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交 于 E 、 F 两 点 , 则 ?EOF ( O 为 原 点 ) 的 面 积 为

( C )A、

3 2

B、

3 4

C、

6 5 5

D、

3 5 5
2? ,则直线 3

6.(09 年江西抚州一中模拟)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ), b ? ( 3 cos ? , 3 sin ? ), 若向量 a 与 b 的夹角为
x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0与( x ? sin ? )2 ? ( y ? cos ? )2 ? 1 的位置关系是( 4

) D.不能确定

A.相离

B.相切

C.相交
7

【答案】选 B, a ? b ?| a || b | cos

2? 1 1 ,? 3 sin(? ? ? ) ? 3 (? ),? sin(? ? ? ) ? ? . 3 2 2

圆心 (sin ? , cos? ) 到直线的距离 d ?

| sin(? ? ? ) ? 1 | sin ? ? cos ?
2 2

?

1 ? r ? 直线与圆相切,故选 B. 2

7.(辽宁卷)若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1,?1) 平移后与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切,则 c 的值为( A ) A.8 或-2 B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8

8. (湖南卷) 若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是 ( ) A.[
, ] 12 4

? ?

B.[

? ? ? 5? ] C.[ , ] , 6 3 12 12

D. [0, ]
2

?

【解析】 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 整理为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,∴圆心坐标为(2,2),半径为 3 2, 要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 , 则圆心到直线的距离应小于等于 2 , ∴
| 2a ? 2b |
a 2 a a ≤ 2 ,∴ ( ) ? 4( ) ? 1 ≤ 0 ,∴ ?2 ? 3 ≤ ( ) ≤ ?2 ? 3 , k 2 2 b b b a ?b

a ? ?( ) , b

5? ,选 B. ∴ 2 ? 3 ≤ k ≤ 2 ? 3 ,直线 l 的倾斜角的取值范围是 [ ? , ] 12 12

9.(北京卷)从原点向圆 x +y -12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 (A)π (B)2π (C)4π (D)6π

2

2

( B )

【答案】B 【解析】设直线方程为 y ? kx,? kx ? y ? 0, 由于直线与圆相切,所以 d=r,利用点到直线距离公式可得
y ? ? 3x,?? ? 600 , 劣弧所对的圆心角为 1200 ,?l ?| ? | ?r ?

2? ? 3 ? 2? . 3

10.已知 M(a, b)(ab≠0)是圆 O: x2+y2=r2 内一点, 现有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线 l: ax+by=r2, 则( A.m∥l,且 l 与圆相交 B.l⊥m,且 l 与圆相交 C.m∥l,且 l 与圆相离 D.l⊥m,且 l 与圆相离

)

b a 【答案】C 【解析】直线 m 与 OM 是垂直的,而 OM 的斜率是 k= ,所以直线 m 的方程是 y-b=- (x-a), a b 化简得:ax+by=a +b ;而圆心 O 到直线 l 的距离 d= 二、填空题: 1.(09·辽宁)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 _____________.【答案】 ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 【解析】圆心在 x+y=0 上,结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 2. ( 07 年山东理)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 ______________.【答案】 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,已知曲线为圆,且该圆的圆心到直线的距离应该过所求圆的圆心,
2 ?3 2 ? 2 2
2 2

|-r2| a +b
2

2,又点

M 在圆的内部,所以 a2+b2<r2,故 d>r

该圆到直线的距离 d ? 5 2 ,所以所求圆的半径一定是 r ? 5
8

,设圆心坐标为(a,b)

由于 kC C ? kl ? ?1,即
1 2

6?b ? (?1) ? ?1, 解得a ? b, 再利用点(所求圆心)到直线的距离公式可得: 6?a

d?

2 | 2a ? 2 | ? 2, 解得a ? 0(舍)或a ? 2 ,所以方程为 ( x ? 2) 2

? ( y ? 2)2 ? 2 .

3.已知(x-1)2+(y+2)2=4,则

y?4 的取值范围是___________ x?5
y ? (?4) x?5

【答案】 [? 4 , 0] 【解析】 (x,y)与(5,-4)两点的斜率, k ?
3

,设方程为 y ? 4 ? k ( x ? 5)由d ? r解得k1 ? 0, k2 ? ? 4 .
3

4.若把直线 x ? 2 y ? m ? 0 按向量 a ? (?1, ?2) 平移后与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数 m 的值为____

【答案】3 或 13,解析 y ? ? x ?

1 2

m 1 m , 平移后y ? ? ( x ? 1) ? ? 2, 由于相切故 d 2 2 2

? r ,截得 m=3 或 13

5.(09 年天津模拟)圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ?15 ? 0 与直线 (1 ? 3m) x ? (3 ? 2m) y ? 4m ? 17 ? 0 的交点的个数是 _______【答案】 2 个,直线 l : (3x ? 2 y ? 4)m ? x ? 3 y ? 17 ? 0, 由 ? 所以直线过定点 A(2,5). 三、解答题: 2 1.(2010 年南京调研)已知:以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其 t 中 O 为原点.(1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 4 2 4 解:(1)证明:∵圆 C 过原点 O,∴OC2=t2+ 2.设圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2,令 x=0,得 y1=0,y2 t t t 4 1 1 4 = ;令 y=0,得 x1=0,x2=2t.∴S△OAB= OA· OB= ×| |×|2t|=4,即△OAB 的面积为定值. t 2 2 t 1 (2)∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN.∵kMN=-2,∴kO C= , 2 1 2 1 ∴直线 OC 的方程是 y= x.∴ = t,解得:t=2 或 t=-2. 2 t 2 1 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5,此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= < 5,圆 C 与直线 y 5 =-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5,此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 与直线 y=-2x+4 不相交,∴t=-2 不符合题意舍去.∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 2.已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l ,使得以 l 被圆 C 截得的线段 AB 为
2 2

?3x ? 2 y ? 4 ? 0 ? x ? 2 , , 得? ? x ? 3 y ? 17 ? 0 ?y ? 5

22 ? 52 ? 4 ? 30 ? 15 ? ?12 ? 0,? A 在圆内,故直线与圆有两个交点。

1 > 5,圆 C 5

直径的圆过原点?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由。 解: (习题来自于蓝皮高考必考题 100 页超越训练)假设存在满足条件的直线,设其方程为 y ? x ? b ,点 A,B 的 坐标分别为 ( x1 , x2 ),( y1 , y2 ) ,由直径所对的圆周角是直角可知: kOA ? kOB ? ?1,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 联立直线 l 和
9

圆 C 的方程,消去 y 得 2x2 ? 2(b ? 1) x ? (b2 ? 4b ? 4) ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? ?b ? 1, x1x2 ? 从而 y1 y2 ? ( x1 ? b)( x2 ? b) ?
b2 ? 2b ? 4 b2 ? 4b ? 4 b2 ? 2b ? 4 ,由 ? ? 0得b ? 1或b ? ?4. 2 2 2

b2 ? 4b ? 4 , 2

检验知,当 b ? 1或b ? ?4 时, ? ? 4(b ? 1)2 ? 8(b2 ? 4b ? 4) ? 0 故存在斜率为 1 的直线 l,其方程为: y ? x ? 1或y ? x ? 4.

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