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2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:9.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直(A、B)


§9.3

直线与平面垂直、平面

与平面垂直(A、B)

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯

实双基
基础梳理 1.直线和平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么就

称这条直线和这个平面垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫
垂面 做直线的_________________.

目录

(2)判定定理和性质定理 判定 图 形 性质

a⊥b,b?α(b a⊥m,a⊥n, a∥b 条 为α内的任意 m、n?α 件 a⊥α 直线) m∩n=O 结 论 a⊥α a⊥α b⊥α

a⊥α b?α

a⊥α b⊥α

a⊥b

a∥b

目录

(3)三垂线定理及其逆定理 ①三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 射影 条斜线的_________垂直,那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个 斜线 平面的一条_______垂直,那以它也和这条斜线的射影垂直. 2.平面和平面垂直 (1)两个平面互相垂直的定义 直二面角 两个平面相交,如果所成的二面角是___________,就说这两 个平面互相垂直.

目录

(2)两个平面垂直的判定与性质 判定
图形

性质

条件 结论

α-l-β 直二面角 α⊥β

a⊥α a?β α⊥β

α⊥β,a?β α∩β=l,a⊥l a⊥α

目录

思考探究 1.一条直线垂直于平面内的无数条直线,这条直线与这个平

面垂直吗?
提示:不一定,可能平行(如图①),可能在平面内(如图②), 也可能斜交(如图③),也可能垂直.

2.垂直于同一个平面的两个平面有什么关系? 提示:平行或相交.

目录

课前热身 1.下列说法中,正确的是( )

A.若线段相等,则它们的射影相等

B.若射影相等,则斜线也相等
C.若平面的垂线段和斜线段中,垂线段最短

D.线段的长不小于它在投影面内的射影长
答案:D
目录

2.平面α⊥β,α∩β=l,点P∈α,点Q∈l,那么PQ⊥l是 PQ⊥β的( )

A.充分不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案:C

目录

3.(2013· 桂林模拟)如果一条直线与一个平面垂直,那么,称 此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交 线面对”的个数是( A.48 C.24 答案:D
目录

) B.18 D.36

4.P为△ABC所在平面外一点,且PA、PB、PC两两垂直,则 下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 答案:3

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5.(教材改编)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC =60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM 的最小值为________.
答案:2 7

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 有关平面上的射影问题

线面垂直是构成射影的必要条件, 应正确认识直线在平面上 射影可以是点、线,而平面在平面上射影可以是线、面.注 意射影定理和几何特征.

目录

例1

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,若E、G分别

为C1D1、BB1的中点,F是正方形ADD1A1的中心,则空间四边
形BGEF在正方体的六个面内射影的面积的最大值为_____. 【思路分析】 求其面积. 分别找出四边形BGEF在各个面上的射影形状,

目录

【解析】 如图,空间四边形 BGEF 在正方体上下底面内射影 3 的面积为 ,空间四边形 BGEF 在正方体的左右面内射影的面 8 1 1 积为 , 在前后两个面内的射影的面积为 , 则空间四边形 BGEF 4 2 1 1 在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 ,故填 . 2 2
1 【答案】 2

【领悟归纳】

作图形在某面上的射影就是作图形的边界点
目录

在平面上的射影.

考点2 直线与平面垂直的判定与性质
线面垂直的判定方法主要是利用判定定理,利用线面垂直的

性质可以证明两线垂直和两线平行.

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例2 如图所示,直角△ABC所在平面外一点S, 且SA=SB=SC,斜边AC的中点为D. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若直角边BA=BC,求证:BD⊥平面SAC. 【思路分析】 由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直,

再利用线面垂直的判定定理从而得到线面垂直.

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【证明】 (1)在等腰△SAC 中,D 为 AC 的中点,∴SD⊥AC, 如图所示,取 AB 中点 E,连结 DE、SE,∵ED∥BC,BC⊥ AB, ∴DE⊥AB, 又 SE⊥AB,SE∩DE=E, ∴AB⊥平面 SED. ∴AB⊥SD, ∴SD⊥平面 ABC(AB、AC 是面 ABC 内两相交直线). (2)∵BA=BC,∴BD⊥AC, 又∵SD⊥平面 ABC,∴SD⊥BD, ∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面 SAC.

目录

【思维总结】

本题中反复抓住“线面垂直”与“线线垂

直”的转化,借助等腰三角形最基本的性质找垂直关系.

目录

跟踪训练 1.在(2)中,AC⊥平面SDB吗?
解:由(1)知 SD⊥平面 ABC?SD⊥AC, 由(2)知 BD⊥平面 SAC?BD⊥AC, 又 SD∩BD=D,∴AC⊥平面 SDB.

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考点3

有关面面垂直的判定和性质

利用判定定理证明面面垂直时,关键在该面内找到与另一平 面垂直的直线.

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例3 如图,已知△BCD 中,∠BCD=90° ,BC=CD=1,AB
⊥平面 BCD,∠ADB=60° ,E、F 分别是 AC、AD 上的动点, AE AF 且 = =λ(0<λ<1).求证:不论 λ 为何值,总有平面 BEF AC AD ⊥平面 ABC.

【思路分析】

通过EF∥CD?EF⊥面ABC.

目录

【证明】

∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥CD,

∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B,∴CD⊥平面 ABC. 又 AE AF = =λ(0<λ<1). AC AD

∴不论 λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC, EF?平面 BEF, ∴不论 λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC.

【思维总结】

本题是借用平行关系进行垂直转化.

目录

跟踪训练
2.在本例中,当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.
解:由例 3 知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90° ,∠ADB=60° , ∴BD= 2,AB= 2tan60° 6, = ∴AC= AB2+BC2 = 7, 6 AE 6 2 由 AB =AE· 得 AE= ,∴λ= = . AC AC 7 7 6 故当 λ= 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

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考点4

三垂线定理、逆定理及空间垂直

三垂线定理是证明线线垂直的主要方法.首先须有线面垂直(

面的垂线),才能有射影,为了找面的垂线,又须用面面垂直
的性质,即有关系:

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例4

如图所示,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直

角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°. (1)求证:BD⊥平面ADC; (2)若H为△ABC的垂心. 求证:H是D在平面ABC内的射影.

【思路分析】

(1)“射影”与“垂直”相连,“证线面垂直,

先找线线垂直”;

(2)“垂心”是“高线”的交点,线线垂直,由此根据三垂线
定理去找.

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【证明】

(1)∵AD=BD=CD,∠ADB=∠ADC=90° ,

∴△ABD≌△ACD,AB=AC. 又∠BAC=60° ,∴△ABC 为正三角形,∴AB=BC. ∴△ABD≌△BCD, ∴△BDC 为直角三角形,∠BDC=90° ,BD⊥CD. 又 BD⊥AD,AD∩CD=D,∴BD⊥平面 ADC.

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(2)如图所示,设 D 在△ABC 内的射影为 H′,连结 CH′并延 长交 AB 于 E, ∵CD⊥AD,且 CD⊥DB, ∴CD⊥平面 ADB, ∴CD⊥AB, 由三垂线定理得 CE⊥AB. 同理,连 BH′并延长交 AC 于 F,得 BF⊥AC. ∴H′为△ABC 的垂心, 即 D 在平面 ABC 内射影为△ABC 的垂心, ∵H 为△ABC 的垂心, ∴H′与 H 重合,得证.

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【思维总结】

三垂线定理及逆定理可合起来表述为,设l是

平面α的一条斜线,l′是l在α内的射影,m是α内的一条直线, 则有m⊥l′?m⊥l.

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方法感悟
方法技巧

1.细化空间垂直的判定
(1)利用线面垂直的定义:证一条直线垂直于平面内任意一条 直线,这时直线垂直于该平面.即a与α内任意一条直线垂直

?a⊥α.
(2)利用线面垂直的判定定理:证一直线与平面内两相交直线 都垂直,这条直线与平面垂直.即m,n?α,m∩n=A,l⊥m, l⊥n?l⊥α. (3)利用线面垂直的性质:两平行线之一垂直于平面,则另一 条也必垂直于这个平面.即a∥b,a⊥α?b⊥α.

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(4)利用面面垂直的性质定理:两平面垂直,在一个面内垂直 于交线的直线必垂直于另一平面.即α⊥β,α∩β=l,a?α, a⊥l?a⊥β. (5)利用面面平行的性质:一直线垂直于两平行平面之一,则

必垂直于另一平面.即a⊥α,α∥β?a⊥β.
(6)利用面面垂直性质:两相交平面同时垂直于第三个平面, 那 么 两 平 面 交 线 垂 直 于 第 三 个 平 面 . 即 α∩β = l , α ⊥ γ , β⊥γ?l⊥γ.

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2.面面垂直的判定方法 (1)利用面面垂直的定义,即证明两平面所成的二面角 为直角. (2)利用两个平面垂直的判定定理,证明一个平面过另一个平

面的一条垂线.
(3)若a∥α,a⊥β,则α⊥β. (4)若α∥β,β⊥γ,则α⊥γ. (5)若α∥α1,β∥β1,α⊥β,则α1⊥β1.

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3.关于三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系:一是直

线与平面垂直;二是平面内一条直线与斜线的射影(或斜线)垂
直;三是这条直线与斜线(或射影)垂直.构成定理的五个元素 是“一面四线”.运用三垂线定理及其逆定理的步骤是:确

定平面→作出垂线→找到斜线→连成射影→找面内线,其关
键是确定平面及平面的垂线. (2)三垂线定理及其逆定理主要用于: ①立体几何的证明问题.如线线垂直,线面垂直,面面垂直. ②二面角问题,主要是作二面角的平面角. ③立体几何的计算问题.如求空间一点到平面内某一直线的 距离,求两平行直线间的距离,求两条异面直线所成的角等.
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失误防范 1.依据直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键在于 寻找直线与平面内的两条相交直线垂直.

2.在应用三垂线定理及其逆定理时,首先应寻找线面垂直的
条件,然后再确定线线垂直关系.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 从近两年的高考试题来看,考查的内容有:

(1)垂直关系的判断和证明;
(2)以垂直关系为载体去解决空间角和距离的计算或证明.一 般以选择题和解答题的形式出现,其中解答题出现的频率比

较高且难度中等偏上.着重考查直线与平面、平面与平面垂
直关系的判定和性质以及直线与平面、平面与平面垂直关系 的相互转化,同时注意三垂线定理及其逆定理的应用和垂直

关系的拓展和延伸.

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2012年的高考中,各省市考的立体几何都涉及到了空间垂直关

系,尤其是涉及到线面角的计算时,无不用到空间垂直关系的转
化,大纲全国卷、安徽卷等考查了线线、线面、面面垂直.

预测2014年高考仍将以选择题和解答题的形式重点考查线面
垂直和面面垂直的判定和性质的理解和灵活运用,特别是垂直 关系的证明及利用垂直关系去解决空间角和距离的求解问题.

目录

规范解答 高考课标全国卷)如图,四棱锥 例 (本题满分12分)(2011· P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB= 2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD;

(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.

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【解】

(1)证明:因为∠DAB=60° ,AB=2AD,由余弦定理

得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD.(2 分) 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD.(5 分)

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(2)如图,作 DE⊥PB,垂足为 E. 已知 PD⊥底面 ABCD, 则 PD⊥BC. 由(1)知 BD⊥AD,又 BC∥AD, ∴BC⊥BD.(7 分) 故 BC⊥平面 PBD,BC⊥DE. 则 DE⊥平面 PBC.(9 分) ∵AD=1,AB=2,∠DAB=60° , ∴BD= 3.又 PD=1,∴PB=2. 3 根据 DE· PB=PD· BD,得 DE= ,(11 分) 2 3 即棱锥 D- PBC 的高为 .(12 分) 2
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【名师点评】

曲线线垂直判定与性质,充分体现了

“作”“证”“求”三步解决空间几何问题的特点及解答过 程中的转化思想.

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