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函数的基本性质练习题(2)难题


函数的基本性质练习题(2)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内。 1.设函数的集合

? ? 1 1 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
平面上点的集合

/>? ? 1 1 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

4x ? 1 2. 函数 f ? x ? ? 的图象 2x
A. 关于原点对称
x

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称
-x

3.若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则 A. f ( x) 与 g ( x) 与均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 与均为奇函数 B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数
x

x

-x

4. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

5. 用 min ?a, b? 表示 a,b 两数中的最小值。若函数 f ? x ? ? min ?| x |,| x ? t |? 的图像关于直 线 x= ? A.-2

1 对称,则 t 的值为 2
B.2 C.-1 D.1

6. .若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)= (A)-1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. 函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数 )

1

8. 对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f(x)构成的集合:?x1 , x2 ? R 且 x2 > x1 , 有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,下列结论正确的是 (A)若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M?2 , 则f ( x) ? g ( x) ? M?1??2 (B) 若f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M ?2 且g ( x) ? 0, 则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

(C) 若f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M?2 , 则f ( x) ? g ( x) ? M?1 ??2

( D ) 若 f ? x ? ? M?1 , g ? x ? ? M a2 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 且

?1 ? ? 2 , 则

f ? x ? ? g ? x ? ? M?1 ??2 .

9. 函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x

y 1 O 1 x 1

y

y

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A

B

C

10. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为 A.-1 B. 0

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( ) D. 2

C.1

11. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) 12. 函数 y= ? x (x ? 0)的反函数是 (A) y ? x (x ? 0)
2 2

).

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) ( (B) y ? ? x (x ? 0)
2



(B) y ? x2 (x ? 0) 13. 函数 y ? log 2

(D) y ? ? x2 (x ? 0) ( )

2? x 的图像 2? x

(A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 14. 设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c 15. 设函数 f ( x) ? (B) a ? c ? b

(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称 ( (C) c ? a ? b ) (D) c ? b ? a

若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成一 ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D , ( C. ? 8 )

个正方形区域,则 a 的值为 A. ? 2 B. ?4

D.不能确定 ( )

16. 设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是

17.函数 f ( x) ? ax ? bx ? c( a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?

b 对称。据此可推测,对任意的 2a
2

非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能 是 A. ?1, 2? B ?1, 4? C ?1,2,3,4? ( )

D ?1,4,16,64?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 18. 设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

3

19. 设 a 为非零实数,函数 y ?

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? )的反函数是 ( ) 1 ? ax a 1 ? ax 1 1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) ( x ? R, 且x ? ? ) A、 y ? B、 y ? 1 ? ax a 1 ? ax a
C、 y ?

1? x ( x ? R, 且x ? 1) a(1 ? x)

D、 y ?

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) a(1 ? x)

20. 已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. C. 1 2
二、填空题:请把答案填在题中横线上. 1. 直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

( D.

)

5 2

.

x ?x 2. 设函数 f ? x ? ? x e ? ae 是偶函数,则实 a ? ________________

?

?

(0, ? ?) (0, ? ?) 3. 已知定义域为 的函数 f(x) 满足: ①对任意 x ? , 恒有 f(2x)=2f(x) 成立;

(1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论: 当x?
m ? ?) ① 对 任 意 m ? Z , 有 f(2 ;③存在 n ? Z ,使得 )=0; ② 函 数 f(x) 的 值 域 为 [0,

;④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得 f(2n +1)=9 。 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ” 其中所有正确结论的序号是
x -x



4. 设函数 f(x)=x(e +ae )(x ? R)是偶函数,则实数 a=______________

1 ? a 是奇函数,则 a ? . 2 ?1 ?1 , x?0 ? 1 ?x 6. 若函数 f ( x ) ? ? 则不等式 | f ( x ) |? 的解集为____________. 3 ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3
5. 若 f ( x) ?
x

7. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间

?? 8,8?

上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

4

8. 已知函数 f ( x) ? ?

?3x , ?? x,

x ? 1, x ? 1,

若 f ( x) ? 2 ,则 x ?

.

9. 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, f ? x?



f ? f ?5?? ? _______________。
10.已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时,

f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x ? 1 比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

.

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b ? ab 比 a ? b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3)已知函数 f ( x ) 的定义域 D x x ? k? , k ? Z , x ? R .任取 x ? D , f ( x ) 等于 1 ? sin x 和 1 ? sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x ) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、 最小值和单调性(结论不要求证明) 。

?

?

5

2.

已 知 集 合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), xi ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对 于

A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1 , b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

n

| ai ? bi |

(Ⅰ)当 n=5 时,设 A ? (0,1,0,0,1), B ? (1,1,1,0,0) ,求 A ? B , d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅲ) 证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数

3. 已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间

?? 1,1?上有零点,求 a 的取值范围.
函数的基本性质练习题(答案)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内。 一、选择题 题号 答案 题号 答案 1 B 11 D 2 D 12 B 3 D 13 A 4 D 14
B

5 D 15 B

6 A 16 C

7 D 17 D

8 C 18 A

9 A 19 D

10 C 20 A

1. 解析:当 a=0,b=0;a=0,b=1;a=

1 1 ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答 2 2

案选 B,本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数 学素养有较高要求,体现了对能力的考察,属中档题

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称 2?x 2x ?x x ?x x 3. 【解析】 f (? x) ? 3 ? 3 ? f ( x), g (? x) ? 3 ? 3 ? ? g ( x) .
2. 解析: f (? x) ?
6

4.

5.

6.

7. 解析

f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,

? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

? 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) ,及点 (?1, 0) 对称,函数 f ( x) 是周期 T ? 2[1 ? (?1)] ? 4的周
期函数 .? f (? x ? 1 ? 4) ? ? f ( x ? 1 ? 4) , f (? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ? 3) 是奇函

7

数。故选 D 另解

f (x ? 1 ) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,

? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1)


f ? ? x ? 3? ? f ? ?? ? x ? 2 ? ? 1? ???f ? ?? x ? 2 ? ? 1? ???f ? ?? x ? 2 ? ? 1? ? ? ? f ? x ? 1? ? f ? ? x ? 1? ? f ? ?? ? x ? 2 ? ? 1? ? ? ? f ? x ? 3?
即 f ( x ? 3) 是奇函数。 8. 解 析 对 于

?? ( x2 ?

x? 1)

f? ( 2 x ) ? ? f 1( ?x )

, 即1 有 x) 2 (x

?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) 令 有 ?? ? k ? ? , 不妨设 f ( x) ? M?1 , ?? , ?k, x2 ? x1 x2 ? x1
, 即 有

g ( x) ? M? 2

??1 ? k f ? ?1 ,

??2 ? kg ? ?2









??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 ,因此有 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .
9. 解 析 函 数 有 意 义 , 需 使 e ? e
x ?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

e x ? e? x e2 x ? 1 2 y ? x ?x ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. e ?e e ?1 e ?1
另:也可以从函数的奇偶性考虑做出选择的。 10.解析 由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 11. 解析 因为 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周

期的周期函数, 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) ,又因为 f ( x) 在 R 上是 奇 函 数 ,

f (0) ? 0 , 得 f (80) ? f (0) ? 0 , f (?25) ? f (?1) ? ? f (1) , 而 由

f( x ? 4 ) ? ?f 得 ( x f) (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) ,又因为 f ( x) 在区间[0,2]
上是增函数,所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想 和数形结合的思想解答问题.

8

12. 解析 13. 解析

本题考查反函数概念及求法,由原函数 x ? 0 可知 AC 错,原函数 y ? 0 可知 D 错. 本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为( -2 , 2 )关于原点对称,又

f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。 14. 解析 本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= 选 B。 15. 解析 选B , | x1 ? x2 ? | fm a ( ) x x

1 lge, 作商比较知 c>b, 2

b2 ? 4ac 4ac ? b2 , | a |? 2 ?a , a ? ?4 , ? a2 4a

16. 解析 可得 x ? a, x ? b为y ? ( x ? a)2 ( x ? b) ? 0 的两个零解. 当 x ? a 时,则 x ? b ? f ( x) ? 0 当 a ? x ? b 时,则 f ( x) ? 0, 当 x ? b 时,则 f ( x) ? 0. 选 C。 17. 解析 本题用特例法解决简洁快速,对方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? P ? 0 中 m, n, p 分别

赋值求出 f ( x ) 代入 f ( x) ? 0 求出检验即得. 另解:如果是方程 m ? f ( x ) ? ? nf ( x ) ? p ? 0 的解集是 ?1,4,16,64? ,则
2

?m ? f ? ? ?m ? f ? ? ? ?m ? ?f ? ?m ? ? ?f

?1? ? ?

2 2

? nf ?1? ? p ? 0, ? nf ? 2 ? ? p ? 0, ? nf ? 3? ? p ? 0, ? nf ? 4 ? ? p ? 0,

? ? 2 ??

? 3? ? ?

2 2

? 4?? ?

由此可得 f ?1? , f ? 2? , f ?3? , f ? 4? 不可能都相等,也不会有三个相等,故只有两个相等的 两对数,但从二次函数的对称轴考虑,也会引出矛盾。 18. 解析 由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3

9

故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 注:本题如用函数图像求解比较自然。 19.解析 由原函数是 y ?

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) ,从中解得 1 ? ax a

x?

1? y 1? y 故选 ( y ? R, 且y ? ?1) 即原函数的反函数是 x ? ( y ? R, 且y ? ?1) , a(1 ? y) a(1 ? y)
1 1? x f ( x) ,取 x ? ? ,则有: 2 x

择D 20. 解析 若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ?

1 1 1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) (∵ f ( x) 是偶函数,则 f ( ) ? f (? ? 1) ? 1 2 2 2 2 2 ? 2 1 1 1 f (? ) ? f ( ) )由此得 f ( ) ? 0 于是 2 2 2 3 1 1? 1? 5 3 3 5 3 5 1 5 2 f ( ) ? f ( ) ? f ( ? 1) ? [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 f ( ) ? f ( ? 1) ? 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 1?

。二、填空题:请把答案填在题中横线上. 1.

2. 【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e +ae 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。 3. 答案:①②④ m m-1 2 m-2 m-1 解析:f(2 )=2f(2 )=2 f(2 )=?=2 f(2)=0,故①对;

x

-x

1 f(2x), 2 1 x x x x 1 1 1 则 f( k )= f( k-1 )= 2 f( k-2 )= 3 f( k-3 )=?= k f(x)(k∈Z), 2 2 2 2 2 2 2 2
∵f(2x)=2f(x),∴f(x)=

10

x ). 2k x k, k+1 当 x∈(2 2 ]时, k ∈(1,2], 2 x x x k k+1 ∴f( k )=2- k ,即 f(x)=2 (2- k )=2 -x∈[0,+∞),故②对. 2 2 2
∴f(x)=2 f(
k

假设存在 x∈Z 满足 f(2 +1)=9,由 2 <2 +1≤2 ,f(2 +1)=2 n 2 =10, 又 n∈Z,故不存在,③错; k, k+1 k+1 ∵x∈(2 2 ]时,f(x)=2 -x,单调递减, k, k+1 故当(a,b 2 )时,f(x)在(a,b)上单调递减,故④对. 4. 答案 a=-1

n

n

n

n+1

n

n+1

-(2 +1)=9,即

n

【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e +ae 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1。

x

-x

5. 答案

1 2
解法 1 f (? x) ?

解析

1 2x ? a ? ? a, f ( ? x ) ? ? f ( x ) 2? x ? 1 1 ? 2x

?

2x 1 1 2x 1 ? a ? ? ( ? a ) ? 2 a ? ? ? 1故a ? x x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2

6. 答案

??3,1?

解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查.

?x ? 0 1 ? (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3
?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 3 ?? ? ? ? ? ? 3 ? ?? 3 ? 3 ??3? 1 ∴不等式 | f ( x ) |? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1 ? ,∴应填 ??3,1? . 3
7. 答案 -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以, 由 f ( x) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知

f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,

11

所以 f ( x) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有 四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 由对称性知 x1 ? x2 ? ?12 x3 ? x4 ? 4 所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?12 ? 4 ? ?8

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 另:可以从已知条件及图像,可以得出

x2 ? ? x3 ? 4, x1 ? ? x4 ? 4
故 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8. 8. 答案
.s.5 .w 5.u.c

log3 2

解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、 基本运算的 考查. 由?

?x ? 1
x

?x ? 1 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? ? x ? 2 ? x ? ? 2 3 ? 2 ? ?
1 5

9. 答案 解析 10. 答案

f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?
-x-x
4

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1. 解析:(1) x?(?2,2); (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a2b ? ab2 ? 2ab ab , a3 ? b3 ? 2ab ab , 因为 | a2b ? ab2 ? 2ab ab | ? | a3 ? b3 ? 2ab ab |? ?(a ? b)(a ? b)2 ? 0 , 所以 | a2b ? ab2 ? 2ab ab |?| a3 ? b3 ? 2ab ab | ,即 a b?ab 比 a ?b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

12

?1 ? sin x, x ? (2k? ? ? , 2k? ) (3) f ( x) ? ? ? 1? | sin x |, x ? k? ,k?Z, ?1 ? sin x, x ? (2k? , 2k? ? ? )

f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T??,函数 f(x)的最小值为 0,
函数 f(x)在区间 [k? ?

?

, k? ) 单调递增,在区间 (k? , k? ? ] 单调递减,k?Z. 2 2

?

。2. (Ⅰ)解: A ? B ? ( 0 ?1 , 1 ?1 , 0 ?1 , 0 ? 0 , 1 ? 0 ) =(1,0,1,0,1)

设 t 是使 bi ? ai ? ci ? ai ? 1成立的 i 的个数。则 h ? l ? k ? 2t

13

(ⅲ)另解:易证分别整存在整数 k , m, l 使得

d ? A, B ? ? ? ai ? ? bi ? 2k , d ? A, C ? ? ? ai ? ? ci ? 2m, d ? B, C ? ? ? bi ? ? ci ? 2l.
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

n

n

由抽屉原来得, 在

? ai ,? bi ,? ci 中,至少有两个数有相同的奇偶性,从而在 d ? A, B? ,
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

d ? A, C ? , d ? B, C ? 中,至少有一个偶数。
若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 . 解得 a ?

3. 解析

令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0 ,

?3 ? 7 2

①当 a ?

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ??1,1? 上;

②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在

??1,1? 上也恰有一个零点.
③当 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点时, 则

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a ?

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或? ?1 ? ? ?1 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 5 2 ?3 ? 5 . 2
14

综上所求实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ?


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