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(第5课)空间的平行直线与异面直线(2)




题:9.2

空间的平行直线与异面直线(二)

教学目的: 1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念; 2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法. 3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离 教学重点:两异面直线的公垂线及距离的概念. 教学难点:两异面直线所成角及距离的求法. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具

:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 空间两直线的位置关系 (1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内,没有公共点; (3)异面——不在任何一个平面内,没有公共点; ..
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2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式: a // b, b // c ? a // c .

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3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那 么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条 直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法
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a b

b a
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b
A1

D1 B1 D A B

C1 C

a

6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面 内不经过此点的直线是异面直线 推理模式: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? AB 与 l 是异面直线
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7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b , a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把

a b
O

b′

.为了简便, a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角) 点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围: (0,
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?
2

]

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8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂 直.两条异面直线 a , b 垂直,记作 a ? b . 9.求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成 的角即为所求 二、讲解新课: 两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交的直线, 我们称之为异面直线 D1 ....
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C1 B1 C

的公垂线 理解:因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交, D 所以公垂线的定义要注意“相交”的含义. A B 定义:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段 (公垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离. 两条异面直线的公垂线有且只有一条 三、讲解范例: 例 1 设图中的正方体的棱长为 a (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA1 成异面直线? (2)求直线 BA1 和 CC1 所成的角的大小. (3)求异面直线 BC 和 AA1 的距离. 解: (l)∵A1 不在平面 BC1,而点 B 和直线 CC1 都在平面 BC1 内,且 B ? CC1. ∴直线 BA1 与 CC1 是异面直线. 同理,直线 C1D1、D1D、DC、AD、B1C1 都和直线 BA1 成异面直线. (2)∵CC1∥BB1 ∴BA1 和 BB1 所成的锐角就是 BA1 和 CC1 所成的角. ∵∠A1BB1=45°, ∴BA1 和 CC1 所成的角是 45°. D1 C1 (3)∵AB⊥AA1,AB∩AA1=A, A1 B1 又∵AB⊥BC,AB∩BC=B, ∴AB 是 BC 和 AA1 的公垂线段. D C ∵AB=a, A B ∴BC 和 AA1 的距离是 a. 说明:本题是判定异面直线,求异面直线所成角与距离的综合题,解题时要
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A1

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注意书写规范. 例 2 已知 E , F , G, H 分别是空间四边形四条边 AB, BC, CD, DA 的中点,
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(1)求证四边形 EFGH 是平行四边形 (2)若 AC⊥BD 时,求证: EFGH 为矩形;
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(3)若 BD=2,AC=6,求 EG ? HF ;
2 2

(4)若 AC、BD 成 30?角,AC=6,BD=4,求四边形 EFGH 的面积; (5)若 AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,求 AC 与 BD 间的距离. 证明(1) :连结 AC , BD , ∵ E , F 是 ?ABC 的边 AB, BC 上的中点, ∴ EF // AC , 同理, HG // AC ,∴ EF // HG , 同理, EH // FG , 所以,四边形 EFGH 是平行四边形
E B F
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A H D G C

证明(2) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 EF // AC , EH // BD ∵ ∴由 AC⊥BD 得, EF ? EH ∴ EFGH 为矩形. 解(3) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵BD=2,AC=6,
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A E B F C H D G

1 1 ∴ EF ? AC ? 3, EH ? BD ? 1 2 2
∴由平行四边形的对角线的性质 EG ? HF ? 2( EF ? EH ) ? 20 .
2 2 2 2

解(4) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵BD=4,AC=6, ∴ EF ?

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1 1 AC ? 3, EH ? BD ? 2 2 2 又∵ EF // AC , EH // BD ,AC、BD 成 30?角,
∴EF、EH 成 30?角, ∴四边形 EFGH 的面积 S ? EF ? EH sin 30 ? 3 .
0

解(5) :分别取 AC 与 BD 的中点 M、N,连接 MN、MB、MD、NA、NC,

∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2, ∴MB=MD=NA=NC= 3 ∴ MN ? AC, MN ? BD ∴MN 是 AC 与 BD 的公垂线段 且 MN ?

A

M B N C D

MB2 ? NB 2 ? 2

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∴AC 与 BD 间的距离为 2 .

例 3 平行四边形 ABCD 的内角 C=60°,CD=2BC,沿对角线 BD 将平行四边形所 在平面折成直二面角;求 AC、BD 所成的角. 解:如图,折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a. 由余弦定理得 BD2=a2+4a2-a·2a=3a2, ∴BD= 3a . ∵AD2+BD2=AB2, ∴△ABD 是直角三角形. 即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°. 折起后∠ADB=∠CBD=90°. 如图,过 A 作 AE BD,连结 AC、 BE,四边形 AEBD CE、

是矩形,BD⊥BE,DB⊥BC. ∴∠CBE 是二面角 A—BD—C 的平面角. ∴∠CBE=90°,EC2=2a2. ∵DB⊥平面 EBC,∴DB⊥EC. ∵AE⊥EC,AC2=AE2+EC2=5a2, 由 AE‖BD 得∠CAE,即为 AC 与 BD 所成的角. 在 Rt△AEC 中,cos∠CAE=

AE ? AC

3 5

?

15 . 5

于是 AC 与 BD 所成角为 arccos

15 . 5

例 4 空间四边形 ABCD 中, AD ? BC ? 2 , E , F 分别是 AB, CD 的中点,
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EF ? 3 ,求异面直线 AD, BC 所成的角

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解:取 BD 中点 G ,连结 EG, FG, EF ,∵ E , F 分别是 AB, CD 的中点,

∴ EG // AD, FG // BC, 且 EG ?

1 1 AD ? 1, FG ? BC ? 1 , 2 2
E B

A

∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角,

EG 2 ? FG 2 ? EF 2 1 ?? , 在 ?EGF 中, cos ?EGF ? 2 EG ? FG 2
∴ ?EGF ? 120 ,异面直线 AD, BC 所成的角为 60 .
? ?

G
F

D

C

说明:异面直线所成的角是锐角或直角,当三角形 ?EGF 内角 ?EGF 是钝角 时,表示异面直线 AD, BC 所成的角是它的补角
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例 5 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求(1)A1B 与 B1D1 所成角;(2)AC 与 BD1 所成角. 解(1)如图,连结 BD,A1D, ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴DD1 平行且相等 BB1. ∴DBB1D1 为平行四边形,∴BD//B1D1. ∴A1B,BD,A1D 是全等的正方形的对角线. ∴A1B=BD=A1D,△A1BD 是正三角形, o ∴∠A1BD=60 , ∵∠A1BD 是锐角, ∴∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角. o ∴A1B 与 B1D1 成角为 60 . (2)连 BD 交 AC 于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC. ∵O 为 BD 中点,∴OE//BD1. o ∵∠EDA=90 =∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC. o 在等腰△EAC 中,∵O 是 AC 的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90 . o 又∴∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成角,∴AC 与 BD 成角 90 . 例 6.在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D 中,已知 AB=a,BC=b, AA? =c(a>b),求 异面直线 D ?B 与 AC 所成角的余弦值 解:在长方体的一旁,补上一个全等的长方体, 则 BE≠AC, ?D ?BE (或其补角)即 D ?B 和 CD 所的角
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∵ D?B ?

a 2 ? b 2 ? c 2 , BE ? a 2 ? b 2 , D?E ? 4a 2 ? c 2 ,
D?B 2 ? BE 2 ? D?E 2 2 ? D?B ? BE

∴ cos?D ?BE ?



? a2 ? b2 (a 2 ? b 2 )( a 2 ? b 2 ? c 2 )

?0

∴ D ?B 与 AC 所成角的余弦值为

a2 ? b2 (a 2 ? b 2 )( a 2 ? b 2 ? c 2 )

.

四、课堂练习: 1.判断题(对的打“√” ,错的打“×” ) (1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 ( ) (2)两线段 AB、CD 不在同一平面内,如果 AC=BD,AD=BC,则 AB⊥CD( ) (3)在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60? ( ) (4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直 ( ) 答案: (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中 N ①BM 与 ED 平行; D C M ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60?角; E A B ④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 ( ) F (A)①②③ (B)②④ (C)③④ (D)②③④ 答案:C 3.已知空间四边形 ABCD. (1)求证:对角线 AC 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状; (3)若 AB=BC=CD=DA,作出异面直线 AC 与 BD 的公垂线段. 证明:(1)∵ABCD 是空间四边形, ∴A 点不在平面 BCD 上,而 C ? 平面 BCD, ∴AC 过平面 BCD 外一点 A 与平面 BCD 内一点 C, 又∵BD ? 平面 BCD,且 C ? BD.∴AC 与 BD 是异面直线.
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(2)解如图,∵E,F 分别为 AB,BC 的中点,∴EF//AC,且 EF= 同理 HG//AC,且 HG=

1 AC. 2

1 AC.∴EF 平行且相等 HG,∴EFGH 是平行四边形. 2

又∵F,G 分别为 BC,CD 的中点,∴FG//BD, ∴∠EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH 是矩形. (3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求.

4.完成下列证明,已知直线 a、b、c 不共面,它们相交于点 P,A?a,D?a, B?b,E?c 求证:BD 和 AE 是异面直线 证明:假设__ 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面__内
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?A?a,D?a,∴__?γ . ?P?a,∴P?__. ?P?b,B?b,P?c,E?c ∴__??,__??,这与____矛盾 ∴BD、AE__________
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答案:假设 BD、AE 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面 ? 内 ∵A?a,D?a,∴ a ??. ∵P?a,P? ? . ∵P?b,B?b,P?c,E?c. ∴ b ??,c ??,这与 a、b、c 不共面矛盾 ∴BD、AE 是异面直线 五、小结 :本节课我们学习了两条异面直线所成的角,以及两条异面直线间的 距离和有关概念.并学会如何求两条异面直线所成角及距离,懂得将其转化为 平面几何问题来解决 空间四边形的中点四边形为平行四边形、矩形、菱形的 条件,以及与对角线的长度夹角有关的问题的解法 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记:

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