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2012高一数学 3.1.3 概率的基本性质 1课件 新人教A版必修3


3.1.3 概率的基本性质
周峰

2013-8-20

自学导引 1.正确理解事件的包含、并事件、交事件,以及互斥事件、对立事 件的概念. 2.掌握概率的几个基本性质,并能灵活运用其解决实际问题. 3.正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联

系.

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不可能同时发生的事件 1.________________________叫做互斥事件(或称

________________________).

互不相容事件

(1)“互斥”所研究的是两个或多个事件的关系;
(2)因为每个事件总是由几个基本事件(不同的几个结果)组
空集 成,从集合的角度讲,互斥事件就是它们的交集为_______,

也就是没有共同的基本事件(相同结果).

2013-8-20

2.如果A与B是互斥事件, 且在一次试验中A与B必有一个发生,那么A与B ________________________________ 叫做互为对立事件.事件A的对立事件记作 ___________,由于A与 A A是互斥事件, 所以P(A ? A) ? P ? A ? ? P( A), 又由A ? A是必然事 件得到P(A ? A) ? 1.

2013-8-20

(1)“对立”所研究的是互斥事件中两个事件的非此即彼的关系;

? 2 ? 可理解为 : A是A在所有结果组成的全集
中的补集,即由全集中的所有不是A的结果组成的A;

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A∩B=? (3)对立事件A与B应满足两个条件________且 A∪B=U(U为全集)

__________;

(4)对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对
立事件;

(5)对立事件是指两个事件,而互斥事件可能有多个.
P(A)+P(B)

3.事件A与事件B互斥时,则P(A∪B)=________.特例, 若A与B为对立事件,则
1 P(A)=__________,P(A∪B)=________,P(A∩B)=
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1-P(B)

________.

0

1.互斥事件与对立事件 如果两个事件A和B不可能同时发生,则称A和B互斥.从集合的角度 看,是指这两个事件所包含的结果组成的集合不相交,即A∩B=?. 易知,必然事件与不可能事件是互斥的,任何两个基本事件都是互 斥的.如果A1,A2,?An中的任何两个都是互斥事件,那么我们说,事

件A1,A2?,A n 彼此互斥.从集合的角度看,n个事件彼此互斥,是
指由各个事件所包含的结果组成的集合彼此各不相交.

2013-8-20

如果A与B是互斥事件,且在一次试验中A与B必有一个发生,则称它 们为对立(互逆)事件.从集合的角度看,由事件B所含的结果组成 的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集,即满足

条件A∩B=?且A∪B=U,通常事件A的对立事件记作.

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2.概率加法定理
两互斥事件的和的概率,等于这两事件的概率的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B).更一般地,有限个彼此互斥事件的和的概率, 等于这些事件的概率的和,即
P(? Ai ) ? ? p ? Ai ?.
i ?1 i ?1 n n

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3.事件与集合之间的对应关系 如下表所示: 符号 概率论 集合论

Ω
? ω A

必然事件
不可能事件 试验的可能结果 事件

全集
空集 Ω中的元素 Ω的子集

2013-8-20

A?B
A=B

B包含事件A
事件A与事件B相 等 事件A与事件B的 并

集合B包含集合A
集合A与集合B相 等 集合A与集合B的 并

A∪B(或A+B)

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A∩B(或AB)
A∩B=?

事件A与事件B的 交 事件A与事件B互 斥
事件A与事件B对 立

集合A与集合B的 交 集合A与集合B 的交为空集
集合A与集合B 互为补集

A∩B=? A∪B=Ω

2013-8-20

题型一 互斥?对立事件的判断 例1:某县城有两种报纸甲?乙供居民订阅,记事件A为“只订甲报”, 事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”,事件D为

“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件
是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E. 分析:利用互斥事件?对立事件的定义.

2013-8-20

解:(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事 件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件. (2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时 发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定 发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故B与E还是对立事

件.

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(3)事件B“至少订一种报”中可能只订乙报,即有可能不订甲报,也 就是说事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不互斥. (4)事件B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”“只订乙 报”“订甲?乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可 能:“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件

可能同时发生,故B与C不是互斥事件.

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(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能, 事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥. 规律技巧:互斥事件是不可能同时发生的事件,而对立事件不仅不能 同时发生而且必须有一个发生,故对立事件一定是互斥事件,而互 斥事件不一定是对立事件.只要找出各个事件包含的所有的结果,

它们之间能不能同时发生便很容易知道,这样便可判定两事件是
否互斥. 在互斥的前提下,看两事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立 事件.

2013-8-20

变式训练1:一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事 件?哪些是对立事件? 事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环;

事件D:命中环数为6?7?8?9?10环.

2013-8-20

解:事件A与事件C互斥(不可能同时发生);事件B与事件C互斥;事件 C与事件D互斥. 因为事件C与事件D至少有一个发生,所以事件C与事件D是对立事 件.

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题型二 互斥?对立事件的概率 例2:一盒中装有各色球12只,其中5只红球?4只黑球?2只白球?1只 绿球.从中随机取出1球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出的1球是红球?黑球或白球的概率.

分析:可按互斥事件和对立事件求概率的方法,利用公式进行求解.

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解:解法1:
(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得红球或黑球共有 5+4=9种不同取法,任取1球有12种取法. 所以任取1球得红球或黑球的概率

9 3 P? ? . 1 12 4
(2)从12只球中任取一球得红球有5种取法,得黑球有4种 取法,得白球有2种取法.从而得红?黑或白球的概率为

5 ? 4 ? 2 11 ? . 12 12
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解法2:(利用互斥事件求概率)记事件A1={任取1球为红球};A2={任取
一球为黑球};A3={任取一球为白球};A4={任取1球为绿球},则

5 4 2 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? . 12 12 12 12

2013-8-20

根据题意知,事件A1?A2?A3?A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得.
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
5 4 3 P(A1 ? A 2 ) ? P ? A1 ? ? P ? A 2 ? ? ? ? . 12 12 4 (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

5 4 2 11 P ? A1 ? A 2 ? A3 ? ? P ? A1 ? ? P ? A 2 ? ? P ? A 3 ? ? ? ? ? . 12 12 12 12

2013-8-20

解法3:(利用对立事件求概率的方法)
(1)由解法2知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿 球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取得1红球或黑球的概率 为
P(A1 ? A 2 ) ? 1 ? P(A 3 ? A 4 ) ? 1 ? P ? A 3 ? ? P ? A 4 ? ? 1 ? 2 1 9 3 ? ? ? . 12 12 12 4

(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,
所以P(A1 ? A 2 ? A3 ) ? 1 ? P ? A 4 ? ? 1 ? 1 11 ? . 12 12

2013-8-20

规律技巧:1.“互斥”和“对立”事件很容易搞混.互斥事件是指两事 件不可能同时发生,对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生. 2.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此 互斥的事件的和;二是去求对立事件的概率,进而再求所求事件的 概率.

2013-8-20

变式训练2:某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接 的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.2,响第三声被接的概率 为0.3,响第4声时被接的概率为0.3,那么电话在响前4声内被接的

概率是多少?

2013-8-20

解:记电话响第i声时被接为事件Ai(i=1,2,3,4),电话响第5声之前被接 为事件A,由于A1?A2?A3?A4彼此互斥,所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)

=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)
=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9.

2013-8-20

题型三 概率的实际应用 例3:某公务员去开会,他乘火车?轮船?汽车?飞机去的概率分别为 0.3?0.2?0.1?0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率;

(3)如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?
分析:分清事件之间是互斥关系还是对立关系,然后套用相关公式.

2013-8-20

解:(1)记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他 乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可 能同时发生,故它们彼此互斥,故

P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.

(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,
故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.

2013-8-20

规律技巧:由于一次不会乘坐两种交通工具,因此各事件间彼此互斥, 故可考虑互斥事件概率公式. 带有“不”“不大于”等否定字眼的常可用对立事件概率公式.

2013-8-20

变式训练3:经统计,某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率

如下:
排队人数 0 1 2 3 4
5人及5人以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

(1)至多2人排队等候的概率是多少?

(2)至少3人排队等候的概率是多少?

2013-8-20

解:记在窗口等候的人数为0,1,2,分别为事件A?B?C,则A?B?C彼此 互斥, (1)至多2人排队等候的概率为: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)至少3人排列等候的概率为:1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.

2013-8-20

1.如果事件A?B互斥, 记A、B分别为A?B的对立事件, 那么( ) B. A ? B是必然事件 D. A与B一定不互斥 A.A ? B是必然事件 C. A与B一定互斥

解析 : A?B互斥,? A?B至少有一个不发生, ? 即A与B至少有一个发生,? A ? B是必然事件.
答案:B

2013-8-20

2.下列各组事件中,不是互斥事件的是(

)

A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班级数学期中考试成绩,平均分数低于90分与平均分数 高于90分 C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒

D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%
解析:读题易知,C不是互斥事件.

答案:C

2013-8-20

3.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球,那么互斥而不 对立的两个事件是( ) A.至少有一个白球,全是白球

B.至少有一个红球,都是红球
C.恰有一个白球,恰有两个白球 D.至少有一个白球,至少有一个红球 解析:结合互斥事件与对立事件的定义知,对于C中恰有一个白球,即 1白1红,与恰有两个白球是互斥事件,但不是对立事件.因为还有

两个红球的情况,故选C.
答案:C
2013-8-20

4.某产品分甲?乙?丙三级,其中乙?丙两级均属次品,若生产中出现乙 级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得 正品的概率为( )

A.0.96
C.0.97

B.0.98
D.0.09

解析:设抽查1件,抽得正品为事件A,则P(A)=1-0.03-0.01=0.96.
答案:A

2013-8-20

5.若A?B是互斥事件,则( A.P(A∪B)<1 C.P(A∪B)>1

) B.P(A∪B)=1 D.P(A∪B)≤1

解析:∵A?B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1.(当A?B对立 时,P(A∪B)=1).

答案:D

2013-8-20

1 6.甲?乙两人下棋, 下成和棋的概率是 ,乙获胜的概 2 1 率是 , 则甲胜的概率是() 3 1 5 1 2 A. B. C. D. 6 6 2 3

1 1 1 解析 :由题意知甲获胜的概率为1 ? ? ? . 2 3 6
答案:A

2013-8-20

7.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件

两次都不中靶 是__________________.

2013-8-20

8.某产品分一?二?三级,其中一?二级是正品,若生产中出现
正品的概率是0.98,二级品的概率是0.21,则出现一级品和
0.77 0.02 三级品的概率分别是________,________.

解析:由题意知,出现一级品的概率为0.98-0.21=0.77,出现三级品的概率是1-0.98=0.02.

2013-8-20

9.在掷骰子试验中,可以定义很多事件,例如: A={出现1点},B={出现3点或5点},C={出现点数为奇数},D={出现点 数为偶数}.试说明以上四个事件的关系,并写出两两的运算结果. 解:(1)A与B互斥,A包含于C,A与D互斥,B包含于C,B与D互斥,C与D 对立.

2013-8-20

(2)A∩B=?,A∪B=C. A∩C=A,A∪C=C. A∩D=?,A∪D={出现1点或出现点数为偶数}. B∩C=B,B∪C=C. B∩D=?,B∪D={出现3点或5点或出现点数为偶数}. C∩D=?,C∪D=U(U表示必然事件}.

2013-8-20

11.(2009· 湖南)一个总体分为A?B两层,用分层抽样方法从总体中抽
取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为?,

120 则总体中的个体数为________.

10 1 解析 : 设总体中含有n个个体, 则有 ? , n 12 ? n ? 120.

2013-8-20

12.(2007·上海春)在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多
12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选到男教师的概率 为
9 20

120 ,则参加联欢会的教师共有________人.

解析:设有男教师x人,则女教师有x+12人,依题意得
x 9 ? ,解得x=54,∴参加联欢会的教师共有 2 x ? 12 20

2×54+12=120(人).

2013-8-20


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