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2014海淀期末试题-高三数学(答案理)


海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理) 2014.1

参考答案及评分标准
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 A 6 C 7 B
<

br />8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2 12. 2 3 三、 共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ? 因为, f ( x) ? 10. 13.

4 5

11.

(0,1) ;4

2

14.

4 ;①②③ 3

解答题(本大题

π ,k ? Z . 4

cos2 x ? 2sin x sin x ? cos x
cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin x sin x ? cos x
-----------------------------------2 分

?

? cosx ? sin x

π ? 2 sin( x ? ) , 4
因为在 ?ABC 中, cos A ? ? ? 0 , 所以

-------------------------------------4 分

3 5

π ? A? π, 2

-------------------------------------5 分

所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

4 , 5

------------------------------------7 分 -----------------------------------8 分

所以 f ( A) ? sin A ? cos A ?

4 3 1 ? ? . 5 5 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 2 sin( x ? ) , 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 π .
第 1 页 共 5 页

π 4

-----------------------------------10 分

因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+ 又由 x ?

π ,k ? Z , 2

-----------------------------------11 分

π π π ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 4 2 4
π ,k ? Z . 4
----------------------------------13 分

所以 f ( x ) 的对称轴的方程为 x ? kπ+

16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ? 1 , 所以 a ? 0.06 . (Ⅱ)由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于 8 环的概率为 --------------------------------3 分

0.45 ? 0.29 ? 0.01 ? 0.75
由题意可知随机变量 X 的取值为:0,1,2,3.

----------------------------------4 分 ----------------------------------5 分

事件“ X ? k ”的含义是在 3 次射击中,恰有 k 次击中目标靶的环数不低于 8 环.

? 3? P( X ? k ) ? C ? ? ?4?
k 3

k

? 3? ?1 ? ? ? 4?
0

3?k

(k ? 0,1,2,3)

----------------------------------8 分

即 X 的分布列为

X

1

2

3

P

1 64

9 64

27 64

27 64

所以 X 的期望是 E( X ) ? 0 ? (Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. 17. (本小题共 14 分)

1 9 27 27 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ------------------------10 分 64 64 64 64 4
---------------------------------13 分

解: (Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , 所以 O 为 AC , BD 中点. 又因为 PA ? PC , PB ? PD , 所以 PO ? AC , PO ? BD , 所以 PO ? 底面 ABCD . (Ⅱ)由底面 ABCD 是菱形可得 AC ? BD , 又由(Ⅰ)可知 PO ? AC , PO ? BD . 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz .

-------------------------------------1 分 ---------------------------------------3 分 ----------------------------------------4 分 z

P

由 ?PAC 是边长为 2 的等边三角形, PB ? PD ? 6 , 可得 PO ? 3, OB ? OD ? 3 . 所 以 A( 1 , 0 C , ?0 ) , ---------------------------------------5 分

F
x A

D
O 3 , 0 ) , By C ( 0 , 0 ,

B (

1 , 0 , P0 ) , .

( 0 ,

3 )

所以 CP ? (1,0, 3) , AP ? (?1,0, 3) . 由已知可得 OF ? OA ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? 3 3 AP ? ( ,0, ) 4 4 4
第 2 页 共 5 页

-----------------------------------------6 分

设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ? ? 3 y ? 0, ? ? n ? OB ? 0, ? 即?3 ? ? ??? 3 n ? OF ? 0, z ? 0. ? ? x? ? ?4 4 令 x ? 1 ,则 z ? ? 3 ,所以 n ? (1,0, ? 3) . ??? ? ??? ? CP ? n 1 ? 因为 cos ? CP ? n ?? ??? ?? , 2 | CP | ? | n |
所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的正弦值为

----------------------------------------8 分 ----------------------------------------9 分

1 , 2
?

所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小为 30 . (Ⅲ)设

-----------------------------------------10 分

BM ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 BP

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? CM ? CB ? BM ? CB ? ? BP ? (1, 3(1 ? ? ), 3? ) . ---------------------------------11 分 ???? ? 若使 CM ∥平面 BDF ,需且仅需 CM ? n ? 0 且 CM ? 平面 BDF ,---------------------12 分 1 解得 ? ? ? [0,1] , ----------------------------------------13 分 3 所以在线段 PB 上存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF . BM 1 此时 = . -----------------------------------14 分 BP 3
18.(本小题共 13 分)

?ae x ( x ? 2) ?a( x ? 2) 解: (Ⅰ) f '( x ) ? , x?R . ? (e x )2 ex
当 a ? ?1 时, f ( x ) , f '( x) 的情况如下表:

------------------------------------------2 分

x
f '( x )
f ( x)

( ??, 2)
?


2 0 极小值

(2, ?? )

?
↗ -----------------------------------------6 分

所以,当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 的极小值为 ?e?2 . (Ⅱ) F '( x ) ? f '( x ) ?

? a ( x ? 2) . ex

①当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如下表:

x
f '( x )
f ( x)

( ??, 2)

2 0 极小值

(2, ?? )

?


?
↗ --------------------------------7 分

因为 F (1) ? 1 ? 0 , 若使函数 F ( x ) 没有零点,需且仅需 F (2) ? 所以此时 ?e 2 ? a ? 0 ;

------------------------------8 分

a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?e 2 ,-------------------9 分 e2
-----------------------------------------------10 分

第 3 页 共 5 页

②当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如下表:

x
f '( x )

( ??, 2)

2 0 极大值
1? 10 a

(2, ?? )
?
↘ --------11 分

?


f ( x)

10 e 因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,且 F (1 ? ) ? a
所以此时函数 F ( x ) 总存在零点.

? 10

e

10 1? a

?

e ? 10 e
1? 10 a

? 0 ,---------------------------12 分

--------------------------------------------13 分

综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ?e 2 ? a ? 0 . 19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由题意得 c ? 1 , ---------------------------------------1 分 ------------------------------------------2 分 -------------------------------------------3 分 ---------------------------------------------4 分 ------------------------------------------6 分 ------------------------------------------7 分

c 1 ? 可得 a ? 2 , a 2 2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 , x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆的方程为 4 3 3 (Ⅱ)由题意可得点 A( ?2,0), M (1, ) , 2
由 所以由题意可设直线 l : y ? 设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,

1 x ? n ,n ?1. 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? ?4 2 2 3 由? 得 x ? nx ? n ? 3 ? 0 . ? y ? 1 x?n ? ? 2 由题意可得 ? ? n2 ? 4(n2 ? 3) ? 12 ? 3n2 ? 0 ,即 n ? (?2,2) 且 n ? 1 . -------------------------8 分
-------------------------------------9 分 x1 ? x2 ? ?n, x1x2 ? n2 ? 3 . 3 3 y1 ? y2 ? 2? 2 因为 k MB ? k MC ? -----------------------------------10 分 x1 ? 1 x2 ? 1 1 3 1 3 x1 ? n ? x2 ? n ? 2?2 2 ? 1? n ?1 ? n ?1 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

? 1?

( n ? 1)( x1 ? x2 ? 2) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ( n ? 1 )n (? 2 ) ? 1? ? 0, 2 n ?n?2

---------------------------------13 分 ---------------------------------14 分 -----------------------------------3 分 ------------------------------------4 分

所以直线 MB, MC 关于直线 m 对称. 20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)①②③都是等比源函数. (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数.
第 4 页 共 5 页

证明如下: 假设存在正整数 m, n, k 且 m ? n ? k ,使得 f (m), f (n ), f (k ) 成等比数列,
n 2 (2 ? 1 ) ? (m2? k 22 n ? 2n ?1 ? 2m?k ? 2m ? 2k , 1) (? 2 ,整理得 1)

-------------------------5 分

等式两边同除以 2 m , 得 22 n ?m ? 2n ?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 . 因为 n ? m ? 1, k ? m ? 2 ,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数, 所以等式 22 n ?m ? 2n ?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 不可能成立, 所以假设不成立,说明函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数. (Ⅲ)法 1: 因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d , 所以 ?d , b ? N* ,数列 {g ( n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列. -----------------------------8 分

?d , b ? N* , g (1), g (1)(1 ? d ), g (1)(1 ? d )2 成等比数列,
因为 g (1)(1 ? d ) ? g (1) ? ( g (1) ? 1 ? 1)d ? g[ g (1) ? 1] ,

g (1)(1 ? d )2 ? g (1) ? (2 g (1) ? g (1)d ? 1 ? 1)d ? g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ,
所以 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ?{g (n) | n ? N*} , 所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数. -------------------------------------------13 分 (Ⅲ)法 2: 因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d , 所以 ?d , b ? N* ,数列 {g ( n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列. 由 g 2 (m) ? g (1) ? g (k ) , (其中 1 ? m ? k )可得

[ g (1) ? (m ? 1)d ]2 ? g (1) ? [ g (1) ? (k ? 1)d ] ,整理得 (m ? 1)[2 g (1) ? (m ? 1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 令 m ? g (1) ? 1 ,则 g (1)[2 g (1) ? g (1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 所以 k ? 2 g (1) ? g (1)d ? 1 ,
所以 ?d , b ? N* ,数列 {g ( n )} 中总存在三项 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] 成等比数列. 所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.-------------------------------------------13 分

第 5 页 共 5 页


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