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研究性课题 多面体欧拉公式的发现


研究性课题
【教材分析】

多面体欧拉公式的发现

教材结合 9.8 节关于多面体的分类而编,目的在于以学生主动参与的发现式学习活 动,培养他们通过观察发现规律并证明所得猜想的能力。 【学情分析】 该公式的证明较抽象,前后知识的联系较少,学生理解上有较大难度。但在前面立 几教学中学生已有将空间问题转化为平面问题来研究的降维思想和转

化策略的基 础,所以本节课采用多媒体辅助教学,降低空间想象的难度,突破降维过程中的变 与不变的难点,从而达到降低教学难度的目的。 【教学目标】 1 、知识目标:培养学生观察,归纳,大胆猜想的能力,了解欧拉公式的发现及其 法。 2、能力目标 掌握公式证明体现的思想方法。使学生领悟转化、化归思想,从空 间到平面的降维策略,学会从一般到特殊和特殊到一般的分析问题和 解决问题的方法,增强学生应用数学知识解决实际问题的的意识和能 力。 3、情意目标 通过教学使学生了解和感知欧拉公式发现的历程,激发学生热爱科学 勤奋学习热情,培养学生勇于探索的创新意识。 【教学重点】 欧拉公式和它的证明,证明的思想方法是重点。 【教学难点】 证明过程是难点。 【教学过程】 问题 1:下面 6 个多面体,分别数出它们的顶点数 V、面数 F 和棱数 E,并填出表 1。
D1 A1 B1 C1

D A B

C

(1)

(2)

(3)
D1 A1 B1 C1 D E C

E1

(4)

(5)

A

(6)

B

1

图形编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

顶点数 V

面数 F

棱数 E

观察表 1 中各组数据,猜想 V、F、E 之间的规律:___________。 是否任意一个多面体都有上述规律吗? 问题是数学的心脏。创设问题情境,让学生在解决问题的过程中去观察、猜想、探 索;让学生以类似或模拟科学研究的方式进行学习,使学生形成探究性学习的习惯,培养 和锻炼学生的探究能力。 问题 2:下面 3 个多面体,分别数出它们的顶点数 V、面数 F 和棱数 E,并填出表 2。

(7) 图形编号 (7) (8) (9) 顶点数 V

(8) 面数 F

(9) 棱数 E

简单直观的问题情景能一下子激发学生探索的兴趣。学生进入问题情景,发现问题,在问 题的驱动下,进入探究性活动。

问题 3:比较前面问题 1 和问题 2 中的图形,如果这些多面体的表面都是用橡皮膜制 成的,并且可以向它们的内部充气,那么其中哪些多面体能够连续(不破裂、不粘连)变 形,最后其表面可变为一个球面?哪些能变为一个环面?哪些可变为两个对接球面? 教师向学生提供材料,学生收集证据。观察、实验、调查、分析处理,教师引导学生大胆 质疑,提出问题,提出各种猜想和假设。

引入“简单多面体”的概念: 假设多面体的表面是橡皮膜制成的,可以向它们的内部充气,那么能够连续(不破 裂、不粘连)变形,表面能变为一个球面的多面体,叫做简单多面体。

2

猜想:观察表中各组数据,对于简单多面体,V、F、E 之间的关系是______。 教师引导学生将具体现象定性抽象为一般的现象或结论。使学生在探究过程中提高质疑和 批判能力,使学生的创新探究能力和良好的科学品质得到升华。

这个公式称为欧拉(L.Euler)公式 (多媒体演示欧拉生平,展示科学家的丰采) 欧拉(Lé onard Euler,1707~1783)著名数学家、物理学家和天文学家。生于瑞士巴塞 尔,1720 年进入巴塞尔大学学习神学和希伯来语,而以数学才能受到约翰· 贝努利的赏识与 特别指导。曾获得硕士学位。1727 年应邀到俄国讲学。 1733 年任彼得堡科学院数学教授。1741 年移居柏林,任柏林科学院物理数学所所长。 1766 年 再 次 到 俄 国 。 1783 年 卒 于 彼 得 堡 。

欧拉 19 岁开始发表论文,半个多世纪里始终以充沛的精力,不倦地工作。他 28 岁是右 眼失明,59 岁后左眼也视力减退,渐至失明。在失明的十多年里,欧拉以惊人的毅力,凭 着记忆和心算,仍然坚持富有成果的研究,直到生命的最后一刻。欧拉的工作涉及数学的 各 个 领 域 , 他 是 历 史 上最 多 产 的 数 学 家 之 一 ,后 人 计 划 出 版 他 的 全 集多 达 72 卷 。 欧拉是变分法的奠基人和研究复变函数的先驱者,对牛顿、莱布尼茨的微积分学和傅立 叶级数的发展起了相当大的推动作用。

科学家研究自然并不是因为它有用,他研究它是因为他喜爱它,他喜爱它是因为它 美。构建课堂文化氛围,让学生感受数学美。

问题 4:上面图(6)表示任意一个简单多面体,假设它们的表面是橡皮膜制成的,将 它们压缩到其底面所在的平面,如何画出压缩后的平面图形? (多媒体演示压缩的动态过程,感知降维后的效果) 问题 5:在压缩前后哪些量发生了变化,而哪些量没有发生变化? 采用 CAI 教学方式,能强化学生多种感官对数学问题的感知,提高课堂效益。 问题 6:怎样用棱数 E 和面数 F 表示多面体所有多边形的内角和? ①在图(6)中设多面体的 F 个面分别是 n1 n2 n3 ? n F 边形,则各个面的内 角和是________________________________。 ② 其 中 n1 + n2 + n3 + ? ? n F 和 多 面 体 的 棱 数 E 的 关 系 为 _______________。 所 以 多 面 体 的 各 个 面 的 内 角 和 是

____________________________________。

3

问题 7:怎样用顶点数 V 表示平面图形中所有多边形的内角和? 在 平 面 图 形 ( 10 ) 中 所 有 多 边 形 的 内 角 和 是

_____________________________________。
E1 A1 B1 C1 D E C A B D1

D
E1 A1 D1 C1 B1

E

C

A

B

(10)

( E ? F ) ? 3600 ? (V ? 2) ? 3600

由此得到欧拉公式 V+F-E=2。

学习者不应是信息的被动接受者,而应是适应知识获取的主动参与者。让学生在主动 参与获取知识的过程中获得挫折和成功的体验,并且在这一过程中培养了耐挫力和探索的 兴趣,积累成功的经验。教师的主导体现在适时地启发、引导、点拨,鼓励学生体验。

请大家回忆下证明过程,体会一下所用到的数学思想方法。 课堂小结:本节课采用降维思想和转化策略将空间问题转化为平面问题来研究,这种 处理问题的方法是立几中的重要思想方法,在降维和升维(如翻折)过程中关健要弄清不 变量与变量,而转化策略是解决数学问题的主要方法之一,如何转化是关健。 通过小结,让学生掌握 本课所学的知识结构,并使所学知识嵌入到已有的知识结构中 去。教学中注重突出对数学思想方法和反思和概括,进而达到把这种的研究方式上升为学 生的研究能力。

【教后反思】
1、如何使问题更有启发性、探索性、研究性?如何更多地让学生自己动手,有待进一 步研究。 2、本节课可根据学生实际考虑集中讲解简单多面体,CAI 课件可考虑正方体模型,而 将环体、对接球和图 8 安排到下一节上,这样更有利于学生的自主探究。

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