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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练29 等差数列及其前n项和 文 北师大版


计时双基练二十九

等差数列及其前 n 项和

A 组 基础必做 1.(2015·兰州、张掖联考)等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数 列前 13 项的和是( A.13 C.52 解析 ∵3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24, ∴6a4+6a10=24,∴a4+a10=4, 13?a1

+a13? 13?a4+a10? 13×4 ∴S13= = = =26,故选 B。 2 2 2 答案 B 2.已知等差数列{an}满足 a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则 n 的值为( A.8 C.10 解析 由 Sn-Sn-3=51 得, B.9 D.11 ) ) B.26 D.156

an-2+an-1+an=51,所以 an-1=17,
又 a2=3,Sn= 解得 n=10。 答案 C 3.已知{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b10=9,a3+b8=15,则 a5+b6=( A.18 C.21 B.20 D.32 )

n?a2+an-1?
2

=100,

解析 因为{an},{bn}都是等差数列,所以 2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以 2(a3+b8)= (a1+b10)+(a5+b6),即 2×15=9+(a5+b6),解得 a5+b6=21。故选 C。 答案 C 4.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 =4,则 的值为( A. C. 9 4 5 3 B. 3 2

S4 S2

S6 S4

)

D.4

解析 由等差数列的性质可知 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,由 =4,得

S4 S2

S4-S2 =3, S2

1

S6 9 则 S6-S4=5S2,所以 S4=4S2,S6=9S2, = 。 S4 4
答案 A 5.(2015·洛阳统考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则 满足 Sn>0 的最大自然数 n 的值为( A.6 C.12 ) B.7 D.13

解析 ∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,∴等差数列的公差小于零,又 a3+a10=a1+a12>0,

a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足 Sn>0 的最大自然数 n 的值为 12。
答案 C 5 6.已知数列{an}满足 an+1=an- ,且 a1=5,设{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 取得最 7 大值的序号 n 的值为( A.7 C.7 或 8 ) B.8 D.8 或 9

5 5 解析 由题意可知数列{an}是首项为 5,公差为- 的等差数列,所以 an=5- (n-1) 7 7 40-5n = ,该数列前 7 项是正数项,第 8 项是 0,从第 9 项开始是负数项,所以 Sn 取得最大 7 值时,n=7 或 8,故选 C。 答案 C 1 7.(2015·金华十校联考)在等差数列{an}中,a9= a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11 2 等于________。 11?a1+a11? 1 1 解析 S11= =11a6,设公差为 d,由 a9= a12+6 得 a6+3d= (a6+6d)+6, 2 2 2 解得 a6=12,所以 S11=11×12=132。 答案 132 8. 设等差数列的前 n 项和为 Sn, 已知前 6 项和为 36, Sn=324, 后 6 项的和为 180(n>6), 此数列的项数 n=________。 解析 由题意可知 a1+a2+…+a6=36, ①

an+an-1+an-2+…+an-5=180, ②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36。又 Sn =

n?a1+an?
2 答案 18

=324,∴18n=324,∴n=18。

2

9.在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大 值,则 d 的取值范围为________。 解析 由题意知当 d<0 时,Sn 存在最大值, ∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大。 又∵当且仅当 n=8 时,Sn 取最大值, ∴?
? ?a8>0, ?a9<0。 ? ? ?7+7d>0, ∴? ?7+8d<0, ?

7 解得-1<d<- 。 8

7? ? 答案 ?-1,- ? 8

?

?

1 2 1 3 * 10.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和且 n∈N ,所有项 an>0,且 Sn= an+ an- 。 4 2 4 (1)证明:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式。 解 1 2 1 3 (1)证明:当 n=1 时,a1=S1= a1+ a1- , 4 2 4

解得 a1=3 或 a1=-1(舍去)。 当 n≥2 时,
2 an=Sn-Sn-1= (a2 n+2an-3)- (an-1+2an-1-3)。

1 4

1 4

∴4an=an-an-1+2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2)。 ∴数列{an}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列。 (2)由(1)知 an=3+2(n-1)=2n+1。 11.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3·a4=117,a2+a5=22。 (1)求通项公式 an; (2)求 Sn 的最小值; (3)若数列{bn}是等差数列,且 bn= 解

2

2

Sn ,求非零常数 c。 n+c

(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22。

又 a3·a4=117, ∴a3,a4 是方程 x -22x+117=0 的两实根, 又公差 d>0, ∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,
2

3

∴?

?a1+2d=9, ? ?a1+3d=13, ?

∴?

?a1=1, ? ?d=4。 ?

∴通项公式 an=4n-3。 (2)由(1)知 a1=1,d=4, ∴Sn=na1+

n?n-1?
2

? 1?2 1 2 ×d=2n -n=2?n- ? - , ? 4? 8
2n -n = , n+c n+c

∴当 n=1 时,Sn 最小,最小值为 S1=a1=1。 (3)由(2)知 Sn=2n -n,∴bn= ∴b1=
2

Sn

2

1 6 15 ,b2= ,b3= 。 1+c 2+c 3+c

∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 即 6 1 15 2 ×2= + ,∴2c +c=0, 2+c 1+c 3+c

1 1 ∴c=- 或 c=0(舍去),故 c=- 。 2 2 B 组 培优演练 1. (2015·甘肃二诊)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 S17>0, S18<0, 则 , , …,

S1 S2 a1 a2

S15 中最大的项为( a15
A. C.

) B. D.

S7 a7 S9 a9

S8 a8 S10 a10

17?a1+a17? 18?a1+a18? 解析 因为{an}是等差数列, 所以 S17= =17a9>0, a9>0,S18= 2 2 =9(a9+a10)<0,a10<0,即该等差数列前 9 项均是正数项,从第 10 项开始是负数项,则 最 大,故选 C。 答案 C 2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = 整数的正整数 n 的个数是________。 解析 由等差数列前 n 项和的性质知, =

S9 a9

An 7n+45 an ,则使得 为 Bn n+3 bn

an A2n-1 14n+38 7n+19 12 = = =7+ ,故当 n bn B2n-1 2n+2 n+1 n+1

=1,2,3,5,11 时, 为整数,故使得 为整数的正整数 n 的个数是 5。

an bn

an bn

4

答案 5 3.设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn,若{an}和{ Sn}都是等差数列,且公差相等,则 a1 =________。 解析 设等差数列{an}的公差为 d, 则 Sn= n +?a1- ?n, 2? 2 ?
2

d

?

d?

∴ Sn=

2

d? d 2 ? n +?a1- ?n,数列{ Sn}是等差数列,则 Sn是关于 n 的一次函数(或者

?

2?

是常数),则 a1- =0, 2

d

Sn=

d n,从而数列{ Sn}的公差是
2

d
2

,那么有

d
2

=d,d

1 1 =0(舍去)或 d= ,故 a1= 。 2 4 答案 1 4
2 2

4.(2015·安徽宿州调研)已知函数 f(x)=x -2(n+1)x+n +5n-7。 (1)设函数 y=f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列; (2)设函数 y=f(x)的图像的顶点到 x 轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前 n 项和 Sn。 解 (1)证明:∵f(x)=x -2(n+1)x+n +5n-7
2 2 2

=[x-(n+1)] +3n-8, ∴an=3n-8, ∵an+1-an=3(n+1)-8-(3n-8)=3, ∴数列{an}为等差数列。 (2)由题意知,bn=|an|=|3n-8|, ∴当 1≤n≤2 时,bn=8-3n,

n?b1+bn? n[5+?8-3n?] Sn=b1+…+bn= =
2 2 = 13n-3n ; 2
2

当 n≥3 时,bn=3n-8,

Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+(3n-8)
?n-2?[1+?3n-8?] 3n -13n+28 =7+ = 。 2 2
2

? ? ∴S =? 3n -13n+28 ,n≥3。 ? ? 2
13n-3n ,1≤n≤2, 2
2

2

n

5


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