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向量法求空间角论文


向量法求空间角论文 【摘要】 教学中通过对学生存在的主要错误的分析和方法原理的提炼升华, 可以让学生避免了做题时的盲目性,对学生正确、恰当的运用向量 法解答立体几何中的夹角问题给予帮助.本文结合“错例分析” ,谈 了自己一点粗浅的认识,愿与同行们共同探讨和確商.如有不足, 诚恳接受同行们的批评指正. 【关键词】 立体几何 向量法 空间角 立体几何是高考必考内容之一,题目多属于中档题.纵观几年来各 省市的高考试题,空间角的考查为常见重点知识.为此空间角的问 题很有研究的必要. 空间角的求法,传统的方法需要作出空间角,这往往需要添作辅助 线,技巧性很强,规律难以把握,许多学生感到找寻困难.而向量 法在解决空间角的计算上弥补了演绎法的不足,使繁难的立体几何 问题变得程序化,常态化,避免了思维的高强度转化,避免了添作 辅助线的困难.因此学生很有必要掌握用向量法证题的方法. 近几年来在高三数学教学的实践中,复习空间角的求法时,尽管反 复强调利用空间向量求空间角的原理及方法,但在后期的模拟考试 中仍出现许多错误.具体归纳起来大致有三个方面: 1.对异面直线所成角与两直线方向向量之间的夹角认识不清 【错例】 (2011 年北京高考理科第 16 题) 如图,在四棱锥? p—abcd 中, pa⊥平面 abcd, 底面 abcd 是菱形, ab=2,∠bad ?=60° (ii)若? pa=ab,求 pb 与 ac 所成角的余弦值. 解: 设 ac∩bd=o 因为∠bad ?=60°, ? ab=2, 所以 bo=1, ao=co=3, 如图建立空间直角坐标系 o—xyz,则 p(o,-3,2) ,a(0,-3,0) , b(1,0,0) ,c(0,3,0)所以? bp ?=(-1,-3,2) ,? ac ? =(0,23,0)设 pb 与 ac 所成角为θ ,则? cos ?θ =? bp ?·? ac ?? bp ?·? ac ?=-64 ? 【错误分析】 (1)对异面直线所成角的定义和范围掌握不牢; ( 2) 没有吃透利用向量法求异面直线所成角的原理,认为两条直线的方 向向量所夹的角一定是异面直线所成的角,忽略了向量夹角的定义. 【解决办法】 (1)理解异面直线所成角的定义是在空间任选一点, 分别过该点作两异面直线的平行线,则两相交直线所夹的锐角或直 角就是异面直线所成的角,范围为(0°,90°],从而余弦值非负. (2)分清当两异面直线的方向向量的夹角余弦值非负时,即为两 异面直线所成角的余弦值;当异面直线的方向向量的夹角余弦值为 负数时,其绝对值即为两异面直线所成角的余弦值.? 【方法归纳】设 l ? 1,l ? 2 是两条异面直线,a,b 是 l ? 1 上 的任意两点,c,d 是直线 l ? 2 上的任意两点,则 l ? 1,l ? 2 所成角的余弦值?为 cos ?θ ?=?? ab ?·? cd ?? ab ?·? cd ?.? 2.对线面角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角之间的关系 认识模糊 【错例】如图,已知? pa⊥平面 abc,且 pa=2,等腰直角三角形 abc 中,ab=bc=1,ab⊥bc, ad⊥pb 于 d, ae⊥pc 于 e. ? (ii)求直线? ab 与平面 ade 所成角的大小.? 解:过点? b 作 bz‖ ap 则 bz⊥平面 abc ,如图建立空间直角坐 标系 b—xyz,则 b(0,0,0) ,a(1,0,0) ,c(0,1,0) ,p(1, 0,2) ,由(ι )知 pc⊥平面 ade,? cp


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