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2014年高三数学一轮知能突破系列练习之13平面解析几何


2014 年高三数学一轮单元知能全掌握系列之 13.平面解析几何 一、选择题。 错误!未指定书签。 1. (2013.北京海淀二模)双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,
2 且 F2 恰为抛物线 y ? 4 x 的焦点.设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2

是以 AF1 为底边的等腰三角形 ,则双曲线 C 的离心率为( A. 2 B 抛物线的焦点为 (1, 0) , 即 F2 ( 1 ,0 ) B. 1 ? 2 C. 1 ? 3

) D.2? 3

,所以双曲线中 c ? 1 。 双曲线 C 与该抛物线的一个

交点为 A , (不妨设在第一象限)若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则抛物 线的准线过双曲线的左焦点。所以 AF2 ? F1F2 ? 2c ? 2 ,所以 xA ? (?1) ? 2 ,即 xA ? 1 ,
2 ) , 1 ( 所以 y A2 ? 4 xA ? 4 ,解得 yA ? 2 , 即A

.又 A(1, 2) 在双曲线上, 所以 AF1 ? AF2 ? 2a ,

2 2 即 2a ? (1 ? 1) ? 2 ? 2 ? 8 ? 2 ? 2 2 ? 2 , 所 以 a ? 2 ? 1 , 即 双 曲 线 的 离 心率

e?
[来源:Z,xx,k.Com]

c 1 ? ? 2 ? 1 。选 B.学科网 a 2 ?1 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 a 2 b2

2.(2013.北京朝阳区二模)若双曲线

y ? x2 ? 2 相切,则此双曲线的离心率等于
A. 2 B 双曲线的渐近线为 y ? ?
b b b x ,不妨取 y ? x ,代入抛物线得 x ? x 2 ? 2 ,即 a a a b b x 2 ? x ? 2 ? 0 , 要 使 渐 近 线 与 抛 物 线 y ? x2 ? 2 相 切 , 则 ? ? ( ) 2 ? 8 ? 0 , 即 a a

B. 3

C. 6

D. 9

b2 ? 8a 2 ,又 b2 ? c 2 ? a 2 ? 8a 2 ,所以 c 2 ? 9a 2 ,所以 e2 ? 9, e ? 3 。所以此双曲线 的

离心率是 3,选 B.学科网

二、填空题 3.椭圆的焦点坐标为 (? 3,0) ,所以双曲线的顶点为 (? 3,0) ,即 a ? 3 ,又

e?

2 6 c 2 6 ,所以 e ? ? ,解得 c ? 2 2 ,所 以 b ? c2 ? a2 ? 5 。所以双曲线 3 a 3

的焦点坐标为 (2 2,0),(?2 2,0) 。双曲线的渐近线方程为

b 5 15 y?? x?? x?? x。 a 3 3
4 错误!未指定书签。 . (2013.北京东城高三二)过抛物线 y 2 = 4 x 焦点的直线交抛 物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离等于___. 4 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点(1,0),准线为 l : x ? ?1 ,设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、F、D,EF 交纵轴于点 H,如 图所示:则由 EF 为直角 梯形的中位线知 EF ?
AC ? BD AB ? ? 5 ,所以 EH ? EF ? 1 ? 5 ? 1 ? 4 ,即则 2 2

B 的中点到 y 轴的距离等于 4..

[来源:学_科_网]

错误!未指定书签。 5. (2013.浙江数学(理 ) )如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 4

与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点.若四边形

AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是
y A F1 O B (第 9 题图) F2 x

( B. 3 C.
3 2



[来源:学科网]

A. 2

D.

6 2

D 设|AF1|=x,|AF2|=y,因为点 A 为椭圆 C1: 所以 2a=4,b=1,c= ; 所以|AF1|+|AF2| =2a=4,即 x+y=4;① 又四边形 AF1BF2 为矩形, 所以 由①②得: + = ,即 x2+y2=(2c)2= ,解得 x=2﹣ ,y=2+ =12,② +y2=1 上的点,

,设双曲线 C2 的实轴长为 2a,焦 =2 ,

距为 2c,则 2a=,|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 所以双曲线 C2 的离心率 e= = =

,2c=2
[来源:Z*xx*k.Com]

.故选 D.

错误! 未指定书签。 6. (2013.天津 数学(理) )已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = A.1 C
[来源:学科网 ZXXK]

( D. 3



B.

3 2

C.2

b p p 双曲线的渐近线为 y ? ? x ,抛物线的准线方程为 x ? ? 。 当 x ? ? 时, a 2 2 b p pb 1 pb p y ? ? ? (? ) ? ? ? ? 3 ,即 ,所以三角形△AOB 的面积为 ? 2 ? a 2 2a 2 2a 2

p2 ?

c 4 3a ,又双曲线的离心率为 2,所以 ? 2 ,即 c ? 2a, c2 ? 4a2 ? a2 ? b2 ,即 a b

3a 2 ? b2 ,所以 b ? 3a ,即 p 2 ?

4 3a 4 3a ? ? 4 ,所以 p ? 2 ,选 C. b 3a


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