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2012年高考真题理科数学解析分类汇编3 导数


2012 年高考真题理科数学解析分类汇编 3

导数

一、选择题 1.【2012 高考重庆理 8】设函数 在 R 上可导,其导函数为 ,且函数 的图像如题(8)图所 示,则下列结论中一定成立的是 (A)函数 有极大值 和极小值 (B)函数 有极大值 和极小值 (C)函数 有极大值 和极小值 (D)函数 有极大值 和极小值 【答案】D 【解

析】 由图象可知当 时, 所以此时 , 函数递增.当 时, 所以此时 , , 函数递减.当 时, 所 以此时 ,函数递减.当 时, 所以此时 ,函数递增.所以函数 有极大值 ,极小值 ,选 D. 2.【2012 高考新课标理 12】设点 在曲线 上,点 在曲线 上,则 最小值为( ) 【答案】B 【解析】函数 与函数 互为反函数,图象关于 对称 函数 上的点 到直线 的距离为 设函数 由图象关于 对称得: 最小值为 , 3.【2012 高考陕西理 7】设函数 ,则( ) A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点 C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点[学 【答案】D. 【解析】 令 ,则 ,当 时 ,当 时 ,所以 为 极小值点,故选 D. 4.【2012 高考辽宁理 12】若 ,则下列不等式恒成立的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】法 1:验证 A,当 ,故排除 A;验证 B,当 ,而 ,故排除 B;验证 C,令 ,显 然 恒成立.所以当 ,所以 , 为增函数,所以,恒成立,故选 C;验证 D,令 ,解得 , 所以当 时 ,显然不恒成立,故选 C. 法 2:设 ,则 所以 所以当 时, 同理 即 ,故选 C 5.【2012 高考湖北理 3】已知二次函数 的图象如图所示,则它与 轴所围图形的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为 . 6.【2012 高考全国卷理 10】已知函数 y=x? -3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c= (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1 【答案】A

【解析】若函数 的图象与 轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为 0,函数 的导数为 , , 令 解得 , 可知当极大值为 , 极小值为 .由 , 解得 , , 由 解得 , 所以 或 , 选 A. 二、填空题 7.【2012 高考浙江理 16】定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离, 已知曲线 C1: y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2: x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=_______。 【答案】 【解析】曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离为 , 曲线 C1:y=x2+a 对应函数的导数为 ,令 得 ,所以 C1:y=x2+a 上的点为 ,点 到到直线 l:y=x 的距离应为 ,所以 ,解得 或 (舍去) 。 8.【2012 高考江西理 11】计算定积分 ___________。 【答案】 【解析】 。 9.【2012 高考山东理 15】设 .若曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ,则 ______. 【答案】 【解析】由已知得 ,所以 ,所以 。 10.【2012 高考广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 . 【答案】 【解析】 ,当 时, ,此时 ,故切线方程为 ,即 。 11.【2012 高考上海理 13】已知函数 的图象是折线段 ,其中 、 、 ,函数 ( )的图象 与 轴围成的图形的面积为 。 【答案】 【解析】当 ,线段 的方程为 ,当 时。线段 方程为 ,整理得 ,即函数 ,所以 ,函数 与 轴围成的图形面积为 。 12.【2012 高考陕西理 14】设函数 , 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封 闭区域,则 在 上的最大值为 . 【答案】2. 【解析】 函数 在点 处的切线为 , .所以 D 表示的平面区域如图 当目标函数直线经过点 即 M 时 有最大值,最大值为 . 三、解答题 13.【2012 高考广东理 21】 (本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 , , 。 (1)求集合 D(用区间表示) ; (2)求函数 在 D 内的极值点. 【答案】本题是一个综合性问题,考查集合与导数的相关知识,考查了学生综合解决问题的 能力,难度较大. 【解析】 (1)对于方程 判别式 因为 ,所以 ① 当 时, ,此时 ,所以 ; ② 当 时, ,此时 ,所以 ; 当 时, ,设方程 的两根为 且 ,则

, ③ 当 时, , ,所以 此时, ④ 当 时, ,所以 此时, (2) , 所以函数 在区间 上为减函数,在区间 和 上为增函数 ① 是极点 ② 是极点 得: 时,函数无 极值点, 时,函数 极值点为 , 时,函数 极值点为 与 14.【2012 高考安徽理 19】 (本小题满分 13 分) 设 。 (I)求 在 上的最小值; (II)设曲线 在点 的切线方程为 ;求 的值。 【答案】本题考查函数、导数的基础知识,运用导数研究函数性质等基本方法,考查分类讨 论思想,代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。 【解析】 (I)设 ;则 , ①当 时, 在 上是增函数, 得:当 时, 的最小值为 。 ②当 时, , 当且仅当 时, 的最小值为 。 (II) , 由题意得: 。 15.【2012 高考福建理 20】 (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ex+ax2-ex,a∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P. 【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知 识,考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力,以及分类与整合思想、数形结合思 想、化归与转化思想. 解答: (Ⅰ) 由题意得: 得:函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 (Ⅱ)设 ; 则过切点 的切线方程为 令 ;则 切线与曲线只有一个公共点 只有一个根 ,且 (1)当 时, 得:当且仅当 时,

由 的任意性, 不符合条件(lby lfx) (2)当 时,令 ①当 时, 当且仅当 时, 在 上单调递增 只有一个根 ②当 时, 得: ,又 存在两个数 使, 得: 又 存在 使 ,与条件不符。 ③当 时,同理可证,与条件不符 从上得:当 时,存在唯一的点 使该点处的切线与曲线只有一个公共点 16.【2012 高考全国卷理 20】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 设函数 f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 f(x)≤1+sinx,求 a 的取值范围. 解: 。 (Ⅰ)因为 ,所以 。 当 时, , 在 上为单调递增函数; 当 时, , 在 上为单调递减函数; 当 时,由 得 , 由 得 或 ; 由 得 。 所以当 时 在 和 上为为单调递增函数;在 上为单调递减函数。 (Ⅱ)因为 当 时, 恒成立 当 时, 令 ,则 又令 ,则 则当 时, ,故 , 单调递减 当 时, ,故 , 单调递增 所以 在 时有最小值 ,而 , 综上可知 时, ,故 在区间 单调递 所以 故所求 的取值范围为 。 另解:由 恒成立可得 令 ,则 当 时, ,当 时, 又 ,所以 ,即 故当 时,有 (lbylf x) ①当 时, , ,所以

②当 时, 综上可知故所求 的取值范围为 。 17.【2012 高考北京理 18】 (本小题共 13 分) 已知函数 , . (1)若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线,求 , 的值; (2)当 时,求函数 的单调区间,并求其在区间 上的最大值. 解: (?)由 为公共切点可得: ,则 , , ,则 , , ① 又 , , ,即 ,代入①式可得: . (2) , 设 则 ,令 ,解得: , ; , , 原函数在 单调递增,在 单调递减,在 上单调递增 ①若 ,即 时,最大值为 ; ②若 ,即 时,最大值为 ③若 时,即 时,最大值为 . 综上所述: 当 时,最大值为 ;当 时,最大值为 . 18.【2012 高考新课标理 21】 (本小题满分 12 分) 已知函数 满足满足 ; (1)求 的解析式及单调区间; (2)若 ,求 的最大值. 【答案】 (1) 令 得: 得: 在 上单调递增 得: 的解析式为 且单调递增区间为 ,单调递减区间为 (2) 得 ①当 时, 在 上单调递增 时, 与 矛盾 ②当 时, 得:当 时, 令 ;则 当 时, 当 时, 的最大值为

19.【2012 高考天津理 20】本小题满分 14 分) 已知函数 的最小值为 0,其中 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若对任意的 有 ≤ 成立,求实数 的最小值; (Ⅲ)证明 ( ). 【答案】 (1)函数 的定义域为

得: 时, (2)设 则 在 上恒成立 (*)

①当 时, 与(*)矛盾 ②当 时, 符合(*) 得:实数 的最小值为 (3)由(2)得: 对任意的 值恒成立 取 : 当 时, 得: 当 时, 得: 。 20.【2012 高考江苏 18】 (16 分)若函数 在 处取得极大值或极小值,则称 为函数 的极值 点。 已知 是实数,1 和 是函数 的两个极值点. (1)求 和 的值; (2)设函数 的导函数 ,求 的极值点; (3)设 ,其中 ,求函数 的零点个数. 【答案】解: (1)由 ,得 。 ∵1 和 是函数 的两个极值点, ∴ , ,解得 。 (2)∵ 由(1)得, , ∴ ,解得 。 ∵当 时, ;当 时, , ∴ 是 的极值点。 ∵当 或 时, ,∴ 不是 的极值点。 ∴ 的极值点是-2。 (3)令 ,则 。 先讨论关于 的方程 根的情况: 当 时,由(2 )可知, 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 是奇函数,∴ 的两个不同 的根为一和 2。 当 时,∵ , , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 的根。 由(1)知 。

① 当 时, ,于是 是单调增函数,从而 。 此时 在 无实根。 ② 当 时. ,于是 是单调增函数。 又∵ , , 的图象不间断, ∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 时, ,于是 是单调减两数。 又∵ , , 的图象不间断, ∴ 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 时, 有两个不同的根 满足 ;当 时 有三个不同的根 ,满足 。 现考虑函数 的零点: ( i )当 时, 有两个根 ,满足 。 而 有三个不同的根, 有两个不同的根,故 有 5 个零点。 ( 11 )当 时, 有三个不同的根 ,满足 。 而 有三个不同的根,故 有 9 个零点。 综上所述,当 时,函数 有 5 个零点;当 时,函数 有 9 个零点。 【解析】 (1)求出 的导数,根据 1 和 是函数 的两个极值点代入列方程组求解即可。 (2)由(1)得, ,求出 ,令 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 和 讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数 的零点。 21.【2012 高考辽宁理 21】本小题满分 12 分) 设 ,曲线 与 直线 在(0,0)点相切。 (Ⅰ)求 的值。 (Ⅱ)证明:当 时, 。 【解析】 (1)由 的图像过 点,代入得 由 在 处的切线斜率为 ,又 ,得 …3 分 (2) (证法一)由均值不等式,当 时, ,故 记 ,则 ,令 ,则当 时, (lby lfx) 因此 在 内是减函数,又由 ,得 ,所以 因此 在 内是减函数,又由 ,得 , 于是当 时, …12 分 (证法二) 由(1)知 ,由均值不等式,当 时, ,故 令 ,则 ,故 ,即 ,由此得,当 时, ,记 ,则当 时,

因此 在 内是减函数,又由 ,得 ,即 22.【2012 高考重庆理 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 设 其中 ,曲线 在点 处的切线垂直于 轴. (Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ)求函数 的极值.

解: (1)因 ,故 由于曲线 在点 处的切线垂直于 轴,故该切线斜率为 0,即 , 从而 ,解得 (2)由(1)知 ,

令 当 当 故

,解得 (因 不在定义域内,舍去) , 时, ,故 在 上为减函数; 时, ,故 在 上为增函数; 在 处取得极小值 。

23.【2012 高考浙江理 22】(本小题满分 14 分)已知 a>0,b R,函数 . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ ≤1 对 x [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【答案】本题主要考察不等式,导数,单调性, (Ⅰ)(ⅰ) . 当 b≤0 时, >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 的最大值为: =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 的最大值为: =|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 +|2a-b|﹢a≥0,即证 =﹣ ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ , ∴令 . 当 b≤0 时, <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 的最大值为: =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ ≤1 对 x [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: 和 ,目标函数为 z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 .

∴所求 a+b 的取值范围为: . 24.【2012 高考山东理 22】(本小题满分 13 分) 已知函数 ( 为常数, 是自然对数的底数) ,曲线 在点 处的切线与 轴平行. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 的单调区间; (Ⅲ)设 ,其中 为 的导函数.证明:对任意 . 解: (Ⅰ) ,依题意, 为所求. (Ⅱ)此时 记 , ,所以 在 , 单减,又 , 所以,当 时, , , 单增; 当 时, , , 单减. 所以,增区间为(0,1) ; 减区间为(1, . (Ⅲ) ,先研究 ,再研究 . ① 记 , ,令 ,得 , 当 , 时, , 单增; 当 , 时, , 单减 . 所以, ,即 . ② 记 , ,所以 在 , 单减, 所以, ,即 综①、②知, . 25.【2012 高考真题湖南理 22】 (本小题满分 13 分) 已知函数 = ,其中 a≠0. (1) 若对一切 x∈R, ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 的图像上取定两点 , ,记直线 AB 的斜率为 K,问:是否存在 x0∈(x1, x2) ,使 成立?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)若 ,则对一切 , ,这与题设矛盾,又 , 故 . 而 令 当 时, 单调递减;当 时, 单调递增,故当 时, 取最小值 于是对一切 恒成立,当且仅当 . ① 令 则 当 时, 单调递增;当 时, 单调递减. 故当 时, 取最大值 .因此,当且仅当 即 时,①式成立. 综上所述, 的取值集合为 . (Ⅱ)由题意知, 令 则

令 ,则 . 当 时, 单调递减;当 时, 单调递增.

故当 , 即 从而 , 又 所以 因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线, 所以存在 使 单调递增, 故这样的 是 唯一的,且 .故当且仅当 时, . 综上所述,存在 使 成立.且 的取值范围为


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