当前位置:首页 >> 数学 >>

2013-2014学年高一数学同步课件:函数模型及其应用几类不同增长的函数模型(新人教A版必修1)


? 3.2 函数模型及其应用 ? 3.2.1 几类不同增长的函数模 型

? 【课标要求】 ? 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性 质,并体会其增长快慢;理解直线上升, 对数增长,指数爆炸的含义. ? 2.会分析具体的实际问题,建模解决实 际问题. ? 【核心扫描】 ? 1.利用函数模型解决实际问题.(重点) ? 2.三种函数模型性质的比较. ? 3.在实

际应用中选择哪种函数模型.(难

? 新知导学 ? 1.三种函数模型的性质 y= 函数 y=ax(a> y=xn logax 1) 性质 (n>0) (a>1) 在(0,+∞) 单调递 单调递 上的增减 单调递增 增 增 性 随x增 随n值 图象的变 随x增大逐 大逐

? 2.三种函数的增长速度比较 ? (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1), 增函数 增长速度 y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 , 但 不同,且不在同一个“档次” 上. ? (2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,y= ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远 越来越慢 大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a logax<xn<ax >1)的增长速度则会 . ? (3) 存 在 一 个 x0 , 使 得 当 x > x0 时 ,

? 温馨提示:能用指数型函数f(x)=abx+c(a, b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型, 其增长特点是随着自变量x的增大,函数值 增大的速度越来越快,常称之为“指数爆 炸”.

? ? ?

?

? 互动探究 探究点1 函数y=x2与y=2x在(4,+∞)上哪 一个增长得更快些? 提示 y=2x的增长速度远远快于y=x2的增 长速度. 探究点2 在区间(0,+∞)上,当a>1,n> 0时,是否总有logax<xn<ax成立? 提示 不是,但总存在x0,使得当a>1,n >0,x>x0时,logax<xn<ax成立.

? 探究点3 当实际问题提供的两个变量的数量 关系有怎样的增长规律时,我们选择一次 函数模型,对数函数模型,指数函数模型? ? 提示 均匀增长,增量恒定时,一般选择 一次函数模型,缓慢增长,增量逐渐变小 时,一般选择对数函数模型;急剧增长, 增量快速增大时,选择指数函数模型.

? 类型一 直线型与指数型函数的应用 ? 【例1】 甲、乙两城市现有人口总数为100 万人,甲城市人口的年自然增长率为1.2%, 乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的 问题: ? (1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; ? (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口 总数(精确到0.1万人); ? (3)对两城市人口增长情况作出分析.

? 参 考 数 据 : (1 + 1.2%)10≈1.127 , (1 + 1.2%)20≈1.269,(1+1.2%)30≈1.430. ? [思路探索] 分别根据增长率和增长量,建 立函数模型,进行数据运算,作出分析判 断.

? ? ? ? ? ?

? ?

解 (1)1年后甲城市人口总数为: y甲=100+100×1.2%=100×(1+1.2%); 2年后甲城市人口总数为: y 甲 = 100×(1 + 1.2%) + 100×(1 + 1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2; 3年后甲城市人口总数为:y 甲 =100×(1+ 1.2%)3; ?? x 年 后 甲 城 市 人 口 总 数 y 甲 = 100×(1 + 1.2%)x,乙城市人口总数y =100+1.3x.

? (2)10年、20年、30年后甲、乙两城市人口 总数(单位:万人)如下表:
10年 20年 30年 后 后 后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 126 139 ? (3)甲、乙两城市人口都是逐年增长,而甲 城市人口增长的速度快些.从中可以体会 到,不同的函数增长模型,增长变化存在 很大差异.

? [规律方法] 1.本题涉及到平均增长率的问 题,求解可用指数型函数模型表示,通常 可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的 基础数,p为增长率,x为时间)的形式. ? 2.在实际中,有关人口增长、银行利率、 细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函 数模型.

? 【活学活用1】 某医药研究所开发一种新药, 如果成年人按规定的剂量服用,据监测, 服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时 间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. ? (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); ? (2)进一步测定:每毫升血液中含药量不少 ? 于0.25毫克时,药物对治疗疾病有效.求服 ? 药一次治疗疾病的有效时间.

(2)由f(t)≥0.25, 1 解得 ≤t≤5. 16 1 15 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5- =4 (小时). 16 16

类型二

对数型的函数增长模型

【例2】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.研究燕子 Q 的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以用函数v=5log2 表 10 示,其中单位是m/s,Q表示燕子的耗氧量. (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位; (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多 少? [思路探索] 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数,由函数表 达式分别给变量赋值,求出另外的量即可.



(1)当燕子静止时,它的速度v=0,代入题给公式可得0=

Q 5log2 ,解得Q=10, 10 即燕子静止时的耗氧量是10个单位. (2)将耗氧量Q=80代入题给公式得 80 v=5log2 =5log28=15(m/s), 10 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.

? [规律方法] 解决此类问题首先要明确各个 量所代表的实际意义,然后利用对数运算 性质或换底公式求解.

? 【活学活用2】 溶液酸碱度是通过pH刻画 的.pH的计算公式为pH=-lg[H + ],其中 [H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔 /升. ? (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式, 说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之 间的变化关系; ? (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10- 7摩尔/升,计算纯净水的pH.

? 解 (1)根据对数的运算性质, ? 有pH=-lg[H+]=lg[H+]-1. ? 在(0,+∞)上,随着[H+]的增大,[H+]-1减 小, ? 从而lg [H+]-1减小,即pH减小. ? 所以,随着[H+]的增大,pH减小. ? (2)当[H+]=10-7时, ? pH=-lg [H+]=-lg10-7=7, ? 所以纯净水的pH是7,酸碱度为中性.

? 类型三 几种函数模型的比较 ? 【例3】 某汽车制造商在2013年初公告: 随着金融危机的解除,公司计划2013年生 产目标定为43万辆.已知该公司近三年的 汽车生产量如下表所示: 年 2010 2011 2012 份 产 8(万) 18(万) 30(万) 量

? 如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义 为第一、二、三、四年.现在你有两个函 数 模 型 : 二 次 函 数 模 型 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx +c(a≠0, b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公 司年销量y与年份x的关系? ? [思路探索] 把点(1,8),(2,18),(3,30)代入 两个模型求相应曲线→验证x=4时,y值与 43的误差→得出结论.



建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),

(2,18),(3,30). (1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 将点坐标代入, ?a+b+c=8, ? 可得?4a+2b+c=18, ?9a+3b+c=30, ?

解得a=1,b=7,c=0,

则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1.

(2)构造指数函数模型g(x)=a·x+c(a≠0,b>0,b≠1), b ?ab+c=8, ? 2 将点坐标代入,可得?ab +c=18, ?ab3+c=30, ? 125 6 解得a= ,b= ,c=-42. 3 5 125 ?6?x ? 则g(x)= · ? -42, 3 ?5? 125 ?6?4 ? 故g(4)= · ? -42=44.4,与计划误差为1.4. 3 ?5? 由(1)(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x的关系.

? [规律方法] (1)此类问题求解的关键是首先 利用待定系数法求出相关函数模型,也就 是借助数据信息,得到相关方程,进而求 出待定参数. ? (2)理解“模型能更好反映该公司年销量y与 年份x的关系”的含义,在此基础上利用既 定值来检验模型的优劣.

? 【活学活用3】 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x -1的图象如图. ? (1)指出C1,C2分别对应图中哪一个函数; ? (2)比较两函数的增长差异(以两图象交 ? 点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行 ? 比较).

? ? ? ? ? ? ?

解 (1)由函数图象特征及变化趋势,知 曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, 曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x); 当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x); 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x). 函数g(x)=0.3x-1呈直线增长,函数f(x)随 着x的逐渐增大,其函数值变化的越来越慢, 为“蜗牛式”增长.

? 方法技巧 运用图象特征确定增长型函数 模型 ? 几种常见的增长型函数增长变化趋势 不同,呈直线上升,指数爆炸,“蜗牛式” 增长,反映在图象上,通常是观察图象上 升得快慢,即随着自变量的增大,图象最 “陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓 的函数是对数函数.

? 【示例】 函数f(x)=2x 和g(x)=x3的图象如 图 ? 所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1), ? B(x2,y2),且x1<x2. ? (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; ? (2)结合函数图象,判断f(8),g(8),f(2 012), ? g(2 012)的大小. ? [思路分析] (1)随着自变量x的增大,图象 位于上方的函数是指数函数y=2x,另一个 函数就是幂函数y=x3.(2)利用零点存在性定 理找出交点所在的区间,然后结合图象比

? ? ? ? ? ? ? ?

解 (1)C1对应的函数为g(x)=x3, 曲线C2对应的函数为f(x)=2x. (2)∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4, f(9) = 512 , g(9) = 729 , f(10) = 1 024 , g(10)=1 000. ∴f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10) >g(10). 因此1<x1<2,9<x2<10, 从而x1<8<x2<2 012. 由图象知,当x1 <x<x2 时,f(x)<g(x),则 f(8)<g(8),

? [题后反思] 1.(1)要熟记基本函数图象的特点, 并把握好指数函数、对数函数、幂函数图 象的增长特点. ? (2)结合图象分析图中曲线的特点与区别, 联想对应的函数解析式. ? 2.解答题目要步骤完整,需要下总结性结 论的,最后一定要点明,以规范步骤.

?

? ? ? ?

? 课堂达标 1.当x越来越大时,下列函数中,增长速 度最快的应该是 ? ( ). A.y=2x B.y=log2x C.y=x2 D.y=2x 解析 指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸 式增长,增长速度最快. 答案 D

? 2.(2013·济南高一检测)某林区的森林蓄 积量每年比上一年平均增长10.4%,要增 长到原来的x倍,需经过y年,则函数y= f(x)的图象大致是 ? ( ). ?
? ? 解析 设该林区的森林原有蓄积量为a, ? 由 题 意 , ax = a(1 + 0.104)y , 故 y = log1.104x(x≥1), ? ∴y=f(x)的图象大致为D中图象.

? 3.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的 数据如下表: x 0 5 10 15 20 25 30 1 3 y1 5 130 505 13 2 005 13 4 505 0 0 1 33 6.73 1.2 2.28 94.4 y2 5 78 73 ×1 ×1 × 78 5.2 3 05 107 08 y3 5 30 55 80 105 130 155 关于x呈指数型函数变化的变量是________. 2.31 1.42 1.14 1.046 1.01 y4 5 1.005 07 95 07 1 51

? 解析 指数型函数的增长呈“爆炸式”增 长,由表中数据,呈指数型变化的变量为y2. ? 答案 y2

4.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料 质量 M kg、火箭(除燃料外)质量 m kg 的关系是 v= 2
? M? 000ln?1+ m ?,则当燃料质量是火箭质量的________倍时, ? ?

火箭的最大速度可达 12 km/s. 解析 由题意 2
? M? 000ln?1+ m ?=12 ? ?

000.

? M? M ?1+ ?=6,从而 =e6-1. ∴ln m? m ?

答案

e6-1

? 5.有一种树木栽植五年后可成材.在栽 植后五年内,年增加20%,如果不砍伐, 从第六年到第十年,年增长10%,现有两 种砍伐方案: ? 甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年 后砍伐. ? 乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五 年再砍伐一次. ? 请计算后回答:十年内哪一个方案可以 得到较多的木材?

? 解 设树林最初栽植量为a,甲方案在10年 后树木产量为 ? y1 = a(1 + 20%)5(1 + 10%)5 = a(1.2×1.1)5≈4a. ? 乙方案在10年后树木产量为 ? y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.

? y1-y2=4a-4.98a<0, ? 因此,乙方案能获得更多的木材(不考虑最 初的树苗成本,只按成材的树木计算).

? ?
?

?

? 课堂小结 三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时,常常选用指数 函数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快, 也不会增长到很大时,常常选用对数函数 模型. (3)幂函数模型y=xn(n>0),则可以描述增 长幅度不同的变化:n值较小(n≤1)时,增长 较慢;n值较大(n>1)时,增长较快.


相关文章:
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教...
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。课题:3.2.1 几类不同增长的函数模型 精讲部分 学习...
2015-2016学年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型学...
2015-2016学年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型学案 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。3.2 3.2.1 函数模型及其应用 几类不同增长的函数模型 ...
2015-2016高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型练习 ...
2015-2016高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型练习 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型练习 新人...
高一数学几类不同增长的函数模型2
高一数学几类不同增长的函数模型2_从业资格考试_...函数模型的广泛应用. 情感、态度、价值观 体验函数...
2013-2014学年高一人教A版数学必修一课后作业 3.2.1 几...
2013-2014学年高一人教A数学必修一课后作业 3.2.1 几类不同增长的函数模型(教师版)精校电子版含解析]_高中教育_教育专区。2013-2014学年高一人教A数学必修...
几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型_高一数学_数学_高中教育_教育专区。几学类不同增长的...分段函数等) ,了解函数模型的广 泛应用. 情感、态度、价值观 体验函数是描述...
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教...
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。课题:3.2.1 几类不同增长的函数模型 精讲部分学习目标展示 1....
必修1.3.2.1几类不同增长的函数模型(一)
必修1.3.2.1几类不同增长的函数模型(一)_高中...应用也十分广泛. 2.数学建模 数学建模是运用数学...a x ? xn . 例题讲解 题型一例 1 一次函数模型...
2013-2014学年高一数学人教A版必修一课时提升卷 3.2.1 ...
2013-2014学年高一数学人教A版必修一课时提升卷 3.2.1 几类不同增长的函数模型 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2013-2014学年高一数学人教A版必修一课时提升...
专项练习: 几类不同增长的函数模型
专项练习: 几类不同增长的函数模型_高一数学_数学_...下列所给函数模型较适合的是( A.y=logax(a>1) ...
更多相关标签: