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泉州四校2012届高三第二次联考试卷数学文


福州教科文赠阅卷

永春一中 季延中学

培元中学 2012 届四校高三毕业班第二次联考试卷 (文科数学) 石狮联中 考试时间:120 分钟 满分 150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 A ? B ? x x ? A且

x ? B ,若 A ? ? ,2,3,4,5 ?, B ? ?3,5,7,9?,则 A ? B 等于( 1 A. ? ,2,3,4,5,7,9,? 1 B. ? ,2,4? 1 C. ? ,2,4,7,9? 1 D. ?3,5?

?

?



2.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点在 z2
C.第三象限 D.第四象限

3. 在区间 ?? , ? 上随机取一个 x , sin x 的值介于 ? 与 之间的概率为 2 2 ? 2 2? A.

? ? ??

1

1





1 3

B .

2 ?

C.

1 2

D.

2 3
( )

4.下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 单调递增的函数是 A. y ? x
3

B. y ? x ? 1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2

?x

5. 已知命题 p : ?x ? R,使得x+

1 ? 2 , 命题q : ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ,下列结论正确的是 x
( ) B. 命题“ ?P) ? q ”是真命题 ( D. 命题“ (?p) ? (?q) ”是真命题 ( )

A.命题“ p ? q ”是真命题 C. 命题“ p ? (?q) ”是真命题

6.函数 y ? sin(?x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? C. ? ?

? ?
2 4

,? ? ,? ?

? ?
4 4

6 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4

B. ? ?

?
3

,? ?

?

7.已知圆 O 的半径为 R ,若 A, B 是其圆周上的两个三等分点,则 OA?AB 的值等于 ( A. )

??? ??? ? ?

3 2 R 2

B. ?

1 2 R 2

C. ?

3 2 R 2

D. ?

3 2 R 2
( )

.8.已知 ?ABC 的三个内角满足: sin A ? sin C ? cos B ,则三角形的形状为 A. 正三角形 C. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

-1-

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? x ? y ? 5 ? 0, ? 9.设不等式组 ? y ? a , 所表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ( ?0 ? x ? 2, ?
A. ?5, 7 ? B. (5, 7) C. ? 5, 7 ? D. ?5, 7 ?



2 10.设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心, FM

为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 A. (0,2) B.[0,2] C. (2,+∞)

( D.[2,+∞)



11、已知函数 f ( x) ? x x ? 4 ? 5 ,则当方程 f ( x) ? a 有三个不同实根时,实数 a 的取值范围 是 A. ? 5 ? a ? ?1 B. ? 5 ? a ? ?1 C. a ? ?5 D. a ? ?1 ( )

12.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数时, m ※ n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定 义下,集合 M ? {(a, b) a ※ b ? 12, a ? N? , b ? N?} 中的元素个数是 A.10 个 B.15 个 C.16 个 ( D.18 个 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显 示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,井由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方

? 程 y ? 0.254 x ? 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出
平均增加_____________万元. Ks5u 14. 已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y

? x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则

a ? _________________. b
15. 对任意非零实数 a 、 b ,若 a ? b 的运算原理如 右框图所示,则 lg 100 ? 4 的值 .
开始 输入 a、b

a ? b?
是 开始 否 输 出 a ?1
b

输 出 b ?1
a

输出

输出 结束

-2-

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16.点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题: D ①三棱锥 A ? D1 PC 的体积不变; ② A1 P ∥平面 ACD1 ; ③ DP ? BC1 ; ④平面 PDB1 ? 平面 ACD1 . 其中正确的命题序号是 . 三.解答题:(解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 等比数列 ?a n ?中,已知 a2 ? 2, a5 ? 16 1)求数列 ?a n ?的通项 an 2)若等差数列 ?bn ? ,
A1 B1 A B P D1

C

C1

b1 ? a5 , b8 ? a2 ,求数列 ?bn ?前 n 项和 sn ,并求 sn 最大值

18. (本题满分 12 分) “五·一”放假期间,某旅行社共组织 1000 名游 客,分三批到北京、香港两地旅游,为了做好游 客的行程安排,旅行社对参加两地旅游的游客人 数进行了统计,列表如下: 北京 香港

第一批 200 150

第二批

第三批

x
160

y

z

已知在参加北京、香港两地旅游的 1000 名游客中,第二批参加北京游的频率是 0.21 . (1)现用分层抽样的方法在所有游客中抽取 50 名游客,协助旅途后勤工作,问应在第三 批参加旅游的游客中抽取多少名游客? (2) 已知 y ? 136 ,z ? 133 , 求第三批游客中到北京旅游人数比到香港旅游人数多的概率.

19. (本题满分12分)高.考.资.源.网 已知在 ?ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,向量 m ? (2 3 sin

??

B 3 , ), 2 2

? ?? ? B ? n ? (sin( ? ),1), 且m ? n ? 3. 2 2
(1)求角 B 的大小; (2)若角 B 为锐角, a

? 6, S?ABC ? 6 3 ,求实数 b 的值。
C
-3-

D

B

M

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20.(本题满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF , 矩形 ABCD 的边 BC 垂直于圆 O 所在的平面,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)求三棱锥的体积 VF ? ABC .

21.(本题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为 2, 2 a b 2

(1)试求椭圆 M 的方程;
1 3 的直线 l 与椭圆 M 交于 C 、D 两点, P(1, ) 为椭圆 M 上一点, 点 记直线 PC 2 2 的斜率为 k1 ,直线 PD 的斜率为 k 2 ,试问: k1 ? k2 是否为定值?请证明你的结论.

(2) 若斜率为

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (m ?

1 1 (其中常数 m ? 0 ) ) ln x ? ? x , m x

(1)当 m ? 2 时,求 f ( x) 的极大值; (2)试讨论 f ( x) 在区间 (0, 1) 上的单调性; (3)当 m ? ?3, ? ? ? 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点 P( x1 , f ( x1 )) 、Q( x2 , f ( x2 )) , 使得曲线 y ? f ( x) 在点 P 、 Q 处的切线互相平行,求 x1 ? x2 的取值范围.

2012 届四校高三毕业班第二次联考试卷(文科数学)参考答案
-4-

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1-12: BDABA 13. 0.254

CDBDC 14. ?

AB

1 3

15.

3 2

16. ①②④

17.解:1)由 2)由已知得

a2 ? 2, a5 ? 16 ,得 q=2,解得 a 1 ? 1 ,从而 a n ? 2 n ?1 ………4 分

b1 ? 16, b8 ? 2, 又b8 ? b1 ? (8 ? 1)d , 解得 d=-2……………….6 分
n( n ? 1) n( n ? 1) d ? 16n ? ( ?2) ? ? n 2 ? 17n 2 2
2

? s n ? nb1 ?

…………8 分

17 ? 17 ? s n ? ?(n ? ) ? ? ? , n ? N * 2 ? 2 ? 由于 ……………………………………………10 分

? ?sn ?max ? s8 ? s9 ? 72 ……………………………………………………………12 分
x ? 0.21 ? x ? 210 1000

18. (1)由题意,得

? ? ?

? ? 2分

∴ y ? z ? 1000 ? 200 ? 150 ? 210 ? 160 ? 280 ∵ ? 200 ? 150 ? : ? 210 ? 160 ? : 280 ? 35 : 37 : 28 ∴应在第三批参加旅游的游客中抽取游客人数为 50 ?

28 ? 14 35 ? 37 ? 28

4分 ? 5分

(2)记第三批去北京旅游人数 y ,去香港旅游人数 z 为实数对 ? y, z ? ∵ y ? 136 , z ? 133 且 y ? z ? 280

∴共有如下 12 个基本事件: ?136, 144 ? , ?137, 143 ? , ?138, 142 ? , ?139, 141? ,

?140, ?146,

140 ? , ?141, 139 ? , ?142, 138 ? , ?143, 137 ? , ?144, 136 ? , ?145, 135 ? , 134 ? , ?147, 133 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分

记事件“ y ? z ”为事件 A 则事件 A 包含基本事件有 ?141, 139 ? , ?142, 138 ? , ?143, 137 ? , ?144, 136 ? ,

?145,

135 ? ,?146, 134 ? ,?147, 133 ? 有 7 个基本事件

? ?? 10 分 ?? ? 12 分

∴ P ? A? ?

7 为所求的概率 12

? ? ? ? ? ?

-5-

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19.

20. (1)证明:? CB ? 平面 ABEF 又 AF ? 平面 ABEF , ∴ AF ? CB 又? AB 为圆 O 的直径, ∴ AF ? BF 又 CB ? BF ? B , CB, BF ? 平面CBF ∴ AF ? 平面 CBF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 ? 2分

(2)设 DF 的中点为 N ,则 MN //

1 1 CD ,又 AO // CD , 2 2
? ? ? ? ? ? 6分

则 MN // AO ,∴ MNAO 为平行四边形

∴ OM // AN , 又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ∴ OM // 平面 DAF

? ? ? 7分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分

(3)由平面几何知识知 AF=1 ? ? ? ? 9 分 ∴BF= 3 , ∴

S?ABF ?

1 3 2

? ?

? ? 10 分

又? CB ? 平面 ABEF

-6-

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∴ VF ? ABC ? VC ? ABF ?

1 1 CB?S?ABF ? 3 3 2

? ? ? ?

? ? 12 分

21.解: (1) a ? 2, c ? 1 . ?b ? (2)设直线 l 的方程为: y ?

3 ,椭圆 M 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

??4 分

1 x ? b , C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) 2

联立直线 l 的方程与椭圆方程得:

1 ? ? y ? 2 x ? b ?? (1) ? ? 2 2 ? x ? y ? 1?? (2) ?4 3 ?
(1)代入(2)得: 3x ? 4( x ? b) ? 12
2 2

1 2

化简得: x ? bx ? b ? 3 ? 0 ???(3)
2 2

?????6 分

当 ? ? 0 时,即, b ? 4(b ? 3) ? 0
2 2

即 b ? 2 时,直线 l 与椭圆有两交点,

??????7 分

由韦达定理得: ?

? x1 ? x 2 ? ?b
2 ? x1 ? x 2 ? b ? 3



??????8 分

3 1 3 3 1 3 x1 ? b ? y2 ? x2 ? b ? 2 ? 2 2, k ? 2 ? 2 2 ??????10 分 所以, k1 ? 2 x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 3 1 3 x1 ? b ? x2 ? b ? 2 ?2 2 ? x1 ? x 2 ? (b ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 3 ? 2b 则 k1 ? k 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
b 2 ? 3 ? (b ? 2)( ?b) ? 3 ? 2b ? ?0 所以k1 ? k2为定值 。 ??12 分 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ,
22.(1)当 m ? 2 时, f ( x) ?

5 1 ln x ? ? x 2 x 5 1 ( x ? 2)(2 x ? 1) ? ? ? ? ? 1分 ( x ? 0) f ?( x) ? ? 2 ?1 ? ? 2x x 2x2 1 1 当 0 ? x ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2 2 1 1 ∴ f ( x) 在 (0, ) 和 (2, ? ?) 上单调递减,在 ( , 2) 单调递减 ? 3分 2 2

-7-

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故 f ( x)极大 =f (2) ?

5 3 ln 2 ? 2 2

?

?

?

?

?

? ?

4 分

1 1 1 x 2 ? (m ? ) x ? 1 ( x ? m)( x ? ) m ? 1 ?1 ? ? m m ( x ? 0, m ? 0) ?5 分 (2) f ?( x) ? ?? x x2 x2 x2 1 ①当 0 ? m ? 1 时,则 ? 1 ,故 x ? (0, m) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? (m, 1) 时, f ?( x) ? 0 m m?
此时 f ( x) 在 (0, m) 上单调递减,在 (m, 1) 单调递减; ? ? ? 6分

( x ? 1)2 1 ?( x) ? ? ②当 m ? 1时,则 ? 1 ,故 x ? (0, 1) ,有 f ? 0 恒成立, x2 m
此时 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递减; ③当 m ? 1时,则 0 ? ? ? ? ? ? ? 7分

1 1 1 ? 1 ,故 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ( , 1) 时, f ?( x) ? 0 m m m 1 1 此时 f ( x) 在 (0, ? ? ? 8分 ) 上单调递减,在 ( , 1) 单调递减 m m

(3)由题意,可得 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ( x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 )

m?


1 1 m? m ? 1 ?1 ? m ? 1 ? 1 ? x ? x ? (m ? 1 ) x x 1 2 1 2 2 x1 x1 x2 x2 2 m

? ? 9分

x1 ? x2 2 ) 恒成立,又 x1 , x2 , m ? 0 2 1 x ? x2 2 4 ∴ x1 ? x2 ? (m ? )( 1 对 m ? ?3, ? ? ? 恒成立 11 分 ) ? x1 ? x2 ? 1 m 2 m? m 1 1 (m ? 1)(m ? 1) 令 g (m) ? m ? (m ? 3) , g ?(m) ? 1 ? 2 ? 则 ? 0 对 m ? ?3, ? ? ? 恒成 m m m2
∵ x1 ? x2 ,由不等式性质可得 x1 x2 ? ( 立 ∴ g (m) 在 ?3, ? ? ? 上单调递增, g (m) ? g (3) ? ∴ 故

10 3

? ? 12 分

4 1 m? m

?

4 6 ? g (3) 5 4 m? 1 m

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 分

从而“ x1 ? x2 ?

对 m ? ?3, ? ? ? 恒成立”等价于“ x1 ? x2 ?

4 6 ? ” g (3) 5
? ? 14 分

∴ x1 ? x2 的取值范围为 ( , ? ?)

6 5

? ? ? ? ?

-8-


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