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高一数学必修3知识点总结及典型例题解析


必修 3 概率部分知识点总结

新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 ? ?
事件:随机事件( random event ) ,确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,

当实验的次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P? A? ?

m n

说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重 复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然 性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常 数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个 常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是 一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率 的近似值

?

概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1

② 用?和?分别表示必然事件和不 可能事件, 则有P??? ? 1, P?? ? ? 0 ③如果事件

A和B互斥, 则有 : P? A ? B ? ? P? A? ? P?B ?

?

古典概率 (Classical probability model) : ① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件 发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n , 则每一个基本事件发生的概率都是

1 ,如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为 n m P? A? ? n

?

几何概型 (geomegtric probability model) : 一般地, 一个几何区域 D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ? A? ?

d的侧度 D的侧度

( 这里要求 D 的侧度不为 0, 其中侧度的意义由 D 确定, 一般地,

线段的侧度为该线段的长度; 平面多变形的侧度为该图形的面积; 立体图像的侧度为其 体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界, 在区域 D 内随机地取点,指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的,落在任何 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件

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对立事件(complementary events) :两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ,事件 A 的对立事件 记为: A

?独立事件的概率: 若A , B 为相互独立的事件事件, 则 P?AB? ? P? A?P?B? ,
若 A1 , A2 , ... , An 为两两独立的事件, 则 P?A1A 2 ...A n ? ? P?A1 ?P?A 2 ?...P?A n ? 颜老师说明: ① 若 A , B 为互斥事件, 则 A , B 中最多有一个发生 , 可能都不发生, 但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空 集 ② 对立事件是指的两个事件, 而且必须有一个发生, 而互斥事件可能指的很多事 件, 但最多只有一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来 看: 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集, 但两个对立事件的并集是全集 , 而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 ,而两个 互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 则 有

P? A ? B ? ? P? A? ? P?B ? ⑦

一般地,如果

A1 , A 2 ,..., An 两 两 互 斥 , 则 有


P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P ? A? ? 1 ? P A ⑨ 在

??

本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A 2 ,..., An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题 中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照那种概型 的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课 标试验教科书-苏教版)的例题

?例题选讲:
例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率? 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球,2 个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路 有不同的解法 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”

?PA ?

? ?

1 (6 ? 5)

? 2

1 1 14 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - ? 15 15 15

? ?

14 . 15 6?5 解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 ? 15 种情况,设事件 A 为“选 2 4?3 取 2 个球至少有 1 个是红球”, 而事件 A 所含有的基本事件数有 4 ? 2 ? ? 14 2
答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

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所以 P ? A? ?

14 15 14 . 15

答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

解法 3: (独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件 A 为“选取 2 个球至 少有 1 个是红球” ,事件 A 有三种可能的情况:1 红 1 白;1 白 1 红;2 红,对应的概率分 别为:

4 2 2 4 4 3 14 ? ? ? ? ? ? 6 5 6 5 6 5 15 14 答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 15 P? A? ?

4 2 2 4 4 3 ? , ? , ? , 则有 6 5 6 5 6 5

评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所学的方法,根据自己的理解用 不同的方法,但是基本的解题步骤不能少! 变式训练 1: 在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个,求 至少有 1 个是红球的概率? 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A , 意义为“选取 3 个球都是白球”

4 ? 3? 2 3 C4 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - 1 ? 4 ?PA ? 3 ? 6 5 4 5 5 5 C 6 (6 ? 5 ? 4) 3 ? 2 ?1

? ?

? ?

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

6?5? 4 ? 20 种情况,设事件 A 3 ? 2 ?1 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有 4?3 16 4 2 2 ? C4 ? 1? 4 ? 2 ? ? 16 , 所以 P? A? ? ? 2 20 5 4 答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 . 5 解法 3: (独立事件概率)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则事件 A 的情
解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 C6 ?
3

4 . 5

况如下: 红 白 白 1红2白 白 白 红 白 红 白 红 红 白 2红1白 红 白 红 白 红 红

2 4 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 3 2 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 2 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 2 1 4 1 ? ? ? 6 5 4 15 2 4 1 1 ? ? ? 6 5 4 15 4 2 1 1 ? ? ? 6 5 4 15

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所以

1 1 4 P? A? ? 3 ? ? 3 ? ? 5 15 5
4 . 5

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

变式训练 2:盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回的从中任抽 2 次,每次 抽取 1 只,试求下列事件的概率: (1)第 1 次抽到的是次品 (2)抽到的 2 次中,正品、次品各一次 解:设事件 A 为“第 1 次抽到的是次品” , 事件 B 为“抽到的 2 次中,正品、次品各一次”

4? 2 ? 2? 4 4 2 4 4 2 4 ? (或者 P?B ? ? ? ? ? ? ) 6?6 9 6 6 6 6 9 1 4 答:第 1 次抽到的是次品的概率为 ,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率为 3 9
则 P ? A? ?

2 1 ? 6 3

, P ?B ? ?

变式训练 3:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后 不放回, 求 (1) 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率? ( 2) 求至少 1 人抽到选择题的概率? 【分析】 (1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的, 所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来 解:设事件 A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” ,事件 B 为“至少 1 人抽到选择题” ,则 B 为“两人都抽到填空题” (1) P ? A? ?

3 3 3 ? ? 6 5 10

? P1 P1 3 ? 3 3 ? ? 或者P? A? ? 3 2 3 ? ? ? ? 6 ? 5 10 ? P6 ? ? ? P32 1 ? 1 4 ? 或者P B ? 2 ? ? 则 P?B ? ? 1 ? P B ? 1 ? ? ? ? 5? P6 5 5 ?

3 2 1 (2) P B ? ? ? 6 5 5

??

??

??

答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

3 4 ,少 1 人抽到选择题的概率为 . 5 10

变式训练 4:一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球,其中 3 个红球,2 个黄球,从中不放 回摸出 2 个球,球两个球颜色不同的概率? 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球,要么是 1 黄 1 球 略解: P? A? ?

3 2 2 3 3 ? 6 3? ? 或者 P? A? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 4 5 ? C5 5 ? ?

变式训练 5:设盒子中有 6 个球,其中 4 个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回, 若连续抽两次,则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少? 略解: P? A? ?

4 2 2 4 4? 2 2? 4 4 ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6?6 6?6 9

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高中数学必修三 第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图

1、算法的概念 (1)算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用 计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必 须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. (2)算法的特点: ①有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之 后停止,不能是无限的. ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且 得到确定的结果,而不应当是模棱两可. ③顺序性与正确性: 算法从初始步骤开始, 分为若干明确的步骤, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前 提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无 误,才能完成问题. ④不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一 个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决, 如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以 解决.

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2、程序框图 (1)程序框图基本概念: ①程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、 指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流 程线;程序框外必要文字说明。 ②构成程序框的图形符号及其作用

程序框

名称 起止框 程图不可少的。

功能 表示一个算法的起始和结束, 是任何流

表示一个算法输入和输出的信息, 可用 输入、输出框 在算法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、 计算, 算法中处理数据需要的算 处理框 式、 公式等分别写在不同的用以处理数 据的处理框内。 判断某一条件是否成立, 成立时在出口 判断框 处标明“是”或“Y” ;不成立时标明 “否”或“N” 。

学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,

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画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。 判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而 且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 3:算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 (1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间, 框与框之间是按从上到下的顺序进行的, 它是由若干个依次执行 的处理步骤组成的, 它是任何一个算法都离不开的一种基本算法 结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连 接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执 行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执行 B 框所 指定的操作。 (2)条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件 是否成立而选择不同流向的 算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立, 只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执行

A

B

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A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以 有多个判断框。 (3)循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定 条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的 处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构 又称重复结构,循环结构可细分为两类: ①一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条 件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是否 成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到 某一次条件 P 不成立为止, 此时不再执行 A 框, 离开循环结构。 ②另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行, 然后判断给定的条件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立,则继续 执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。

A P
不成立 成立 成 立

A P
不成 立

当型循环结构

直到型循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构

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来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环” 。 2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循 环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执 行的,累加一次,计数一次。

1.2 基本算法语句

1、输入、输出语句和赋值语句 (1)输入语句 ①输入语句的一般格式 INPUT “提示内容” ;变量 ②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;③“提示内容”提示 用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的 量;④输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量 或表达式;⑤提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个变 量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 (2)输出语句 ①输出语句的一般格式 PRINT “提示内容” ;变量 ②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;③ “提示内容”提 示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数据;④输出语 句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 (3)赋值语句 ①赋值语句的一般格式 变量=表达式

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②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; ③赋值语句中的 “=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右 两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量;④赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可 以是一个数据、常量或算式;⑤对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是 错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结 果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因 式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 5:条件语句 (1)条件语句的一般格式有两种:


①IF 条件 THEN 语句体 END IF

满足条件? 否 语句

注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作 内容,条件不满足时,结束程序;END IF 表示条件语句的结束。

计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行 THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行 其它语句。

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②IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF


满足条件?

是 语 句1 语 句2

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语 句 1”表示满足条件时执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时 执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时, 首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面的 语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的语句 2。 6:循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。 对应于程序框图中的两种循环 结构,一般程序设计语言中也有当型 (WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 (1)WHILE 语句 ①WHILE 语句的一般格式是
WHILE 循环体 WEND 条件 满足条件? 否

对应的程序框图是
循 环 体 是

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②当计算机遇到 WHILE 语句时, 先判断条件的真假, 如果条件符合, 就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件, 如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一 次条件不符合为止。 这时, 计算机将不执行循环体, 直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称 为“前测试型”循环。 (2)UNTIL 语句 ①UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是
DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 满足条件? 是 循环体 否

②直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分 析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件的 判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件 的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行 循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句, 是先执行循环 体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断; 在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中, 是当条件不满足时执行循环

1.3 算法案例 1、辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数

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的步骤如下: ①用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S 0 和一个余数 R0 ; ②若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ;③若 R1 =0,则 R1 为 m,n 的最大公约数;若 R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S 2 和一 个余数 R2 ;?? 所求的最大公约数。 (2)更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章 算术》 中有更相减损术求最大公约数的步骤: 可半者半之, 不可半者, 副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为:①任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。②以较大的数减去较小的数,接着把较 小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得 的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 (3)辗转相除法与更相减损术的区别: ①都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减 损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特 别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 ②从结果体现形式来看, 辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得 到,而更相减损术则以减数与差相等而得到 2、秦九韶算法与排序 依次计算直至 Rn =0,此时所得到的 Rn ?1 即为

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(1)秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+?.+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+ ? .+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+ ? .+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+?.+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值, 即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0

这样, 把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 3、进位制 (1)概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表 示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数,基数为 n,即 可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不 同的进位制来表示。比如:十进数 57 ,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它 们所代表的数值都是一样的。 (2) 一般地, 若 k 是一个大于一的整数, 那么以 k 为基数的 k 进制可 以表示为:
an an?1...a1a0( k ) (0 ? an ? k , 0 ? an?1 ,..., a1 , a0 ? k )



而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示 二进制数,34(5)表示 5 进制数

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(3)把十进制数化为 k 进制数的算法,称为除 k 取余法。

第二章 统计 2.1 随机抽样 1:简单随机抽样 (1)总体和样本 ①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. ②把每个研究对象叫做个体. ③把总体中个体的总数叫做总体容量. ④为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: , , , 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.

(2)简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、 划类、排队等,完全随机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被 抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全独立,彼此间 无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基 础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这 种方法。 (3)简单随机抽样常用的方法: ①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②

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允许误差范围;③概率保证程度。 (4)抽签法: ①给调查对象群体中的每一个对象编号; ②准备抽签的工具,实施抽签; ③对样本中的每一个个体进行测量或调查 (5)随机数表法: 2:系统抽样 (1)系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定 的抽样距离抽取样本。 第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的, 即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条 件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明 显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循 环和抽样距离重合。 (2)系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因 为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是, 如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按 辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估 计精度。 3:分层抽样

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(1)分层抽样(类型抽样) : 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划 分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机 抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合 起来构成总体的样本。 两种方法: ①先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比 例从各层中抽取。 ②先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层 的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。 (2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总 体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的 样本进而代表总体。 分层标准: ①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的 标准。 ②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在 结构的变量作为分层变量。 ③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
样本容量 各层样本容量 ? (3)分层的比例问题:抽样比= 个体容量 各层个体容量

①按比例分层抽样: 根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位 数目的比重来抽取子样本的方法。

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②不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就 会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层次的子总体进 行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则 需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比 例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 4:用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)样本均值:
x? x1 ? x2 ? ? ? xn n
2

(2)样本标准差:

s? s ?

( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 n

(3)众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(可 以是多个) 。 (4)中位数:在样本数据中,累计频率为 1.5 时所对应的样本数据 值(只有一个) 。 注意: ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常 数,标准差不变 ②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差 变为原来的 k 倍 ③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间
( x ? 3s, x ? 3s) 的应用;

“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 5、用样本的频率分布估计总体分布

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(1)频率分布表与频率分布直方图 频率分布表盒频率分布直方图, 是从各个小组数据在样本容量中所 占比例大小的角度,来表示数据分布规律,它可以使我们看到整个样 本数据的频率分布情况。 具体步骤如下: 第一步:求极差,即计算最大值与最小值的差. 第二步:决定组距和组数:组距与组数的确定没有固定标准,需要尝 试、选择,力求有合适的组数,以能把数据的规律较清楚地 呈现为准.太多或太少都不好,不利对数据规律的发现.组数 应与样本的容量有关,样本容量越大组数越多 .一般来说, 容量不超过 100 的组数在 5 至 12 之间.组距应最好“取整” ,
极差 它与 组距 有关. 极差 注意:组数的“取舍”不依据四舍五入,而是当 组距 不是整数时,组
极差

数=[ 组距 ]+1. ②频率分布折线图 :连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重 点,就得到频率分布折线图。 ③总体密度曲线: 总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分 比,它能给我们提供更加精细的信息。 (2)茎叶图:茎是指中间的一列数,叶是指从茎旁边生长出来的数。 . 6:变量间的相关关系:自变量取值一定时因变量的取值带有一定随

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机性的两个变量之间的关系交相关关系。 对具有相关关系的两个变量 进行统计分析的方法叫做回归分析。 (1)回归直线:根据变量的数据作出散点图,如果各点大致分布在 一条直线的附近,就称这两个变量之间具有线性相关的关系, 这条直线叫做回归直线方程。如果这些点散布在从左下角到右 上角的区域,我们就成这两个变量呈正相关;若从左上角到右 下角的区域,则称这两个变量呈负相关。

第三章 概率 3.1 随机事件的概率 (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的 必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条 件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定 事 件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对 于 条件 S 的随机事件;

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(5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现, 称 n 次试验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数; 称事件 A 出现的比例
f n ( A) ? nA n 为事件 A 出现的概率:对于给定的随

机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 f n ( A) 稳定 在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的
nA 次数 n A 与试验总次数 n 的比值 n ,它具有一定的稳定性,总在

某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅 度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数 量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试 验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 2:概率的基本性质 (1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1 (2)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (3)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B= ? ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (4)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与 事件 B 互为对立事件; (5)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件, 所以 P(A∪B)= P(A)+

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P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (6)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事 件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形: ① 事 件 A 发生且事件 B 不发生;②事件 A 不发生且事件 B 发生;③事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅

有一个发生,其包括两种情形;④事件 A 发生 B 不发生;⑤事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3:基本事件 (1)基本事件:基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果 中的一个,它是试验中不能再分的最简单的随机事件。 (2) 基本事件的特点: ①任何两个基本事件是互斥的②任何事件 (除 不可能事件外)都可以表示成基本事件的和。 4:古典概型: (1)古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型,这种模型 满足两个条件: ①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 ②所有基本事件必须是 有限个。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式
p( A) ? A所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数

5:几何概型

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(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模 型; ( 2 ) 几 何 概 型 的 概 率 公 式 :

p( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) ;

(3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个;②每个基本事件出现的可能性相等. 注意:几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可 能结果不是有限个。其特点是在一个区域内均匀分布,所以随 机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关, 值域 该区域的大小有关。如果随即事件所在区域是一个单点,由于 单点的长度、面积、体积均为 0,则它出现的概率为 0,但它 不是不可能事件; 如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除 一个单点,则它出现的概率为 1,但他不是必然事件。 综上可得:必然事件的概率为 1;不可能事件的概率为 0。 概率为 1 的事件不一定为必然事件; 概率为 0 的事件不一 定为不可能事件。


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