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材料力学第五版习题答案


二、轴向拉伸和压缩
2-1 试求图示各杆 1-1 和 2-2 横截 面上的轴

力, 并作 轴力 图。

(a)解:





(b)解:





(c)解:


/>。

(d) 解:



2-2 面面积 解:

试求图示等直杆横截面 1-1,2-2 和 3-3 上的轴力,并作轴力图。若横截 ,试求各横截面上的应力。

返回 2-3 试求图示阶梯状直杆横截面 1-1,2-2 和 3-3 上的轴力,并 作轴力图。若横截面面积 , ,

,并求各横截面上的应力。 解:

返回 2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的 拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成,其截面均为两个 75mm×8mm 的等边角钢。已 知屋面承受集度为 应力。 的竖直均布荷载。试求拉杆 AE 和 EG 横截面上的

解: 1) 求内力 取 I-I 分离体

=



(拉)

取节点 E 为分离体 ,

故 2) 求应力

(拉)

75×8 等边角钢的面积 A=11.5 cm2

(拉)

(拉)

返回 2-5(2-6) 图示拉杆承受轴向拉力 ,杆的横截面面积 。

如以 表示斜截面与横截面的夹角,试求当 ,30 ,45 ,60 ,90 时 各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。

解:

返回 2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长 200mm 的正方形,材料 可认为符合胡克定律,其弹性模量 E=10 GPa。如不计柱的自重,试求: (1)作轴力图; (2)各段柱横截面上的应力; (3)各段柱的纵向线应变; (4)柱的总变形。

解:

(压)

(压)

返回 2-7(2-9) 一根直径 , 其伸长为 、长 的圆截面杆, 承受轴向拉力 。 试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量 E。

解:

2-8(2-11) 数为 E,

受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常 ,试求 C 与 D 两点间的距离改变量 。

解:

横截面上的线应变相同

因此

返回 2-9(2-12) 图示结构中,AB 为水平放置的刚性杆,杆 1,2,3 材料相同,其弹 , , 。

性模量 E=210GPa, 已知 , 试求 C 点的水平位移和铅垂位移。

解:(1)受力图(a)

, (2)变形协调图(b) 因 ,故



=

(向下) (向下)

为保证 何关系知;

,点 A 移至

,由图中几

返回

第三章 扭转
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12

3-1 一传动轴作匀速转动,转速 ,轴上装有五个轮子,主动轮Ⅱ 输入的功率为 60kW,从动轮,Ⅰ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ依次输出 18kW,12kW,22kW 和 8kW。 试作轴的扭矩图。

解:

kN

kN

kN

kN

返回 3-2(3-3) 圆轴的直径 ,转速为 切应力等于 ,试问所传递的功率为多大? 。若该轴横截面上的最大

解:







故 返回

3-3(3-5)

实心圆轴的直径 ,材料的切变模量

mm,长

m,其两端所受外力偶矩 。试求:

(1)最大切应力及两端截面间的相对扭转角; (2)图示截面上 A,B,C 三点处切应力的数值及方向; (3)C 点处的切应变。

解:

=

返回 3-4(3-6) 图示一等直圆杆,已知 , , ,

。试求: (1)最大切应力; (2)截面 A 相对于截面 C 的扭转角。

解:(1)由已知得扭矩图(a)

(2) 返回 3-5(3-12) 长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者材 ,且

料相同,受力情况也一样。实心轴直径为 d;空心轴外径为 D,内径为 。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 ),扭矩 T 相等时的重量比和刚度比。

解:重量比=

因为







刚度比=

= 返回 3-6(3-15) 切变模量 图示等直圆杆,已知外力偶矩 , , ,

许用切应力 ,许可单位长度扭转角 。试确定该轴的直径 d。

解:扭矩图如图(a) (1)考虑强度,最大扭矩在 BC 段,且

(1) (2)考虑变形

(2) 比较式(1)、(2),取 返回

3-7(3-16)

阶梯形圆杆,AE 段为空心,外径 D=140mm,内径 , , , 。试校核该

d=100mm; BC 段为实心, 直径 d=100mm。 外力偶矩
。已知: 轴的强度和刚度。 ,

解:扭矩图如图(a) (1)强度

=

, BC 段强度基本满足

= 故强度满足。 (2)刚度

BC 段:

BC 段刚度基本满足。

AE 段: AE 段刚度满足,显然 EB 段刚度也满足。
返回 3-8(3-17) 习题 3-1 中所示的轴,材料为钢,其许用切应力 ,切

变模量 ,许可单位长度扭转角 件选择圆轴的直径。 解:由 3-1 题得:

。试按强度及刚度条

故选用 返回



3-9(3-18)

一直径为 d 的实心圆杆如图,在承受扭转力偶矩 方向上的线应变为 。试导出以 ,d 和

后,测得圆杆 表示的切变模

表面与纵向线成 量 G 的表达式。

解:圆杆表面贴应变片处的切应力为

圆杆扭转时处于纯剪切状态,图(a)。

切应变 对角线方向线应变:

(1)

(2)

式(2)代入(1):

返回 3-10(3-19) 有一壁厚为 25mm、内径为 250mm 的空心薄壁圆管,其长度为 1m, 作用在轴两端面内的外力偶矩为 180 。试确定管中的最大切应力,并求管 内的应变能。已知材料的切变模量 。

解:

3-11(3-21) 簧杆直径 用,弹簧的平均直径为 (1)簧杆内的最大切应力;

mm 的圆柱形密圈螺旋弹簧,受拉力 mm,材料的切变模量 。试求:



(2)为使其伸长量等于 6mm 所需的弹簧有效圈数。

解:





因为

故 返回 3-12(3-23) 切变模量



图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩 ,试求:

。已知材料的

(1)杆内最大切应力的大小、位置和方向; (2)横截面矩边中点处的切应力;

(3)杆的单位长度扭转角。

解:





由表得

MPa

返回

第四章 弯曲应力
4-1 4-1(4-1) 解:(a) 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 下页

试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。

(b)

(c)

(d)

=

(e)

(f)

(g)

(h)

= 返回 4-2(4-2) 解:(a) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。

(b)





(c) 时



(d)

(e)

时,

时,

(f)AB 段:

BC 段:

(g)AB 段内:

BC 段内:

(h)AB 段内:

BC 段内:

CD 段内:

返回 4-3(4-3) 弯矩图。 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和

返回 4-4(4-4) 弯矩图。 试作下列具有中间铰的梁的剪

力图和

返回 4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。 试作梁的弯矩图和荷载 图。已知梁上没有集中力偶作用。

返回 4-6(4-7) 图。 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载

返回 4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧形曲杆受力 如图所示。 已知曲杆轴线的半 径为 R,试写出任意横截面 C 上剪力、 弯矩和轴力的表达式 (表示成 角的函数) , 并作 曲杆的剪力图、 弯矩图和轴力 图。

解:(a)

(b)

返回 4-9(4-19) 图示吊车梁,吊车的每个轮子对梁的作用力都是 F,试问:

(1)吊车在什么位置时,梁内的弯矩最大?最大弯矩等于多少? (2)吊车在什么位置时,梁的支座反力最大?最大支反力和最大剪力各等于多 少? 解:梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。 ,得:



时,

当 M 极大时:





,故,



为梁内发生最大弯矩的截面

故:

=

返回 4-10(4-21) 长度为 250mm、截面尺寸为 的薄钢尺,由于两端

外力偶的作用而弯成中心角为 的圆弧。 已知弹性模量 。试求钢尺横截面上的最大正应力。

解: 由中性层的曲率公式 应力公式

及横截面上最大弯曲正

得:

由几何关系得: 于是钢尺横截面上的最大正应力为:

返回

第五章
5-1 5-1(5-13) 5-2 5-3

梁弯曲时的位移 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8

试按迭加原理并利用附录 IV 求解习题 5-4。

解:

(向下)

(向上)

(逆)

(逆) 返回 5-2(5-14) 试按迭加原理并利用附录 IV 求解习题 5-5。

解: 分析梁的结构形式, 而引起 BD 段变形的外力 则如图(a)所示,即弯矩 与弯矩 。

由附录(Ⅳ)知,跨长 l 的简支梁的梁一端 受一集中力偶 M 作用时,跨中点挠度为 。用到此处再利用迭加原理得截面 C 的 挠度

(向上) 返回 5-3(5-15) 试按迭加原理并利用附录 IV 求解习题 5-10。

解:

返回 5-4(5-16) 试按迭加原理并利用附录 IV 求解习题 5-7 中的 。

解:原梁可分解成图 5-16a 和图 5-16d 迭加,而图 5-16a 又可分解成图 5-16b 和 5-16c。
由附录Ⅳ得

返回 5-5(5-18) 试按迭加原理求图示梁中间铰 C 处的挠度 大致形状。已知 EI 为常量。 ,并描出梁挠曲线的

解:(a)由图 5-18a-1

(b)由图 5-18b-1

=

返回

5-6(5-19) 试按迭加原理求图示平面折 杆自由端截面 C 的铅垂位移和水平位移。已知杆各段的横截面面积均为 A,弯曲 刚度均为 EI。

解:

返回

5-7(5-25) 用有集度为

松木桁条的横截面为圆形,跨长为 4m,两端可视为简支,全跨上作 的均布荷载。已知松 ,弹性模量 。桁条的许可相对挠度为

木的许用应力

。试求桁条横截面所需的直径。(桁条可视为等直圆木梁计算,直径 以跨中为准。)

解:均布荷载简支梁,其危险截面位于跨中点,最大弯矩为 强度条件有

,根据

从满足强度条件,得梁的直径为

对圆木直径的均布荷载,简支梁的最大挠度



而相对挠度为

由梁的刚度条件有 为满足梁的刚度条件,梁的直径有

由上可见,为保证满足梁的强度条件和刚度条件,圆木直径需大于 返回



5-8(5-26) 的正方形, 。

图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于 0.20 m , ;钢拉杆的横截面面积 。试求拉杆的伸长 及梁中点沿铅垂方向的位移

解:从木梁的静力平衡,易知钢拉杆受轴向拉力

40 于是拉杆的伸长 为

=

木梁由于均布荷载产生的跨中挠度



梁中点的铅垂位移 的和,即

等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移

与中点挠度

返回

第六章
6-1 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6

简单超静定问题
6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6-12 6-13

试作图示等直杆的轴力图。

解:取消 A 端的多余约束,以 用下杆产生缩短变形。

代之,则

(伸长),在外力作

因为固定端不能移动,故变形协调条件为:



故 返回 6-2 别为 图示支架承受荷载 , 和 各杆由同一材料制成,其横截面面积分 。试求各杆的轴力。 。 此时各杆的变形

解: 设想在荷载 F 作用下由于各杆的变形, 节点 A 移至 及 程。

如图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方

即: 亦即:







代入,得:

即:

亦即: (1) 此即补充方程。与上述变形对应的内力 衡条件有: 如图所示。根据节点 A 的平

; 亦即: (2)

; 亦 即: (3)



联解(1)、(2)、(3)三式得:

(拉)

(拉)

(压) 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑,四根支柱的长度和截面都相同,如图所示。如 果荷载 F 作用在 A 点,试求这四根支柱各受力多少。 解:因为 2,4 两根支柱对称,所以 ,在 F 力作用下:

变形协调条件:

补充方程:

求解上述三个方程得:

返回 6-4 刚性杆 AB 的左端铰支,两根长度相等、横截面面积相同的钢杆 CD 和 EF 使该刚性杆处于水平位置,如图所示。如已知 ,两根钢杆的横截面面 积 解: ,试求两杆的轴力和应力。 , (1) 又由变形几何关系得知:



(2)

联解式(1),(2),得 故 ,



返回 6-5(6-7) 横截面为 250mm×250mm 的短木柱,用四根 40mm×40mm×5mm 的等边 ,弹 。

角钢加固,并承受压力 F,如图所示。已知角钢的许用应力 性模量 ;木材的许用应力 。 ,弹性模量

试求短木柱的许可荷载

解:(1)木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件: (1) 由木柱与角钢间的变形相容条件,有 (2) 由物理关系:

(3) 式(3)代入式(2),得

(4) 解得: 代入式(1),得: (2)许可载荷 由角钢强度条件

由木柱强度条件:

故许可载荷为: 返回 6-6(6-9) 图示阶梯状杆,其上端固定,下端与支座距离 。已知上、

下两段杆的横截面面积分别为 和 ,材料的弹性模量 。试作图示荷载作用下杆的轴力图。

解:变形协调条件







返回 6-7(6-10) 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知 AC 段和 BD 段的横截面面积为 A,CD 段的横截面面积为 2A;杆材料的弹性模量为 ,线膨胀系数 ℃-1。试求当温度升高 解:设轴力为 ,总伸长为零,故 ℃后,该杆各部分产生的应力。

=

=

返回 6-8(6-11) 若 图示为一两端固定的阶梯状圆轴, 在截面突变处承受外力偶矩 ,试求固定端的支反力偶矩 ,并作扭矩图。 。

解:解除 B 端多余约束

,则变形协调条件为



故:

即:

解得: 由于

故 返回 6-9(6-13) 一空心圆管 A 套在实心圆杆 B 的一端,如图所示。两杆在同一横截

面处各有一直径相同的贯穿孔,但两孔的中心线构成一个 角。现在杆 B 上施 加外力偶使杆 B 扭转,以使两孔对准,并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除 施加在杆 B 上的外力偶。试问管 A 和杆 B 横截面上的扭矩为多大?已知管 A 和 杆 B 的极惯性矩分别为 ;两杆的材料相同,其切变模量为 G。

解:解除Ⅱ端约束 端扭了一个

,则Ⅱ端相对于截面 C 转了 =0

角,(因为事先将杆 B 的 C

角),故变形协调条件为

故:

故: 故连接处截面 C,相对于固定端Ⅱ的扭转角 为:

=

而连接处截面 C,相对于固定端 I 的扭转角

为:

=

应变能

=

= 返回 6-10(6-15) 试求图示各超静定梁的支反力。

解(a):原梁 AB 是超静定的,当去掉多余的约束铰支座 B 时,得到可静定求解 的基本系统(图 i)去掉多余约束而代之以反力 点的挠度 ,则得 的位移条件,得补充方程: ,并根据原来约束条件,令 B

到原超静定梁的相当系统(图 ii)。利用

由此得: 由静力平衡,求得支反力 , 为:

剪力图、弯矩图分别如图(iii),(iv)所示。梁的挠曲线形状如图(v)所 示。这里遵循这样几个原则: (1)固定端截面挠度,转角均为零; (2)铰支座处截面挠度为零; (3)正弯矩时,挠曲线下凹,负弯矩时,挠曲线上凸; (4)弯矩为零的截面,是挠曲线的拐点位置。 (b)解:由相当系统(图 ii)中的位移条件 ,得补充方程式:

因此得支反力: 根据静力平衡,求得支反力 :

,

剪力图、弯矩图,挠曲线图分别如图(iii)、(iv)、(v)所示。

(c)解:由于结构、 荷载对称,因此得支反力 ;

应用相当系统的位移条件

,得补充方程式:

注意到

,于是得:

= 剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图(iii)、(iv)、 (v)所示。

其中:



截面的弯矩为零,则有:

整理: 解得: 返回 或 。

6-11(6-16) 荷载 F 作用在梁 AB 及 CD 的连接处,试求每根梁在连接处所受的 力。已知其跨长比和刚度比分别为

解:令梁在连接处受力为 图(b)所示。梁 AB 截面 B 的挠度为:

,则梁 AB、CD 受力如

梁 CD 截面 C 的挠度为:

由于在铅垂方向截面 B 与 C 连成一体,因此有 将有关式子代入得:



变换成:

即:

解得每个梁在连接处受力: 返回 6-12(6-18) 图示结构中梁 AB 和梁 CD 的尺寸及材料均相同,已知 EI 为常量。 试绘出梁 CD 的剪力图和弯矩图。

解:由 EF 为刚性杆得



图(b):由对称性,

剪力图如图(c)所示,

弯矩图如图(d)所示,

返回 6-13(6-21) 梁 AB 的两端均为固定端,当其左端转动了一个微小角度 。 时,试

确定梁的约束反力

解:当去掉梁的 A 端约束时,得一悬臂梁的基本系统(图 a)。对去掉的约束代 之以反力 和 ,并限定 A 截面的位移: 。这样得到原结构的

相当系统(图 b)。利用位移条件, 补充式方程如下:

,与附录(Ⅳ)得

(1)

(2)

由式(1)、(2)联解,得: 从静力平衡,进而求得反力 是:

返回

第七章
7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6

应力状态和强度理论
7-7 7-8 7-9 7-10 7-11 7-12 7-13 角 为许

7-1(7-3) 限于

一拉杆由两段杆沿 m-n 面胶合而成。由于实用的原因,图中的

范围内。作为“假定计算”,对胶合缝作强度计算时可以把其上的 用拉应力 的 3/4,且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。为 了使杆能承受最大的荷载 F,试问 角的值应取多大? 解:按正应力强度条件求得的荷载以 表示:

正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力

按切应力强度条件求得的荷载以 示,则



即:



时 , 时, 时, 时,

, , , ,

, ,







而变化的曲线图中得出,当 。

时,杆件承受的荷载最大,

若按胶合缝的

达到

的同时,

亦达到

的条件计算



即:



则 故此时杆件承受的荷载,并不是杆能承受的最大荷载 返回 7-2(7-7) 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 0.72m 的截面上, 在顶面以下 40mm 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 x 轴之间的 夹角。 。

解:

=

由应力圆得

返回 7-3(7-8) 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求:

(1)指定截面上的应力; (2)主应力的数值; (3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

解:(a)








(b)









(c)

,

,

,

(d)
, ,







返回 7-4(7-9) 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求:

(1)主应力的数值; (2)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 解:(a)







(b)







(c)







(d)







返回 7-5(7-10) 已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利用 应力圆求该点处的主应力值和主平面方位,并求出两截面间的夹角 值。 解:由已知按比例作图中 A,B 两点,作 AB 的垂直平分线交 为圆心,CA 或 CB 为半径作圆,得 (或由 得 半径 (1)主应力 ) 轴于点 C,以 C

(2)主方向角

(3)两截面间夹角:

返回 7-6(7-13) 在一块钢板上先画上直径 的圆,然后在板上加上应力, 如图所示。试问所画的圆将变成何种图形?并计算其尺寸。已知钢板的弹性常 数 E=206GPa, =0.28。

解:

所画的圆变成椭圆,其中

(长轴)

(短轴) 返回 7-7(7-15) 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及 最大切应力。 解:(a)由 xy 平面内应力值作 a,b 点,连接 ab 交 应力圆半径 轴得圆心 C(50,0)



(b)由 xz 平面内应力作 a,b 点,连接 ab 交 径

轴于 C 点,OC=30,故应力圆半

则:

(c)由图 7-15(c)yz 平面内应力值作 a,b 点,圆心为 O,半径为 50,作应力 圆得

返回 7-8(7-18) 边长为 20mm 的钢立方体置于钢模中,在顶面上受力 F=14kN 作用。 已知 =0.3,假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试 求立方体各个面上的正应力。

解:

(压)

(1)

(2) 联解式(1),(2)得

(压) 返回 7-9(7-20)

D=120mm,d=80mm 的空心圆轴,两端承受一对扭转力偶矩
方向的线应变为 , 。已知材料的弹性常数

,如

图所示。在轴的中部表面 A 点处,测得与其母线成

,试求扭转力偶矩



解:

方向如图

返回 7-10(7-22) 一直径为 25mm 的实心钢球承受静水压力,压强为 14MPa。设钢球 的 E=210GPa, =0.3。试问其体积减小多少?

解:体积应变

=

返回 7-11(7-23) 已知图示单元体材料的弹性常数 体的形状改变能密度。 。 试求该单元

解:主应力:

形状改变能密度:

= = 返回 7-12(7-25) 一简支钢板梁承受荷载如图 a 所示,其截面尺寸见图 b。已知钢材

的许用应力为 。试校核梁内的最大正应力和最大切 应力,并按第四强度理论校核危险截面上的点 a 的强度。 注:通常在计算点 a 处的应力时近似地按点 解: = 的位置计算。

(1)梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

超过

的 5.3%尚可。

(2)梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

(3)在集中力作用处偏外横截面上校核点 a 的强度

超过 返回

的 3.53%,在工程上是允许的。

7-13(7-27) 受内压力作用的容器,其圆筒部分任意一点 A(图 a)处的应力状 态如图 b 所示。当容器承受最大的内压力时,用应变计测得 。已知钢材的弹性模量 E=210GPa,泊松比 许用应力 。试按第三强度理论校核 A 点的强度。 =0.3,

解:

, 根据第三强度理论:



超过 返回

的 7.64%,不能满足强度要求。

第八章 组合变形及连接部分的计算
8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 8-9 8-10 下页 ,

8-1 14 号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知 ,试求危险截面上的最大正应力。 解:危险截面在固定端

m,

= = 返回 8-2 受集度为 的均布荷载作用的矩形截面简支梁,其荷载作用面与梁的纵向 ,如图所示。已知该梁材料的弹性模量 mm, mm;许用应力 ; ;许可挠度 m,

对称面间的夹角为 梁的尺寸为

。试校核梁的强度和刚度。

解:

=

,强度安全



=

= 返回

刚度安全。

8-3(8-5) 图示一悬臂滑车架,杆 AB 为 18 号工字钢,其长度为 m。试求 当荷载 作用在 AB 的中点 D 处时,杆内的最大正应力。设工字钢的自 重可略去不计。

解:18 号工字钢



,AB 杆系弯压组合变形。





=

=

= 返回 8-4(8-6) 重 砖砌烟囱高 kN,受

=

m,底截面 m-m 的外径 的风力作用。试求:

m,内径

m,自

(1)烟囱底截面上的最大压应力; (2)若烟囱的基础埋深 许用压应力 m,基础及填土自重按 ,圆形基础的直径 D 应为多大? 计算,土壤的

注:计算风力时,可略去烟囱直径的变化,把它看作是等截面的。

解:烟囱底截面上的最大压应力:

= 土壤上的最大压应力

= :

即 即 解得: 返回 8-5(8-8) 试求图示杆内的最大正应力。力 F 与杆的轴线平行。 m

解:

,z 为形心主轴。

固定端为危险截面,其中: 轴力 ,弯矩 ,

=

A 点拉应力最大

=

=

B 点压应力最大

=

=

因此 返回 8-6(8-9) 有一座高为 1.2m、厚为 0.3m 的混凝土墙,浇筑于牢固的基础上,用 作挡水用的小坝。试求: (1)当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力(设混凝土的密 度为 );

(2)如果要求混凝土中没有拉应力,试问最大许可水深 h 为多大?

解:以单位宽度的水坝计算: 水压: 混凝土对墙底的压力为:

墙坝的弯曲截面系数: 墙坝的截面面积: 墙底处的最大拉应力 为:

= =

当要求混凝土中没有拉应力时:





m 返回 8-7(8-10) 受拉构件形状如图,已知截面尺寸为 40mm×5mm,承受轴向拉力 时,

。 现拉杆开有切口, 如不计应力集中影响, 当材料的 试确定切口的最大许可深度,并绘出切口截面的应力变化图。

解:

即 整理得: 解得: 返回 8-8(8-11) 许用拉应力 一圆截面直杆受偏心拉力作用, 偏心距 为 120MPa。试求杆的许可偏心拉力值。 mm, 杆的直径为 70mm, mm

解:圆截面面积

圆截面的弯曲截面系数

即: , 返回 8-9(8-15) 曲拐受力如图示,其圆杆部分的直径 应力状态的单元体,并求其主应力及最大切应力。 mm。试画出表示 A 点处

解:A 点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用,其值

它们在点 A 分别产生拉应力和切应力,其应力状态如图 8-15a,其中

注:剪力在点 A 的切应力为零。 返回 8-10(8-16) 大风载 铁道路标圆信号板,装在外径 , mm 的空心圆柱上,所受的最

。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。

解:忽略风载对空心柱的分布压力,只计风载对信号板的压力,则信号板受风力

空心柱固定端处为危险截面,其弯矩:

扭矩:

=

mm 返回

第九章 压杆稳定
9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-8 9-9 9-10 9-11

9-1(9-2) 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根 最小(图 f 所示杆在中间支承处不能转动)?

解:对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与 与约束情况有关的长度系数。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) =1×5=5m =0.7×7=4.9m =0.5×9=4.5m =2×2=4m =1×8=8m =0.7×5=3.5m 最小,图 f 所示杆 最大。

成反比,此处,



故图 e 所示杆

返回 9-2(9-5) 长 5m 的 10 号工字钢, 在温度为 时安装在两个固定支 座之间,这时杆不受力。已知钢的 线膨胀系数 将丧失稳定? 解: 。试问当温度升高至多少度时,杆

返回 9-3(9-6) 两根直径为 d 的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接, 如图所示。试根据杆端的约束条件,分析在总压力 F 作用下,立柱可能产生的 几种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应的总压力 F 之临界值的算式(按 细长杆考虑),确定最小临界力 的算式。

解:在总压力 F 作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况: (a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:

(b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲,则 1,2 两杆组成一组合截面。

(c)两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳

故面外失稳时

最小

= 返回 9-4(9-7)



图示结构 ABCD 由三根直径均为 d 的圆截面钢杆组成,在点 B 铰支,

而在点 A 和点 C 固定,D 为铰接点, 。若结构由于杆件在平面 ABCD 内 弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用于结点 D 处的荷载 F 的临界值。

解:杆 DB 为两端铰支 ,杆 DA 及 DC 为一端铰支一端固定,选取 。 此结构为超静定结构,当杆 DB 失稳时结构仍能继续承载,直到杆 AD 及 DC 也失 稳时整个结构才丧失承载能力,故

返回 9-5(9-9) 下端固定、 上端铰支、 长 m 的压杆, 由两根 10 号槽钢焊接而成, 如图所示,并符合钢结构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。已知 杆的材料为 Q235 钢,强度许用应力 解: ,试求压杆的许可荷载。

m

返回 9-6(9-10) 如果杆分别由下列材料制成: ,弹性模量 , , ,含镍 3.5%的镍钢; 的松木。 的钢;

(1)比例极限 (2) (3)

试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。

解:(1)

(2)

(3) 返回 9-7(9-11) 形,长度 两端铰支、强度等级为 TC13 的木柱,截面为 150mm×150mm 的正方 m,强度许用应力 。试求木柱的许可荷载。

解:

由公式(9-12a),

返回 9-8(9-13) 一支柱由 4 根 80mm×80mm×6mm 的角钢组成(如图),并符合钢结 构设计规范中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。 支柱的两端为铰支, 柱长 l=6m, 压力为 450 。若材料为 Q235 钢,强度许用应力 截面边长 a 的尺寸。 ,试求支柱横

解: (查表: , )

,查表得:

m4

= 返回

mm

9-9(9-14) 某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体,并符合钢结构设计规范 中实腹式 b 类截面中心受压杆的要求,截面形式如图所示,材料为 Q235 钢, 。若按两端铰支考虑,试求杆所能承受的许可压力。

解:由型钢表查得

角钢:

得 查表: 故

返回 9-10(9-16) 架上受集度为 应力 图示一简单托架,其撑杆 AB 为圆截面木杆,强度等级为 TC15。若 的均布荷载作用,AB 两端为柱形铰,材料的强度许用 ,试求撑杆所需的直径 d。

解:取 I-I 以上部分为分离体,由

,有





m



求出的 返回

与所设

基本相符,故撑杆直径选用

m。

9-11(9-17) 知

图示结构中杆 AC 与 CD 均由 Q235 钢制成,C,D 两处均为球铰。已 mm, mm; , , 。试确定该结构

mm,

;强度安全因数 的许可荷载。

,稳定安全因数

解:(1)杆 CD 受压力

梁 BC 中最大弯矩 (2)梁 BC 中

(3)杆 CD

= (由梁力矩平衡得)

返回

(第Ⅱ册)第三章 能量法

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

下页 。

10-1(3-1) 试求图示杆的应变能。各杆均由同一种材料制成,弹性模量为 各杆的长度相同。

解:(a)

(b) (c)取 长的微段(如图),在均布轴力 的作用下,它具有的应变能:

式中:

,

杆具有的应变能: 题(d)与题(c)同理,得杆的应变能

返回 10-2(3-2 )试求图示受扭圆轴内的应变能 。

解:应变能

式中:

因此 返回 10-3、10-4(3-3) 试计算图示梁或结构内的应变能。略去剪切的影响, 知。对于只受拉伸(或压缩)的杆件,考虑拉伸(压缩)时的应变能。 解:(a)梁的弯矩方程式: 为已

利用对称性,得梁的弯曲应变能

(b)梁的弯矩方程式

梁的应

变能

(c)刚架的弯矩方程



刚架的应变能

(d)结构中梁的弯矩方程



拉杆的轴力 结构的应变能等于梁的弯曲应变能与拉杆的拉伸应变能的和,即

返回 10-5、10-6、10-7、10-8(3-7) 试用卡氏第二定理求图示各刚架截面 位移和截面 的转角。略去剪力 和轴力 的影响, 为已知。 的

解:(a)

(1)求截面 截面

的水平位移 ,刚架的应变能

处添加一水平集中荷载

(向右) (2) 求截面 截面 的转角 ,刚架的应变能

处添加一集中力偶矩

(逆) (3)求截面 B 的转角

B 处添加力偶矩

,刚架的应变能

(顺) 解:(b)

(1) 截面

求截面

的铅垂位移 ,刚架的应变能

处添加一铅垂集中力

(向上) (2) 截面 求 截面水平位移 ,刚架的应变能

处添加一水平面的集中力

(向右) (3)求截面 在截面 的转角 ,刚架的应变能

处,添加一集中力偶

(逆) (4)求截面 的转角 ,刚架的应变能

截面 B 添加一集中力偶

=

(逆)

解:(c)

(1)

截面 A 处的铅垂位移 ,刚架的应变能

令作用于 A 处的集中力

=

(向下)

(2)求截面 A 处的水平位移 令作用于 B 处的集中力 ,则刚架的应变能

=

=

(向右)

(3)求截面 A 的转角 于截面 A 处添加一力偶矩 ,则刚架的应变能

=

=

(顺)

(4)求截面 B 的转角 在截面 B 处添加一力偶矩 ,则刚架的应变能

= 解:(d)

=

(顺)

(1)

求截面 A 处的水平位移

刚架的应变能

= 右) (2)求截面 A 的转角 截面 A 处加一力偶矩 ,刚架的应变能

(向

于是

=

=

(逆)

(3)求截面 B 的转角 因为刚架的 AB 段未承受横向力,所以 AB 段未发生弯曲变形,转角 。 返回 10-9(3-11) 试用卡氏第二定理求图示梁在荷载作用下截面 的铅垂位移。 为已知。 的转角及截面 等于转角

解:(1)求截面 A 的转角 在截面 A 处加一力偶矩 (图 a),梁的弯矩方程

梁的应变能

(逆) (2)求截面 B 的铅垂位移 截面 B 处加一竖直向下荷载 F。梁的弯矩方程

梁的应变能

=

=

= 返回

(向下)

10-10(3-12) 试用卡氏第二定理求解图示超静定结构。已知各杆的 同。





解:(a)一次静不定,静定基如图 3-12a-1 由对称性知 由节点 C 平衡 (1)

(2) 由节点 B 平衡 (3)

(4)

(拉)

(5)

代入式(3),

(压)

(拉) 解:(b)一次静不定,静定基如图 3-12b-1

(1)

(2)

=



(3)

代入式(2),得:

解:(c)解除 B 端约束,代之反力 ,并令 B 端沿铅垂方向的位移 于是得到原超静定的刚架(图 c1)的相当系统(图 c2)。



图(c2)所示刚架的应变能为

B 截面处的铅垂位移
为:

=

=

=0

解得 内力图如图(c3)、(c4)、(c5)所示。

解:(d)静定基 3-12d1

=

解:(e)由结构对称,荷载反对称,得静定基如图 3-12e1

C 处上下相对位移:

(与图示反向) 由左图平衡 (向左)

(向下)



(逆)

由反对称,得右图 B 处反力:

(向左), (逆) 解:(f)由对称性得静定基如图 3-12f1,

(向上),

中间铰处弯矩为零。

故 返回

(第Ⅱ册)第二章 考虑材料塑性的极限分析
11-1 11-2 11-3 11-4 11-5

11-1(2-1) 一组合圆筒,承受荷载 面面积为 积为 ,弹性模量为

,如图 a 所示。内筒材料为低碳钢,横截 ;外筒材料为铝合金,横截面面 。假设两种材料均可理想化弹性-理 和极限

,屈服极限为

,弹性模量为

,屈服极限为

想塑性模型,其应力-应变关系如图 b 所示。 试求组合筒的屈服荷载 荷载 。

解:(1)求屈服荷载 低碳钢刚出现屈服时, 此时铝仍处于线弹性阶段,且其应变与低碳钢相同,即 故 屈服荷载 (2)求极限荷载 此时铝刚达屈服

返回 11-2(2-2) 一水平刚性杆 , 端为固定铰链支承,在 处分别与两根长 度 、横截面面积 和材料均相同的等直杆铰接,如图所示。两杆的材料可理 想化为弹性-理想塑性模型,其弹性模量为 处承受集中荷截 ,试求结构的屈服荷载 、屈服极限为 。和极限荷载 。在刚性杆的 。

解:(1)由图 2-2a, (1) 在线弹性阶段

(2)

代入式(1),得



(2)显然杆 C 先达到屈服,此时

(3)杆 C 屈服后,杆 C 受力保持 此时杆 B 应力达 :

,杆 C 失去约束作用,使杆 B 也达屈服,

即 故 返回 11-3(2-4) 等直圆轴的截面形状如图所示,实心圆轴的直径 圆轴的内、外径分别为 其剪切屈服极限 ,空心

。材料可视为弹性-理想塑性, 。试求两轴的极限扭矩。

解:

返回 11-4(2-7) 图示 T 形截面梁的材料可视为弹性-理想塑性,其屈服极限 ,试求该梁的极限弯矩。 解:1.求极限塑性中性轴位置

2.

返回 11-5(2-8) 矩形截面简支梁受载如图所示。已知梁的截面尺寸为 ;梁的材料可视为弹性-理想塑性,屈服极限 。试求梁的极限荷载。 解:由图 2-8a,

返回

(第Ⅱ册)第六章 动荷载·交变应力
12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-9 12-10 12-11

12-1(6-2) 一起重机重 用钢索起吊

,装在两根跨度

的 20a 号工字钢梁上,

的重物。该重物在前 3s 内按等加速上升 10m。已知 ,试校核梁的强度(不计梁和钢索的自重)。

解:

返回 12-2(6-4) 一杆以角速度 截面面积为 , 重量为 试求杆的伸长。 解:(1)求轴力 绕铅垂轴在水平面内转动。已知杆长为 ,杆的横 。 另有一重量为 的重物连接在杆的端点, 如图所示。

杆 AB 受力如图 6-4a,其中轴向惯性分布力:

为求轴力,用截面法,在 x 截面截开,取右半部分,如图 6-4b,图中未示出重 力,则

= (2)求杆伸长

= 返回 12-3(6-5) 图示钢轴和钢质圆杆 重物。已知钢的密度 杆 AB 内的最大正应力。 的直径均为 10m,在 。若轴 的转速 处有一 的 ,试求

解:

=

=

返回 12-4(6-8) 在直径 的轴上, 装有转动惯量 的飞轮, 轴以 300 r/min 的匀角速度旋转,如图所示。现用制动器使飞轮在 4 秒内停止 转动,试求轴内的最大切应力(不计轴的质量和轴承内的摩擦力)。 解:设轴为等减速转动,其角减速度为

返回 12-5(6-9) 重量为 的重物自高度 处自由下落,冲击到 20b 。试求梁

号工字钢梁上的 点处,如图所示。已知钢的弹性模量 内最大冲击正应力(不计梁的自重)。

解:

返回 12-6(6-10) 重量为 的重物,自高度 处自由下落,冲击到外 。

伸梁的 点处,如图所示。已知梁为 20b 号工字钢,其弹性模量 试求梁内最大冲击正应力(不计梁的自重)。

解:

返回 12-7(6-11) 重量为 的重物,自高度 梁中点 E 处,如图所示。该梁一端吊在弹簧 冲击前梁 处自由下落,冲击到钢 上,另一端支承在弹簧 上, ,钢

处于水平位置。已知两弹簧的刚度系数均为

的弹性模量 ,梁的截面为宽 40mm、高 8mm 的矩形,其自重不计。 试求梁内最大冲击正应力。

解:弹簧变形 梁的最大挠度

返回 12-8(6-12) 图示为等截面刚架,重物(重量为 P)自高度 h 处自由下落冲击到 刚架的 A 点处。已知 。试求截面 的最大竖 直位移和刚架内的最大冲击正应力(刚架的质量可略去不计,且不计轴力、剪 力对刚架变形的影响)。

解:

=

返回 12-9(6-14) 重量 的冰块, 以 的速度沿水平方向冲击在木桩的 ,弹性模量 。

上端,如图所示。木桩长 ,直径 试求木桩的最大冲击正应力(不计木桩自重)。

解:

返回 12-10(6-16) 试计算图示各交变应力的应力比和应力幅。

解:(a)应力比

,应力幅

(b)应力比

,应力幅

(c)应力比

,应力幅

(d)应力比 返回 12-11(6-17)

,应力幅

图 a 所示为直径

的钢圆轴, 受横向力

和轴 点

向拉力 的联合作用。当轴以匀角速 转动时,试绘出跨中截面上 处的正应力随时间变化的曲线,并计算其应力比和应力幅。

解:跨中截面上 k 点正应力

其应力比 应力幅 返回

(第Ⅱ册)第五章
13-1 13-2

应变分析·电阻应变计法基础
13-3 13-4 13-5 13-6

13-1(5-1) 用 45°应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为 , 的主应变数值和方向。 , 。试作应变圆,求该点处

解:应变圆的作图法:

(1)定 (2) 从 与 轴交于

坐标系如图所示。 轴上量取 ;量取 作垂直线 作垂直线 , 与 ,与 轴交于 ; 量取 作垂直线

轴交于 D。

(3)平分 AD 得圆心 C。

(4)在 (5)连 主应变数值。 (6)连

垂线上向上量取

=CB。 轴于 两点,则 为

即为应变圆半径,作应变圆交

证:在直角三角形

及三角形 ,故

中,

应力圆半径。

返回 13-2(5-2) 用 45°应变花测得构件表面上某点处 , 和方向。 ,

。试求该点处三个主应变的数值

解:



返回 13-3(5-4) 由电阻应变计法测得钢梁表面上某点处 , 已知: 。 试求 及 值。

解:

返回 13-4(5-5) 有一处于平面应力状态下的单元体,其上的两个主应力如图所示。 设 变 。 。 试求单元体的三个主应变, 并用应变圆求出其最大切应

解:

=

=

= 由应变圆可知:

=

返回 13-5(5-7) 在一钢结构表面的某点处,用 , , 应变花测得三个方向的线应变为 ,结构材料的弹性常数

。试用应变圆求主应变,并求该点处主应力的数值及方向。 解:(1)作应变轴如图 5-7-1 (2)在 轴上按比例截 值,A,B,D 三点应变值对应 ,则 。

取 AD 中点 C 为圆心,坐标

(3)过 A 作

轴的垂线

,使 为半径,作圆

(4)以 C 为圆心,

(5)由图中量得, 由理论计算知:

=

=

返回 13-6(5-9) 在一液压机上横梁的表面上某点处,用 45°应变花测得 , , 。试用应变圆求该点处两 试求该点处

主应变的数值和方向。上横梁的材料为铸铁, 的主应力值。

解:作应变圆得

=

= 返回

第 II 册 第一章 弯曲问题的进一步研究
14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6 , 受集度为 点和 点

14-1 (1-1) 截面为 16a 号槽钢的简支梁, 跨长 的均布荷载作用,梁放在 处的弯曲正应力。

的斜面上。试确定梁危险截面上

解:16a 号槽钢的几何性质为 , ,

槽钢截面对于 于点 ,故求

不对称,规格表中所给 时不能引用。

对点

而言,不适用

返回 14-2(1-2) 矩形截面木檩条的跨度 杉木,弯曲许用正应力 条的强度和刚度。 ,荷载及截面尺寸如图所示,木材为 ,许可挠度为 l/200。试验算檩

解:

(1)檩条的强度验算:

满足强度条件。 (2)檩条的刚度验算

沿

方向的挠度:

沿

方向的挠度:

容许挠度为 尚可认为满足刚度要求。 返回 14-3(1-3) 图示跨长为 钢制成,在梁跨中点受集中力 处的正应力。 的简支梁,由 200 mm×200 mm×20 mm 的等边角 作用。试求最大弯矩截面上 点

解:200×200×20 角钢的截面几何性质为: (对于点 的),

返回 14-4(1-4) 由木材制成的矩形截面悬臂梁,在水平对称面内受到 用,在铅垂对称面内受到 位置,并求梁的最大挠度。 作用,如图所示。已知: 。 试求梁横截面上的最大正应力及其作用点的 作

如果截面为圆形, 解:矩形戴面时 发生在固定端截面上,

,试求梁的横截面上的最大正应力。

分别作用下的正应力图如图所示

在 共同作用下,最大拉应力在固定端戴面上点 1 处,而最大压应力在该截 面上点 3 处,两者的值相等。

最大挠度



圆形截面时: 由于此时梁在 分别作用下,在固定端截面上产生的最大正应力不在同一点 处, 故不可能如矩形截面梁中那样判定最大正应力作用点位置及最大正应力。注 意到,圆截面对于任何形心轴的抗弯截面模量均为 面上由于 弯矩。 引起的弯矩 和由于 引起的弯矩 ,故可将固定端截 取矢量和求得最大

返回 14-5(1-5) Z 形截面简支梁在跨中受一集中力作用,如图所示。已知该截面对 通过截面形心的一对相互垂直的轴 的惯性矩和惯性积分别为 和 力。 。试求梁的最大正应

解:

由公式(1-1)得:

返回 14-6(1-7) 一用钢板加固的木梁承受集中荷载 的弹性模量分别为 的最大弯曲正应力。 及 ,如图所示。钢和木材 , 试求危险截面上钢和木材部分

解:由两种材料构成的组合梁,在受力弯曲时,我们假定梁的变形仍然满足平面 假设。因此纵向线应变沿截面高度的变化仍服从公式: 为了便于叙述,设木材为材料 1,钢板为材料 2。 而正应力沿横截面的变化,根据胡克定律有:

(1)

(2) 设 z 轴是整个横截面的中性轴,根据轴向合力为零,有式:

即 (3) 显然 是横截面的部份对 z 轴(中性轴)的静矩。用 同理 于是式(3)为: (4) 即 mm 根据横截面上的内力元素 对中性轴之矩的和,应等于该截面的弯矩,有: 表示:

其中

分别为木材和钢截面对中性轴的惯性矩,由上式得:

(5) 将式(5)分别代入式(1)、(2)得: (6) 部份截面对中性轴 z 的惯性矩是:

最大弯矩在集力中 F 作用处:

木材中的最大正应力绝对值:

= = (压)

= 返回

(拉)

附录 I 截面的几何性质
15-1 15-1(I-8) 矩。 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 轴的惯性

试求图示三角形截面对通过顶点 A 并平行于底边 BC 的

解:已知三角形截面对以 BC 边为轴的惯性矩是 截面对形心轴 的惯性矩

,利用平行轴定理,可求得

所以

再次应用平行轴定理,得

返回 15-2(I-9) 试求图示 形的底边平行,相距 1 m。 的半圆形截面对于轴 的惯性矩, 其中轴 与半圆

解:知半圆形截面对其底边的惯性矩是 心轴 的惯性矩

,用平行轴定理得截面对形

再用平行轴定理,得截面对轴

的惯性矩

返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴 的惯性矩。

解:由于三圆直径相等,并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三 角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心,因此下面两个圆的圆心,到形 心轴 的距离是

上面一个圆的圆心到

轴的距离是

。 轴的惯性矩如下:

利用平行轴定理,得组合截面对

返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解:(a)22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是 利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩



(b)等边角钢 的截面积是 距离是 28.4 mm,求得组合截面对轴 的惯性矩如下:

,其形心距外边缘的

返回

15-5(I-12) 试求习题 I-3a 图所示截面对其水平形 心轴 的惯性矩。关于形心位置,可利用该题的结 果。 解:形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩 计算如下:

返回 15-6(I-14) 在直径 的圆截面中, 开了一个 和 的矩形孔, 如图所示, 。

试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 解:先求形心主轴 的位置



返回 15-7(I-16) 的惯性矩 图示由两个 20a 号槽钢组成的组合截面,若欲使截面对两对称轴 和 相等,则两槽钢的间距 应为多少?

解:20a 号槽钢截面对其自身的形心轴 , 槽钢背到其形心轴 根据惯性矩定义 的距离是



的惯性矩是 ;

; 横截面积为 。 , 轴的惯性矩分别是

和平行轴定理,组合截面对

; 若

即 等式两边同除以 2,然后代入数据,得

于是 所以,两槽钢相距

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