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2009年全国高中数学联赛山东赛区预赛.doc


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2009 年全国高中数学联赛山东赛区预赛





一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分)

禳 镲 1.若集合 M = 镲 | log 1

(x - 1)> - 1 , N = {x |1 < 2 x < 4},则 M ? N x 睚 镲 2 镲 铪
(A) x |1< x < 3



).

{

} }
2

(B) x |1< x < 2

{

} }
(D) (- 1,1)

(C) x |0< x < 3

{

(D) x |0< x < 2 ).

{

2.函数 f (x )= log 1 (- x 2 - 2 x + 3)的递增区间是(

(A) (- 3, - 1)

(B) [ 1,1) -

(C) (- 3, - 1]

3.若对任意的 x ? R,函数 f (x) 满足 f (x + 2009)= - f (x + 2008),且 f (2009)= - 2009,

则 f (- 1)= ( (A)1

). (B)-1 (C)2009 (D)-2009

4.在△ ABC 中,

(

3 sin B - cos B

)(

3 sin C - cos C = 4 cos B cos C ,且 AB + AC = 4 ,则

)

BC 的取值范围为( (A) 2,4) (

). (B) 2,4] ( (C)[2,4) (D)[2,4]

5.对任意的 x ? R,[x]表示不大于 x 的最大整数,则满足 [| x 2 - 1|] = 10 的 x 的集合是



). (A) (- 2 3, - 11) (C) (- 2 3, - 11]   11, 2 3) [
6.已知两个一元二次方程:ax 2 + bx + c = 0;

(B) [ 11, 2 3] (D) [- 2 3, - 11)  ( 11, 2 3]
ux 2 + vx + w = 0, 都有实根,这里 a ? u. 若

交换这两个方程的二次项系数,则 wc > 0 是系数交换之后所得两个二次方程中至少有一个有 实根的( ).

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(A)充分但不必要条件 (C)充分且必要条件

(B)必要但不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

7.已知 | a |,| b | 都是整数,且满足 (| a | + | b |)(| a | + 3 | b |)= 105 , (a + b)(a + 3b)= 33 ,则 a 和 b 的夹角为( ). (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 8.在复平面上,复数 z1 对应的点互连结 1 和 i 两点的线段上运动,复数 z2 对应的点在以 原点为圆心,半径等于 1 的圆上运动,则复数 z1+ z2 对应的点所在区域的面积为( ). (A) 4 + p (B) 2 2 + p (C) p ( D)
3p +1 2

). 9.以四面体的顶点和各棱中点为顶点的空间四边形有( (A)141 个 (B)144 个 (C)423 个 (D)432 个 10.在正三棱锥 P - ABC 中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,正三棱锥的三 个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于 1,则正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于 ( ). (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 2 3 二、填空题: (每小题 6 分,共 24 分)
11.若直线 3x sin 2 α + y cos 2 α ? 3 = 0 与双曲线 x 2 ? y 2 = 1 仅有一个公共点,则该公共点的

坐标为

. .
. .

12.对任意的 x > 0 ,总有 f ( x) = a ? x ? lg x ≤0,则 a 的取值范围是 13.已知数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = 1 + an + 1 + 4an ( n ∈ N* ), 则数列的通项 an =
14.随机地投掷 4 颗骰子,则其中有两颗骰子所示数字之和为 9 的概率为

三、解答题(本大题共 5 小题,共 66 分) 15. 如图,平面 m ∥平面 n ,线段 AD 分别交 m 和 n 于点 B 和 点 C,过点 A 的另一直线分别交 m 和 n 于点 M 和点 P,过点 D 的 另一直线分别交 m 和 n 于点 N 和点 Q.已知
S?BMN 3 AD = ,求 的最小值. S?CPQ 2 CD

16.(12 分)对任一正整数 k,1≤k≤9,是否存在相应的二次函数 f k ( x ) , 使得对任意的正整

数 p, fk ( kk…k ) = kk…k (例如, k = 3, p = 2, kk = 33, f 3 (33) = 3333 ).若存在,请给出证明及相应二 有
p个 2 p个

次函数 fk ( x) 的表达式;若不存在,请给出理由.

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x2 y 2 x2 y 2 + 2 = 1( a > b > 0) 和双曲线 S: 2 ? 2 = 1(m > 0, n > 0) 具有相 a2 b m n 同的焦点 F(2,0).设双曲线 S 经过第一象限的渐近线为 l, 若焦点 F 和椭圆 T 的上方的顶点 B 关 于直线 l 的对称点都在双曲线 S 上,求椭圆 T 和双曲线 S 的方程.

17. (12 分)已知椭圆 T:

18. (15 分)在一圆周上有 k 个数,k≥3.若其中任意三个相邻之数,依顺时针方向分别设

为 a, b, c ,恒有 b = α a + β c ,这里 α ≥ 0,β ≥ 0, + β = 1 .证明这 k 个数必互相相等. α
19. (15 分)证明:定义在 R 上的奇函数 f ( x) 能表示为一个周期函数与一个线性函数之和

的 充 分 必 要 条 件 是 f ( x) 的 图 象 有 异 于 点 (0,0) 的 对 称 中 心 (a, b) . 注 : 线 性 函 数 是 指 形 如
y = kx + h, k 和 h 可为任意实数的函数.


1. x 污M


x < 3; x 污N 1 < 2x < 4

ì x - 1 > 0, ? ? ? - 1 ? 1 log 1 (x - 1)> - 1   ? í 骣 ? x - 1 < ?1 ÷ = 2 ? ÷ ? 2 ÷ ?2 ? 桫 ? ?

? 0

x < 2. 所以 M ? N

{x |1 < x < 2}. 故选 B.

2.解法 1:由 - x 2 - 2 x + 3 > 0 ,得 - 3 < x < 1. 抛物线 y = - x 2 - 2 x + 3 的顶点坐标为

( -1 , 4 ) . 所 以 函 数 y = - x 2 - 2 x + 3 在 [ 1,1) 上 递 减 , 又 f (x )= log 1 (- x 2 - 2 x + 3)的递增区间为 [ 1,1) . 2

1 <1 ,从而知函数 2

- 2( x + 1) 解法 2:由 - x 2 - 2 x + 3 > 0 ,得 - 3 < x < 1. f ?(x)= log 1 e   ≥ 0 得 x + 1≥ 0 , (x - 1)(x + 3) 2

即 x ≥ - 1 .所以函数 f (x )= log 1 (- x 2 - 2 x + 3)的递增区间为 [ 1,1) .故选 B. 2

3.

f (x + 2009)= - f (x + 2008)= - f (( x - 1) + 2009) = f (x - 1 + 2008)= f (x + 2007) ,

所以 f (x) 是以 2 为周期的周期函数,从而有

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f (- 1)= f (2009 - 2? 1005)

f (2009)= - 2009.

故选 D. 4.解法 1:由已知
3sin B sin C 3 sin B cos C 3 cos B sin C + cos B cos C = 4cos B cos C ,

3 (sin B cos C + cos B sin C )= - 3(cos B cos C - sin A sin C ), 3 sin (B + C )= - 3cos (B + C ), tan (B + C )= 3.

因为 0 < B + C < p ,所以 B + C = 由 AB + AC = 4 ,得 AB = 4 - AC .

2p p , A = p - (B + C )= . 3 3

BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB   cos A AC = (4 - AC ) + AC 2 - (4 - AC )  AC = 3 AC 2 - 12 AC + 16 = 3(AC - 2) + 4
≥4. 当且仅当 AC = 2 时,上式取等号,所以 BC ≥ 2 .又 BC < AB + AC = 4. 所以 BC 的取值范 围为[2,4). 故选 C. 解法 2:由已知
2 2

(

3 tan B - 1

)(

3 tan C - 1 = 4, 3 tan B 3 tan C + 1 = 4

)

3tan B tan C -

3 (tan B + tan C )= 3(tan B tan C - 1) tan (B + C )= tan B + tan C =1 - tan B tan C 3.

以下同解法 1.
5.由对[x]的规定知 [ x] ≤ x < [ x] + 1. 所以有 10 ≤ x 2 - 1 < 11.

当 x 2 ≤ 1 时,有 10 ≤1 - x2 < 11, 无解.

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当 x 2 > 1 时,有 10 ≤ x2 - 1 < 11, 即 11 ≤ x 2 < 12, 即 11 ≤| x |< 2 3 ,解得 11 ≤ x < 2 3 或
- 2 3 < x ≤ - 11.

故选 C.
6.原来两个二次方程的判别式分别为 D1 = b 2 - 4ac;

D 2 = v 2 - 4uw.
D 2?= v 2 - 4aw.

二次项系数交换后两个方程的判别式分别为 D1? = b 2 - 4uc;
1

(D - D ⅱ D - D )= 16wc(u - a)(a - u). )( 若 wc > 0 , (D - D ⅱ D - D )< 0, 所以, 则 或有 D ?> D ≥ 0, 或有 D ?> D ≥ 0, 即二次 )(
1 2 2
1

1

2

2

1

1

2

2

项系数交换后两个方程中至少有一个方程有实根,所以条件“ wc > 0 ”是充分的. 条件不必要,事实上,若 wc = 0 ,二次项系数交换后两个方程中至少有一个有 x = 0 的实 根. 故选 A.
7.解法 1:令 | a | + | b |= m ,则 | m (m + 2 | b |)= 105 ,由 | b |< m ≤ 10 ,得 | b |=

105 m < m, 2m 2

解得 m > 6. 又 105 = 3创5 7, 所以 m = 7, 从而有 | b |=

105 - 49 = 4, | a |= 7 - 4 = 3. 14

(a + b)(a + 3b) =| a |2 +3 | b |2 +4a 创b =| a |2 +3 | b |2 +4 | a | | b | cosa = 33 .
这里 a 为 a 与 b 的夹角,从而有 cos α = 又 0? ≤ α
180 所以 α = 120  , .

1 1 (33- | a |2 - 3 | b |2 )= - 2 . 4 | a || b |

解法 2:令 | a | + | b |= m , | a | + 3 | b |= n, 则 m < n < 3m. 而
105 = 1? 105 3? 35 5? 21 7  15,

ì | a | + | b |= 7, ì | a |= 3, ? ? 只有 7 < 15 < 3 7. 所以 ? 解得 ? 下同解法 1. 故选 C. í í ? | a | + 3 | b |= 15. ? | b |= 4. ? ? ? ? 8.由已知可得 z1 = t + ( - t )i (0 ≤ t ≤ 1). z2 = cos q + i sin q, 得 1 z1 + z2 = t + cos q + ( - t + sin q)i. 1 ì x = t + cos q, ? 设 z1 + z2 = x + yi. 则 ? 消去 q ,得 ( x - t ) 2 + [ y - (1 - t )]2 = 1 .即 z1 + z2 对应 í ? y = 1 - t + sin q. ? ?

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的点以 (t ,1 - t )为圆心半径等于 1 的圆上,而因为 (0 ≤ t ≤ 1). 故 z1 + z2 对应点所在区域为图中
p 2 ? 2 2 2 + p . 故选 B. 2 9.解法 1:四面体有 4 个顶点,6 条棱,每条棱有 1 个中点,共有 10 个点,从其中任取 4 个不共面的点有以下几种情况: ①这 4 个点都是顶点的取法只有 1 种; ②这 4 个点中有 3 个顶点的取法共有 4×3=12 种;

阴影部分.其面积为 2 ?

③这 4 个点中有 2 个顶点的取法共有 6 ? (C52 ④这 4 个点中有 1 个顶点的取法共有 4 ? (C83

2)= 48 种; 3)= 68 种;

⑤这 4 个点中没有顶点的取法共有 C64 - 3 = 12 种. 综上所述,从这 10 个点中取 4 个不共面的点的取法共有 1+12+48+68+12=141 种. 每不共面的 4 个点可以构成 3 个不同的空间四边形,则以这 10 个点为顶点的空间四边形 共有 141×3=423 个.
4 解法 2:从这 10 个点中任取 4 个,共有 C10 = 210 种取法,其中取出的 4 个点共面的情况

共有以下 3 种: ①从每个面上的 6 个点中任取 4 个点都共面,这样的取法共有 4C64 = 60 种; ②每条棱上的 3 个点与相对棱的中点共面,这样的取法共有 6 种; ③去掉 1 组相对棱后,其余四棱的中点共面,这样的取法共有 3 种. 综上所述,所取 4 点共面的取法共 60+6+3=69 种. 所以,所取 4 点不共面的取法共有 210-69=141 种,以下同解法 1. 故选 C.
10. 如图,O 是正三棱锥底面中心,也是半球的球心,CD 是正三棱锥底面的高,侧面 PAB 与半球相切于点 E,连结 OE, OE ^ PD , OE = 1 , PO = h.

设 ? PDO

α (0? α ? 90 ,则 ? POE )

α, h =

1 . cos α

设正三棱锥底面三角形的边长为 a,则 OD =
1 3骣 3 ÷ 2 ÷ 1 3 积为 V = 鬃 ? ? ?sin α ÷ cos α = sin 2 α cos α . ÷ 3 4 ? 桫
2

3 1 2 3 a= , 所以 a = . 正三棱锥的体 6 sin a sin α

下面用两种方法求 V 的最小值:

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方法 1:令 cos α = t ,则 sin 2 α = 1 - t 2 ,所以 V =
3 (1 - 3t 2 )

3 3 = 2 (1- t )t t - t 3

V ?=

(t - t 3 )

2

=

3 (3t 2 - 1) . 2 (t - t 3 ) t< 3 ;V   0 ? > 3
3.

已 知 0 < t < 1, 此 时 有 V ⅱ 0 ? t =
t= 3 时,V 取最小值 3 3 3

3 ;V < 0 ? 0 3

3 3

t < 1. 所 以 当

3 9 1 1 = .相应的 h = = = 3 2 cos a t 骣 ? 3÷ ? ÷ ?3 ÷ ? 桫 ÷

方法 2:因 sin 2 a cos α > 0, 所以由
sin 4 α cos 2 α = 1 2 sin α 鬃 2 α 2 cos 2 α sin 2 3 1 骣 2 α + sin 2 α + 2 cos 2 α ÷ ?sin ÷ ≤ ? ÷ ÷ 2? 3 桫 4 , 27

=

知 0 < sin 2 α cos α ≤

2 3 3 3 9 ,所以 V = ≥ = . 当 且 仅 当 sin 2 α = 2 cos 2 α , 即 2 9 sin α cos α 2 3 2 9 3. 故选 B.

cos α =

3 1 9 时,上式取等号,即 V 取最小值 . 相应的 h = = 3 2 cos α

11. 1.当 cos 2 α = 0 时, sin 2 α = 1 ,直线方程为 x = 1 ,代入 x 2 ? y 2 = 1 解得直线与双曲

线此时惟一交点(1,0) ;
2.当 cos 2 α ≠ 0 时,设直线方程为 y = k ( x ? 1) + 3 ,这里 k = ?3tan 2 α ≤ 0 . (i)当 k = ?1 时,直线方程为 y = 4 ? x ,代入 x 2 ? y 2 = 1 解得直线与双曲线此时仅有的一个 17 15 公共点 ( , ). 18 8
? y = k ( x ? 1) + 3 (ii)当 k ≠ ?1 时,则由 ? 2 , 可得 2 ?x ? y = 1

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(1 ? k ) x
2

2

+ (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 + 6k ? 10 = 0.

? = (2k 2 ? 6k ) 2 ? 4(1 ? k 2 )(?k 2 + 6k ? 10) = 24k + 40 ,
由 ? = 0 解得 k =
5 > 0 ,不合题意. 3

17 15 综上所述,当直线与双曲线仅有一个公共点时,该公共点的坐标或为(1,0),或为 ( , ). 18 8 12.1.当 x ≥1 时, lg x = lg x ,由 x + lg x ≥1,知 a ≤1;

2.当 0 < x < 1 时, lg x = ? lg x ,此时, f ′( x) = ?1 +

lg e . x

由 f ′( x) = 0, 得 x = lg e .当 0 < x < lg e , f ′( x) > 0 ; x > lg e, 有 f ′( x) < 0 , 有 当 所以当 0 < x < 1 时, x = lg e 是 f ( x) 的最大值点.由 f ( x) ≤ f (lg e) = a ? lg e + lg lg e ≤0,可得 a ≤ lg e ? lg lg e . 综合 1,2,由 e3 > 10, 3 > ln10 ,知
lg e ? lg lg e = lg
e = lg(e ? ln10) < lg10 = 1. lg e

所以 a 的取值范围为 ( ?∞, lg e ? lg lg e].
13 . 令
bn = 1 + 4an ,



an =

bn2 ? 1 , 4

从 而 有

2 bn +1 ? 1 b2 ? 1 =1+ n + bn 4 4

, 即

bn2+1 = bn2 + 4bn + 4 = (bn + 2) 2 .

由 b1 = 1 + 4a1 = 5 及 bn > 0 ,知 bn +1 = bn + 2 ,即有 bn = 5 + 2( n ? 1) .从而得
1 2 1 an = (bn ? 1) = ?5 + 4 5(n ? 1) + 4(n ? 1) 2 ? 1? ? 4 4? = 1 + 5(n ? 1) + (n ? 1) 2 = 1 + (n ? 1)(n + 5 ? 1). 14.4 颗骰子的每次投掷所示结果为一基本事件,以 X 记全部基本事件的集合.显然有 |X|=64,这里|X|表示集合 X 所含元素的个数,对于每一个 i , i =1,2,…,6,定义事件 Ai :

Ai = {4 颗骰子所示之数中没有 i 的所有基本事件}. 因 9=3+6=4+5,所以每次投掷结果中有两颗骰子所示数字之和为 9 的事件记为 B,则

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B= A3 U A6 U A4 U A5 . 这里 A 表示与 A 互斥的事件.
A3 U A6 =| X | ? | A3 U A6 | = 64 ? (| A3 | + | A6 | ? | A3 U A6 |)

= 64 ? (54 + 54 ? 44 ) = 302.

同理有 A4 U A5 =302,从而得
| B |= A3 U A6 + A4 U A5 ? A3 U A6 I A4 U A5
= 604 ? 24 = 580 . | B | 580 145 所求概率= = = . | X | 64 324 15 . 由 平 面 m ∥ 平 面 n , 知 BM∥CP,BN∥CQ, 所 以 有 sin ∠MBN = sin ∠PCQ , 且

BM AB BN BD = , = . CP AC CQ CD


S ?BMN = 1 1 BM ? BN sin ∠MBN ; S ?CPQ = CP ? CQ sin ∠PCQ, 2 2



S ?BMN 3 AB BD 3 = ,得 ? = . S ?CPQ 2 AC CD 2



AC BD BC AC - AB 1 =α , = β ,则 2 β = 3α ,且 β > α > 1. = = α ? 1, AB = BC . α ?1 AB AB AB CD AD AB + BC + CD α BC α BD - CD = =1+ ? =1+ ? CD CD α ? 1 CD α ?1 CD
=1+

α α 3 3α 2 ? 2 ( β ? 1) = 1 + ( α ? 1) = α ?1 α ?1 2 2(α ? 1)

3 1 = (α + 1) + 2 2(α ? 1) 3 1 = [(α ? 1) + ]+3 2 3(α ? 1) 3 1 1 ≥ ? 2 (α ? 1) ? +3 α ?1 2 3
= 3 + 3.

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显然,当 α ? 1 =

3 3 AD AD ,即 α = 1 + 时, 有 = 3 + 3 ,所以 的最小值为 3 + 3 . 3 3 CD CD 16.对任意的正整数 m,有 k kk…k = k (10m ?1 + 10m ? 2 + …+1) = (10m ? 1) 9 m个

当 m = 2 p 时,有
kk…k =
2p 个

k k (102 p ? 1) = (10 p ? 1)(10 p + 1) 9 9 9 k k = [ (10 p ? 1)]2 + 2 ? (10 p ? 1) k 9 9 9 = ( kk…k )2 + 2 ? ( kk…k ) . k p个 p个

所以,对任一正整数 k, 1≤k≤9,存在二次函数 fk ( x) =
fk ( kk…k ) = kk…k
p个 2 p个

9 2 x + 2 x ,使得对任意的正整数 p, k

17.由已知, a 2 ? b 2 = m 2 + n 2 = 4 ,渐近线 l 的方程为 y =

n x ,经过焦点 F 且与直线 l 垂直的 m

n ? 2m2 ? ?x = 2 ?y = m x m ? ? m + n 2 ,又已知 m 2 + n 2 = 4 .所以直 直线 l ′ 的方程为 y = ? ( x ? 2) ,由 ? 解得 ? n ? y = ? m ( x ? 2) ? y = 2mn ? ? n ? m2 + n2 ?

线 l 和 l ′ 相交于点 (

m 2 mn , ) .则焦点 F 关于直线 l 的对称点为 F ′(m 2 ? 2, mn) . 2 2

.3分

由已知,点 F ′ 在双曲线 S 上,所以 所以双曲线 S 的方程为

(m 2 ? 2) 2 m 2 n 2 4 4 16 ? 2 = 1 .解得 m 2 = , n 2 = 4 ? m 2 = 4 ? = . 2 m n 5 5 5

5x2 5 y 2 ? = 1. 4 16

4 16 椭圆 T 的上方的顶点 B 的坐标为(0,b),因为 m 2 = , n 2 = ,所以渐近线 l 的方程为 y = 2 x , 5 5 2 ? ? y = 2 x, ? x = 5 b, 1 ? ? 经过点 B 且与直线 l 垂直的直线 l ′′ 的方程为 y = ? x + b ,由 ? 解得 ? 即直线 1 2 ? y = 4 b. ? y = ? 2 x + b. ? ? 5 ? 2 4 4 3 l 与直线 l ′′ 相交于点 ( b, b) .所以点 B 关于直线 l 的对称点 B' 的坐标为 ( b, b) . 5 5 5 5

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4 3 5( b) 2 5( b) 2 16 60 5 5 已知点 B' 在双曲线 S 上,所以 ? = 1 ,解得 b 2 = , a 2 = b 2 + 4 = , 所以椭 4 16 11 11

圆 T 的方程为

11x 2 11 y 2 + =1. 60 16

18.任取其中一数,记为 a0 ,其余各数依顺时针方向分别记为 a1 , a2 ,…, ak ?1 .

对任意的正整数 n ≥ k , n = p ? k + i , p 是正整数, i 是整数,且 0 ≤ i ≤ k ? 1 ,令 an = ai ,按题意, 对任意正整数 n,有 an = α an
?1

+ β an +1 .

若 α ? β = 0 ,结论显然成立.否则,有 β (an +1 ? an ) = α (an ? an ?1 ) . 令 bn = an +1 ? an ,则 bn =

α α b .设 a1 ? a0 = b0 = a ,则 bn = a ( )n β n?1 β α =1. β

当 n = k ,有 a ( ) k = bk = ak +1 ? ak = a1 ? a0 = a .由此可得 a = 0 或 若 a = 0 , 即 bn = 0, n = 0,1, 2…,结论显然成立 . 若有

α β

α = 1, 即 bn = a, n = 0,1, 2,…,知数列 {an } β

是以 a0 为首项, a 为公差的等差数列,则有 a0 = ak = a0 + ka, 即 a = 0 .结论得证.
19.点 (a1 , b1 ) 与点 (a2 , b2 ) 关于点 (a, b) 对称 ? a =
a1 + a2 b +b ,b = 1 2 . 2 2

所以,函数 f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称 ? 图象上任意两点 ( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 )) , 若有
x1 + x2 = 2a ,则 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2b .

充分性 显然, a ≠ 0 ,否则的话, b = 0 ,矛盾. 令 f ( x) = ? ( x) + kx + h ,则有

? (2a + x) = f (2a + x) ? k (2a + x) ? h
= 2b ? f (? x) ? kx ? h ? 2ak = f ( x) ? kx ? h + 2b ? 2ak = ? ( x) + 2(b ? ak ).

所以,只要令 k = 期函数.

b ,则对任意的 x ∈ R ,有 ? (2a + x) = ? ( x) ,即 ? ( x) 是一个以 2a 为周期的周 a

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

必要性 已知奇函数 f ( x) = ? ( x) + kx + h ,其中 ? ( x) 是以 T 为周期的周期函数,令 a =
f (a + x) = ? (a + x) + k ( a + x) + h T ,T = 2a, 则 2

= ?[T ? (a ? x)] + k ( a + x) + h = ? ( x ? a) + k ( a + x) + h = f ( x ? a ) ? k ( x ? a) ? h + k (a + x) + h = ? f (a ? x) + 2ak .


f (a + x) + f (a ? x) = 2ak . (a = T ≠ 0). 2

由此可知 f ( x) 的图象有异于点 (0, 0) 的对称中心 (a, ak ) .


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